Методичний супровід до “Вивчаємо геометрію із GeoGebra” Посібник для вчителя
Василь Гречук
Методичний супровід до
“Вивчаємо геометрію із GeoGebra”
Посібник для вчителя
Василь Гречук. Методичний супровід до «Вивчаємо геометрію із GeoGebra». Посібник для вчителя
Посібник надає методичні рекомендації для вчителів, які використовують видання «Вивчаємо геометрію із GeoGebra» повністю або частково, під час вивчення геометрії. У ньому описано підходи до інтеграції інструментів GeoGebra в навчальний процес, спрямовані на формування основних геометричних понять і практичних навичок роботи з динамічними моделями. Посібник охоплює всі основні теми шкільного курсу геометрії та містить рекомендації щодо використання динамічних моделей, проведення комп’ютерних експериментів. Ці методи сприяють активному залученню учнів до відкриття та обґрунтування властивостей геометричних фігур, розвитку геометричної інтуїції, логічного і просторового мислення.
Розділ. 0 Дидактичні можливості системи GeoGebra................................................. 9
0.1 Зональні відомості про систему динамічної математики................................... 9
0.3 Основи використання інтерфейсу програми.................................................... 13
Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості................................... 17
1.5 Вимірювання відрізків. Відстань. Властивості відстані.................................. 22
1.7 Побудова кута заданої величини. Відкладання кута від променя.................... 25
1.8 Кут між прямими. Перпендикулярні і паралельні прямі.................................. 26
Розділ 2. Початкові відомості про плоскі фігури та геометричні ................................
2.6 Медіана трикутника. Читання зображень........................................................ 37
2.13 Залежність між сторонами і кутами трикутника............................................ 42
2.14 Перша ознака рівності трикутників (За двома сторонами і кутом між ними) 43
2.15 Друга ознака рівності трикутників (За стороною і прилеглими кутами) ...... 44
2.16 Третя ознака рівності трикутників (За трьома сторонами)............................ 45
2.17 Ознаки рівності прямокутного трикутника.................................................... 45
3.1 Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична................................................... 47
3.10 Метод ГМТ при розв’язуванні задач на побудову.......................................... 55
4.1 Чотирикутник. Властивості кутів чотирикутника............................................ 59
4.9 Побудова ГМТ, з яких відрізок видно під заданим кутом............................... 69
5.3 Відношення відрізків. Пропорційні відрізки................................................... 74
5.4 Подібність трикутників. Ознаки подібності трикутників................................ 74
5.6 Пропорційні відрізки на паралельних прямих................................................. 76
5.9 Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. Теорема .................
6.2 Знаходження значень тригонометричних функцій........................................... 81
6.3 Значення тригонометричних функцій базових кутів....................................... 81
6.4 Властивості тригонометричних функцій......................................................... 82
6.5 Розв’язування прямокутних трикутників з використанням ................................
7.5 Кілька корисних формул для обчислення площі трикутника........................... 88
8.1 Співнапрямлені промені. Напрям. Кут між напрямами................................... 93
8.3 Відкладання вектора від точки. Кут між векторами......................................... 94
8.11 Координатна форма скалярного добутку...................................................... 101
9.1 Сума внутрішніх і зовнішніх кутів многокутника......................................... 104
9.2 Многокутник, вписаний у коло, і описаний навколо кола............................. 105
10.1 Поняття про геометричні перетворення....................................................... 109
10.11 Розв’язування задач на побудову методом геометричних перетворень ........ 116
Вступ
Геометрія займає особливе місце серед шкільних дисциплін, адже її вивчення передбачає унікальне поєднання теоретичних знань, практичних побудов і творчого підходу до розв’язання задач. Діти, приходячи до школи, вже мають певний геометричний досвід, отриманий через ігри та щоденне спостереження навколишнього середовища. Вони вже вміють орієнтуватися в просторі та розпізнавати форми, що стає основою для подальшого вивчення геометрії.
Однак, традиційний підхід до вивчення геометрії, який передбачає систематичний курс із застосуванням дедуктивних методів, може виявитися складним для більшості семикласників, оскільки їхнє мислення ще не готове до строгих логічних міркувань. Внаслідок цього, значна частина учнів сприймає геометрію як важкий і малозрозумілий предмет.
Завданням сучасної школи є допомогти учням виділяти геометричні властивості навколишніх предметів, розуміти різницю між реальним фізичним і абстрактним геометричним простором, а також навчити використовувати геометричні об’єкти для моделювання та вирішення практичних завдань.
Особливе значення в сучасному викладанні геометрії має віртуальний світ, у якому діти перебувають значну частину часу. Учням важливо усвідомлювати різницю між віртуальним і абстрактним просторами, що вимагає нового підходу до навчання. Використання комп’ютерних програм, таких як GeoGebra, дозволяє поєднати реальний, абстрактний та віртуальний світи, надаючи учням додаткові можливості для вивчення та дослідження геометричних об'єктів.
GeoGebra, завдяки своєму зручному та інтуїтивно зрозумілому інтерфейсу, стає ефективним інструментом для вивчення геометрії. У нашому курсі учні не тільки засвоюють основи геометрії, але й навчаються використовувати інструменти цієї програми, що значно полегшує процес формування нових понять та сприяє активному залученню до навчального процесу. Хоча на початковому етапі вивчення курсу необхідно виділити додатковий час на освоєння інтерфейсу GeoGebra, надалі це дозволяє значно прискорити темп навчання. Комп'ютерні експерименти з геометричними об'єктами сприяють самостійному відкриттю нових властивостей фігур та перевірці істинності висунутих гіпотез або спростування їх, що робить вивчення геометрії більш захоплюючим і зрозумілим для учнів.
Для забезпечення навчального процесу вчителю достатньо мати мінімальні уявлення про GeoGebra. Всі інструменти, які необхідні вчителю і учням досить детально описані у підручниках. Але, загальні уявлення і навички роботи все таки необхідні.
Цей посібник є методичною підтримкою нашого підручника «Вивчаємо геометрію із GeoGebra» і розроблений для допомоги вчителям у реалізації його ідей. Він покликаний полегшити інтеграцію інструментів GeoGebra у навчальний процес, сприяючи не лише засвоєнню базових понять, але й активному залученню учнів до роботи з динамічними моделями.
Основним завданням посібника є надання чітких методичних рекомендацій щодо використання GeoGebra для викладання геометрії, а також практичних прикладів і вправ, які допоможуть учителям організувати уроки цікаво й ефективно. Важливим аспектом є акцент на динамічних побудовах, які дозволяють учням досліджувати властивості геометричних об’єктів, формулювати й перевіряти гіпотези, розв’язувати задачі та поглиблювати розуміння просторових відносин.
Цей посібник має на меті підтримати вчителів у їхній педагогічній діяльності та допомогти їм створювати сучасні, інтерактивні та захоплюючі уроки геометрії, що сприятимуть розвитку в учнів позитивного ставлення до предмета і здатності застосовувати знання у повсякденному житті.
Посібник розпочинається з розділу 0. Така незвична нумерація обрана навмисно, оскільки цей розділ містить базові відомості про програму GeoGebra, які є необхідними для вчителя при її використанні. Ці матеріали допомагають ознайомитися з основними принципами створення та використання динамічних моделей у GeoGebra, що є ключовим для ефективного впровадження програми в навчальний процес.
Назви всіх наступних розділів і параграфів у посібнику повністю відповідають назвам відповідних тем у нашому підручнику «Вивчаємо геометрію із GeoGebra». Це зроблено для зручності: вчитель легко зможе знайти методичні рекомендації, потрібні для вивчення кожної конкретної теми, і відразу застосувати їх у навчальному процесі.
Розділ. 0 Дидактичні можливості системи GeoGebra
0.1 Загальні відомості про систему динамічної математики
Динамічна геометрія – це комп’ютерна програма для створення інтерактивних геометричних зображень та маніпуляції ними. Геометричні моделі можна використовувати для візуалізації складних геометричних даних, для створення та перевірки геометричних гіпотез, для побудови геометрично точних ілюстрацій, для друкованих документів та публікацій в мережі Інтернет.
Однією із найкращих програм динамічної геометрії є програма GeoGebra, яка вільно розповсюджується в Інтернеті. Вона інтегрує геометричні, алгебраїчні та тригонометричні поняття в єдиному середовищі. Програма написана австрійським програмістом Маркусом Хохенвартером на мові Java (відповідно працює повільно, але з великим числом операційних систем). Перекладена на більше 50 мов, підтримує українську мову.
Система активно використовується, існують великі спільноти і навіть інститути її користувачів, зокрема Інститути GeoGebra в Харкові (створений у 2010 р) та Чернігові (створений у 2011 р). Регулярно з’являється її оновлення. У вільному доступі є ряд освітніх додатків.
Завантажити програму можна з офіційного веб-сайту
(https://www.geogebra.org/download).
GeoGebra дозволяє виконувати наступні основні геометричні побудови:
1. Будувати точки, прямі, промені, відрізки, вектори, кола, еліпси, гіперболи і параболи.
2. Утворювати із цих фігур їх комбінації: кути, многокутники, півкола, дуги, сектори.
3. Вибирати точки на прямій, ламаній, колі.
4. Будувати відрізки і кути заданої величини.
5. Проводити прямі паралельні і перпендикулярні даній прямій, будувати середину відрізка, знаходити центр симетрії фігури, бісектрису кута.
6. Виконувати паралельний перенос, осьову і центральну симетрії, поворот та гомотетію фігури.
7. Обчислювати довжину відрізка, величину кута, площу і периметр многокутника, довжину кола і площу круга.
Крім того, вона дозволяє:
- приховувати або відображати окремі елементи рисунка;
- створювати динамічні візуалізації, використовуючи інтерактивні інструменти рухомі точки, анімації та інші;
- досліджувати властивості геометричних фігур;
- перевіряти або відхиляти гіпотези;
- створювати власні завдання чи уроки для учнів.
Простий та інтуїтивно зрозумілий інтерфейс програми дозволяє використовувати її вчителями і учнями, які володіють елементарними навичками роботи з комп’ютером такими, як: відкриття і збереження документа, вибір інструмента, виділення, перетягування об’єктів, використання контекстного меню та робота з діалоговими вікнами.
Вікно програми є типовим вікном для Windows. Основне управління програмою здійснюється за допомогою панелі інструментів та головного меню (Рис.0.1).
Для зручності використання інструменти розбиті на групи. Кожен інструмент має інтуїтивно зрозумілу піктограму і назву. При виборі інструмента, в нижній частині вікна з’являється коротка інструкція про його використання.
Рис.0.1 Віено GeoGebra
Крім поданих інструментів, користувач може створити свої власні за допомогою меню Інструменти. Програма практично одновіконна. Але в головному меню пункт Створити відкриває нове вікно програми для виконання іншого малюнка. Якщо в цьому меню вибрати пункт Відкрити, то появиться діалогове вікно із повідомленням про закриття даного файлу і пропозицією зберегти його.
Немає потреби спеціально відводити час на вивчення інтерфейсу програми. Його засвоєння легко відбувається в процесі виконання конкретних практичних завдань.
У цьому посібнику ми не будемо описувати інтерфейс програми. Всі необхідні матеріали доступні в Інтернеті. Зокрема на офіційному сайті Інституту GeoGebra Чернігів, Україна:
https://sites.google.com/view/geogebra-chernigiv/home.
Саму програму можна завантажити з офіційного сайту GeoGebra:
Особливістю роботи з програмою GeoGebra є те, що всі об’єкти, створені за допомогою її інструментів, зберігають властивості, якими вони були наділені під час побудови. Це означає, що кожен об’єкт слід будувати строго відповідно до умов задачі або теореми, використовуючи відповідні інструменти програми.
Розглянемо це на конкретному прикладі. За посиланням: https://www.geogebra.org/m/bnqkhpcy можна побачити модель, на якій, на перший погляд, зображені два правильні трикутники та два паралелограми. Однак, якщо встановити вказівник миші на одну з вершин і перетягнути її, стане зрозуміло, що це не зовсім так.
Причина цього полягає в тому, що перший трикутник був побудований за допомогою інструмента Правильний многокутник, тоді як другий трикутник – за допомогою інструмента Многокутник. При побудові другого трикутника його вершини були розміщені так, щоб створити ілюзію правильного трикутника, однак інструмент Многокутник призначений для побудови довільного многокутника. Тому, перетягуючи вершити трикутника, побудованого цим інструментом, можна одержати трикутник довільної форми.
Схожа ситуація спостерігається і з паралелограмами. Перший паралелограм був побудований з використанням інструмента Паралельна пряма, що гарантує збереження паралельності протилежних сторін незалежно від зміни форми. Другий паралелограм побудований за допомогою інструмента Многокутник, тому його форму можна змінювати шляхом перетягування вершин, але він не гарантує збереження паралельності сторін.
Це наочно демонструє, що вибір інструментів для побудови об'єктів у GeoGebra є ключовим фактором для збереження їхніх геометричних властивостей. Якщо побудова виконана відповідно до умов задачі або теореми, об'єкт буде зберігати свої властивості під час маніпуляцій.
Щоб зрозуміти основні вимоги до побудови динамічних моделей у GeoGebra, перейдемо до розгляду деяких базових понять.
0.2 Незалежні і залежні об’єкти
На уроках геометрії програма використовується для створення малюнків і моделювання геометричних об’єктів та їхніх відношень. При першому використанні рекомендується налаштувати програму під власні потреби. Для цього скористайтеся опцією «Налаштування», яка позначена піктограмою у вигляді шестерні 
.
У розділі «Налаштування» ви можете:
• відобразити або приховати координатні осі та сітку;
• змінити розмір шрифту;
• налаштувати позначення об’єктів;
• відобразити чи приховати панель «Алгебра»;
• обрати інші параметри для зручності роботи.
Щоб ці налаштування програми можна було використовувати при наступних сеансах роботи, необхідно їх зберегти за допомогою команди меню «Налаштування/Загальні/Зберегти налаштування».
На початку краще використовувати сітку і варто тримати включеною панель об’єктів Алгебра, щоб слідкувати, як реагує програма на наші дії. Але при демонстрації малюнків цю панель доцільно забирати.
Програма підтримує такі способи задання прямих: двома точками; точкою і прямою (відрізком, вектором), до якої дана пряма є паралельною або перпендикулярною; відрізком, до якого пряма є серединним перпендикуляром; кутом, який дана пряма поділяє навпіл та інші.
Як ми уже відзначали раніше, перші побудови бажано виконувати при відкритій панелі об’єктів. Тоді інформація, що відображається у цій панелі дозволяє усвідомити логіку роботи програми. Наприклад, для побудови прямої, яка задана двома точками, вибираємо інструмент «Пряма через дві точки» і клацаємо мишею в точках, через які повинна проходити пряма. Відразу з’являється зображення точок і відповідної прямої, і в панелі об’єктів вказуються імена точок та їх координати, а також ім’я і рівняння відповідної прямої (Рис.2).
Рис.0.2 Зображення прямої
Важливо звернути увагу на те, що точки вважаються вільними об’єктами, а пряма – залежним об’єктом. Різниця між об’єктами проявляється при виконанні певних дій над ними. Наприклад, якщо за допомогою інструменту «Переміщення» змінювати положення точки 𝐴, то пряма буде обертатися навколо точки 𝐵 і навпаки, якщо «перетягати» пряму, «захопивши» її у точці відмінній від базової, то відбувається її паралельне перенесення. Якщо вже побудована пряма, то тоді можна провести пряму, паралельну до даної прямої, або пряму, перпендикулярну до цієї прямої, яка проходить через деяку точку. Для цього потрібно вибрати відповідний інструмент, клацнути в точці, через яку має проходити пряма, а потім по прямій, до якої ця пряма буде паралельною або перпендикулярною. При цьому, якщо точка попередньо не задана, то при першому клацанні по місцю де має бути точка, вона появляється, а при другому клацанні по прямій, появляється паралельна або перпендикулярна пряма.
Зрозуміло, що така точка є вільним об’єктом, а пряма – залежним. Змінити положення такої прямої безпосереднім перетягуванням неможливо. Але якщо перетягувати задану точку, то разом з нею буде рухатися пряма, зберігаючи свої властивості (проходить через вказану точку і паралельна, або перпендикулярна початковій прямій). Положення такої прямої буде також змінюватися при зміні положення початкової прямої (тієї, до якої дана пряма є паралельною або перпендикулярною). Збереження заданих властивостей всіма об’єктами – основний принцип динамічної геометрії, на якому будується вся ідеологія використання цього програмного продукту.
Використання цього принципу дозволяє будувати динамічні моделі геометричних ситуацій і досліджувати їх. Наприклад, якщо точка 𝑀 вибрана на прямій 𝐴𝐵, то її можна переміщувати лише вздовж даної прямої. Причому, якщо переміщувати базові точки 𝐴 або 𝐵, то точка 𝑀 теж буде переміщуватися вздовж даної прямої так, що відношення довжин відрізків 𝐴𝐵 і 𝐴𝑀 зберігається. Якщо точка 𝑀 вибрана на прямій, яка проходить через точку 𝐶 і паралельна або перпендикулярна до прямої 𝐴𝐵, то при зміні положення базових точок 𝐴, 𝐵 або 𝐶, положення точки 𝑀 теж буде змінюватися так, що відношення довжин відрізків 𝐴𝐵 і 𝐶𝑀 зберігається.
0.3 Основи використання інтерфейсу програми
Інтерфейс програми – це сукупність засобів за допомогою яких користувач здійснює управління програмою. Інтерфейс складається із трьох частин:
1) Сукупність команд, які доступні користувачу. Тобто команд, які «вміє» виконати програма.
2) Сукупність інструментів, які використовуються для подання команд.
3) Реакція системи. Якщо, у момент, коли подається команда, програма може її виконати, то відбувається певна дія. Наприклад, появляється деякий об’єкт, змінюється значення властивості об’єкта, тощо. Якщо
ж, з певних причин, команду виконати неможливо, то появляється повідомлення про помилку.
При першому завантаженні GeoGebra доцільно відразу змінити стандартні налаштування відповідно до свої потреб. Зазвичай зручно використовувати розлініяне полотно у формі сітки. За стандартними налаштуваннями у GeoGebra використовують основні і другорядні лінії сітки. Нам зручніше, щоб сітка нагадувала клітинки учнівського зошита. Тому другорядні лінії сітки доцільно прибрати. Для цього вибираємо пункт меню Налаштування/Додатково і у відповідному діалоговому вікні натискаємо кнопку Налаштування стилю Далі вибираємо закладку Сітка і у списку Тип сітки Основні лінії сітки.
Рис.0.3 Налаштування типу сітки полотна
Якщо встановити прапорець Відстань, то сітка завжди буде зберігати вибрані розміри.
Так само у меню Налаштування/Загальні доцільно вибрати форму Позначення, наприклад Тільки для точок, встановити зручний Розмір шрифту і зберегти налаштування, вибравши відповідний пункт цього меню.
Рис.0.4 Меню Налаштування/Загальні
В процесі роботи виникає потреба відобразити або приховати систему координат а також панель Алгебра.
Щоб відобразити панель Алгебра, необхідно скористатися меню Головним меню/Вид і встановити відповідний прапорець(Рис.0.5). На цій панелі відображаються значки усіх побудованих об’єктів.
Рис.0.5 Панель Алгебра і меню Вид
На панелі об’єктів Алгебра кожен відображений об’єкт позначений синім кружечком, а прихований світлим. Далі йде його опис. Щоб закрити цю панель, слід зняти відповідний прапорець у меню Вид.
Зокрема, меню панелі Алгебра дозволяє змінювати способи сортування об’єктив на панелі та форму опису об’єктив (Рис.0.6).
Рис.0.6 Меню налаштувань панелі Алгебра і полотна
Меню налаштувань панелі Полотно залежить від вибору інструмента. Зокрема, якщо вибрано інструмент Переміщення, то у цьому меню відображаються кнопки, що дозволяють відображати, або приховувати
координатні осі та сітку 
(Рис.0.6).
Якщо вибрано інструмент зображення фігури, то появляються кнопки, які дозволяють змінювати значення окремих властивостей фігури. Щоб побачити усі властивості об’єкта, треба відобразити його панель властивостей. Для цього можна скористатися контекстним меню, клацнувши правою клавішею миші по об’єкту, або по його позначенню на панелі Алгебра і вибрати пункт Налаштування.
Рис. 0.7 Меню інструмента Точка
Якщо затримати вказівник миші над інструментом, то відкриється інтерактивна довідка, що вказує на спосіб використання даного інструмента. Повну довідкову інформацію про використання інструментів та команд GeoGebra, можна отримати, скориставшись довідковою системою, що відкривається за допомогою меню Допомога.
Усі об’єкти у GeoGebra можна створити за допомогою команд, які вводимо у командний рядок, що розташований внизу полотна. Список усіх команд, доступних цій системі, можна відкрити, натиснувши кнопку 
, яка розташована в кінці рядка введення.
GeoGebra є потужним інструментом для вивчення та викладання геометрії. Завдяки своїй простоті та широким можливостям, вона підходить як для вчителів, так і для учнів, забезпечуючи динамічне та інтерактивне середовище для роботи з геометричними об’єктами.
Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості
1.1Точка і координати
Основна мета цієї теми – сформувати уявлення про поняття точки та ознайомити учнів з інструментом Точка у програмі GeoGebra. Важливо, щоб учні зрозуміли, що точка є основною геометричною фігурою, призначеною для фіксації положення на площині або в просторі. Точка не має розмірів, форми чи кольору. Проте для її зображення на папері ми ставимо крапку – слід від дотику олівця чи пера до аркуша. У GeoGebra інструмент Точка дозволяє будувати точку на площині, і, хоча вона має видимі форму, колір і розмір, ці властивості слугують лише для наочного представлення. Важливо підкреслити, що в геометрії нас цікавить лише положення точки, а не її зовнішні характеристики.
Рекомендується відкрити контекстне меню точки, вибравши пункт Властивості, і звернути увагу на те, що точка в GeoGebra може мати різні атрибути, проте в геометричному контексті ці атрибути несуттєві. Їхнє значення полягає лише в наочному відображенні точки на екрані.
Для кращого розуміння поняття положення точки на площині варто відкрити панель Алгебра і продемонструвати, як координати визначають розташування точки. Також зверніть увагу на традиційне позначення точок великими літерами латинського алфавіту. Дайте учням можливість самостійно розміщувати точки на координатній площині, аналізуючи їх координати, і вивчати положення точок на осях та в різних чвертях координатної площини.
На цьому занятті також корисно ознайомити учнів із введенням координат точки в командному рядку GeoGebra. Це допоможе розширити їх уявлення про способи побудови точок.
Підсумовуючи, доцільно обговорити приклади використання точок у різних контекстах моделювання: як визначаємо місце зустрічі, як позначаємо населені пункти на карті, як позначаємо положення об'єктів у кімнаті, на території чи на папері. Ці приклади допоможуть виправити хибні уявлення про точку як щось дуже маленьке. Учні повинні усвідомити, що моделлю точки може бути будь-який об'єкт, якщо він фіксує місце.
Корисно також показати можливість залишення сліду точкою в GeoGebra, вибравши відповідну опцію у властивостях точки. Після цього, «перетягуючи» точку, можна створити фігуру, що складається з точок. Це дає змогу пояснити, що точка є основним «будівельним матеріалом» у геометрії, оскільки всі інші фігури розглядаються як множини точок.
1.2 Пряма. Властивості прямої
Уявлення про пряму лінію в учнів формується ще з початкової школи. На даному заняті необхідно акцентувати їх увагу на деяких властивостях прямої, які у геометрії вважаються аксіомами. Інструмент GeoGebra значно полегшують реалізацію цих завдань. Вибравши інструмент Пряма, звертаємо увагу на інтерактивну довідкку щодо його застосування: «Оберіть дві точки або позиції». Це дозволяє сформулювати основну властивість прямої: «Через дві точко можна провести лише одну пряму».
При побудові прямої, варто звернути увагу на відмінностях, між малюнком, виконаним у GeoGebra і прямою у геометрії. Зокрема, якщо застосувати інструмент Пряма і двічі провести пряму через дві точки, то одержимо ту саму пряму. Однак, на панелі Алгебра відобразяться дві прямі, рівняння яких однакові. Тому ми вважаємо, що це одна і та ж пряма.
Так само, як при дослідженні інструменту Точка, відкриваємо меню властивостей прямої і підкреслюємо, що такі властивості як товщина, колір і стиль зручно використовувати для виконання зображень. Але, для прямої такі властивості не є суттєвими.
Для демонстрації взаємного розміщення прямої і точки, будуємо точку на прямій і точку поза прямою. Тут теж бажано відкрити панель Алгебра. Якщо перетягнути будь-яку із точок, то бачимо, що її координати змінилися. Тобто точка уже займає інше місце. Це означає, що ми маємо іншу точку. Цим самим демонструємо, що є безліч точок на прямій і безліч точок поза прямою.
Знову, тут варто звернути увагу, на деякі відмінності між зображеннями, виконаними на папері, і у GeoGebra. На папері, положення зображеної точки змінити не можливо. У GeoGebra, точку, що належить прямій, можна перетягувати лише вздовж прямої. Точку, яка не належить прямій, можна перетягувати по всій площині. Зокрема її можна розмістити на прямій, однак система не «сприймає» її як точку прямої, оскільки її і дальше можна перетягувати по всій площині. В той час, як у геометрії чітко розрізняють дві ситуації: або точка належить прямій, або їй не належить.
Тут можна, при належній підготовці класу, звернути увагу, що система задає пряму за допомогою лінійного рівняння. Якщо розмістити базові точки, які задають пряму, у вузлах сітки, то коефіцієнтами рівняння будуть цілі числа. Тоді для точки з цілими координатами можна усно перевірити, чи ці координати задовольняють рівняння прямої, чи ні. Вчитель може повідомити, що це і є той критерій, який визначає належність точки прямій.
Ще бажано продемонструвати інструменти GeoGebra, які дозволяють будь-яку точку, наприклад 𝑀, помістити на пряму. Для цього вибираємо на прямій точку, наприклад 𝑁. І у рядок вводу вписуємо команду: M=N. Після цього точки 𝑀 і 𝑁 сумістяться. У такому випадку уже точку 𝑀 перетягти за межі прямої не вдасться.
На ці нюанси необхідно звертати увагу відразу при ознайомленні із фігурами та відповідними інструментами, оскільки, у подальшому, їх необхідно враховувати три побудові моделей. Обговорення описаних моментів, насправді є важливими для усвідомлення сутності моделювання взагалі. Адже, при побудові будь-якої моделі важливо розрізняти суттєві і несуттєві властивості, як моделі в цілому, так і її окремих елементів.
За допомогою інструментів GeoGebra зручно продемонструвати нескінченність прямої. Зменшуючи масштаб полотна бачимо, що пряма все рівно досягає обох країв видимої частини полотна. Так само зручно демонструвати взаємне розміщення точок на прямій. Вибравши довільні три точки, ми можемо перетягувати їх як завгодно, але, якщо жодні дві точки не співпадають, то завжди одна з них буде лежати між двома іншими.
1.3 Відрізок. Промінь
Учні вже знайомі з поняттями відрізка та променя ще з початкової школи. Вивчення цієї теми має на меті допомогти їм сформулювати точні означення цих геометричних фігур. Хоча детальна логічна структура геометрії буде розглянута наприкінці розділу, на цьому етапі важливо навести кілька прикладів основних означень, необхідних для подальшого аналізу. Серед них особливу увагу буде приділено означенням відрізка та променя. Крім того, необхідно познайомити учнів із відповідними інструментами GeoGebra.
З цього моменту починається формування навичок «читання» зображень, що передбачає вміння виділяти певні елементи рисунка, тимчасово ігноруючи інші. Інструменти GeoGebra значно полегшують цей процес, оскільки вони дозволяють приховувати та відображати окремі елементи рисунка.
Для ознайомлення з поняттям відрізка, побудуйте пряму 𝐴𝐵 та точку 𝐶, що розташована між точками 𝐴 і 𝐵. Відкрийте властивості точки 𝐶 та увімкніть опцію «Залишати слід». Переміщуючи точку 𝐶 між точками 𝐴 і 𝐵, учні зможуть побачити, як утворюється відрізок. Це надасть їм можливість самостійно сформулювати означення відрізка. Далі, приховавши пряму 𝐴𝐵 і побудувавши відрізок 𝐴𝐵, можна обговорити його позначення.
Щоб пояснити поняття променя, знову відобразіть пряму та одну базову точку, наприклад 𝐴, звернувши увагу на те, що вона розділяє пряму на дві частини, кожна з яких називається променем. Використовуючи інструмент Промінь, продемонструйте, як спочатку клацнути на початковій точці променя, а потім на будь-якій іншій точці, наприклад 𝐷, яка належить цьому променю. Щоб чітко побачити промінь, можна приховати пряму.
Для того щоб учні змогли правильно сформулювати означення променя, виберіть на промені ще одну точку, наприклад 𝑀, і запропонуйте учням описати положення точок 𝐴, 𝐷 і 𝑀. Щоб ввести поняття доповняльних променів, побудуйте на прямій два промені з одним спільним початком. Важливо, щоб друга точка, що визначає промінь, належала прямій, а не іншому променю. Тому, перед тим як побудувати другий промінь, приховайте перший і відобразіть пряму. Після цього відобразіть два промені, приховавши пряму. В залежності від положення точок, промені можуть або співпадати, або бути доповняльними.
Завершуючи тему, зверніть увагу на те, що пряма розділяє площину на дві півплощини. Демонструйте, як визначити, коли точки лежать по один бік від прямої або в одній півплощині, а коли в різних. Для цього з’єднайте ці точки відрізком і перевірте, чи перетинає цей відрізок пряму. Заодно, доцільно ознайомити учнів з інструментом Перетин.
У рамках цієї теми можна пропонувати учням розв'язувати комбінаторні задачі, наприклад: «Скільки відрізків на прямій можна утворити з 2, 3 і більше точок?» або «Скільки променів на прямій можна побудувати з 2, 3 і більше точок?». Для 2–3 точок всі відрізки чи промені можна побудувати й відобразити на панелі Алгебра. Їх можна приховувати, змінювати кольори для полегшення підрахунку. Для більшої кількості точок потрібно визначати закономірності підрахунку.
Зокрема, якщо є 𝑛 точок, з яких починається по 2 промені, то загальна кількість променів дорівнюватиме 2𝑛. Для відрізків підрахунок складніший: кожна точка може бути з'єднана відрізком з 𝑛 − 1 точкою. Оскільки точок 𝑛, може здатися, що загальна кількість відрізків дорівнює 𝑛(𝑛 − 1). Але оскільки кожен відрізок підраховується двічі, насправді їх буде (𝑛(𝑛 − 1))/2.
1.4 Кут. Ламана
На цьому уроці ми почнемо конструювати нові фігури з променів та відрізків. Учитель пропонує учням побудувати два промені зі спільним початком, звертаючи увагу на те, що ці промені поділяють площину на дві частини, які називаються кутами.
Щоб розрізняти кути, утворені двома променями, ознайомлюємо учнів з елементами кута: вершиною, сторонами та внутрішньою областю. Пояснюємо, як графічно позначати внутрішню область кута за допомогою дуги між сторонами. Також вводимо поняття опуклої і неопуклої фігури. Для цього будуємо відрізок у внутрішній області кожного із утворених кутів. Переміщуючи кінці відрізка в межах внутрішньої області, звертаємо увагу: у опуклого кута відрізок завжди повністю належить цій області, тоді як у неопуклого – не завжди. На основі цього визначаємо: кут є опуклим, якщо будь-який відрізок між точками внутрішньої області повністю належить цій області. Надалі домовляємось розглядати лише опуклі кути, що спрощує подальше вивчення їх властивостей і застосувань.
Далі ознайомлюємо учнів із позначенням кутів. Роз’яснюємо, що кут можна позначати:
• трьома великими літерами (для точок: одна на вершині, дві на сторонах),
• двома малими літерами (наприклад, для позначення сторін),
• або однією великою літерою (зазвичай для вершини кута, якщо не виникає неоднозначності).
Для наочної демонстрації внутрішньої області кута додаємо ще один промінь, що проходить між сторонами кута. Використайте інструмент Промінь.
Переміщуючи точку в межах внутрішньої області, показуємо, як промінь заповнює цю область. Щоб учні краще побачили цей процес, доцільно увімкнути опцію Залишати слід. Обертаючи промінь від однієї сторони кута до іншої, можна наочно показати, як він заповнює внутрішню область кута. Такий підхід дозволяє учням глибше зрозуміти структуру внутрішньої області кута та особливості його позначення (див. Рис. 1.1).
Рис. 1.1. Виділення внутрішньої області кута за допомогою опції Залишати слід.
Щоб зняти це виділення, достатньо вибрати інструмент Переміщення і трохи перетягнути поле робочої області.
Під час роботи з цією моделлю можна ввести поняття променя, що проходить між сторонами кута. Показуємо, що промінь може описувати внутрішню область кута як за годинниковою стрілкою, так і проти неї, і вже на цьому етапі вводимо поняття напряму обертання. Варто зазначити, що в GeoGebra розрізняють першу та другу сторони кута: перша сторона – це та, з якої починається рух, а друга – це та, де він закінчується.
Щоб правильно описати внутрішню область кута, промінь має обертатися в додатному напрямку (проти годинникової стрілки).
Якщо перемістити точку, що забезпечує обертання променя, ближче до вершини кута, зафарбувати її в інший колір і встановити для неї опцію Залишати слід, то вона описуватиме дугу, якою позначають внутрішню область кута. Після цього можна зняти прапорець Залишати слід з променя та залишити цю опцію лише для точки. Тоді, обертаючи промінь, ми отримаємо лише дугу, подібно до того, як позначають кути на папері.
На завершення пропонуємо учням побудувати доповняльні промені та вводимо поняття розгорнутого кута.
Після цього переходимо до побудови ламаних ліній, що складаються з 2, 3 і більше ланок, та ознайомлюємо учнів з елементами ламаної: вершинами та ланками. Змінюючи положення вершин, демонструємо різні види ламаних: незамкнені, замкнені, без самоперетинів і з точками самоперетинів.
Оскільки ламану будемо використовувати як межу многокутника, доцільно ввести поняття простої ламаної – ламаної, що не має самоперетинів. Для наочності пропонуємо учням порівняти просту ламану з ламаною, яка має точки самоперетинів, та обговорити їх відмінності.
Під час вивчення цієї теми корисно пропонувати вправи на «читання» зображень, де учні повинні позначити всі кути, утворені з 3, 4 і більше променями, які виходять з однієї вершини.
1.5 Вимірювання відрізків. Відстань. Властивості відстані
На цьому уроці ми зосередимося на уточненні уявлень про довжину, які учні вже мають з початкової школи, використовуючи інструменти GeoGebra. Метою є формулювання аксіом відстані та освоєння інструментів для побудови простих моделей, що ілюструють ці аксіоми.
Починаємо з обговорення поняття вимірювання величин. Учні згадують, що для вимірювання необхідна певна одиниця. Важливо також нагадати основні одиниці вимірювання довжини, що використовуються в повсякденному житті. Для демонстрації цього у GeoGebra використовуємо інструмент Відрізок заданої довжини та створюємо відрізок довжиною 1 одиниця. Покажемо, як у налаштуваннях полотна можна задати одиничну сітку, що стане основою для подальших вправ.
Пропонуємо учням виконати два види вправ:
• вимірювання довжини побудованих відрізків за допомогою інструменту Відстань або довжина;
• побудова відрізків заданої довжини.
Після виконання цих вправ підведемо учнів до розуміння, що кожен відрізок має свою довжину і що можна побудувати відрізок із наперед заданою довжиною.
Щоб продемонструвати ще одну аксіому вимірювання, запропонуємо учням побудувати довільний відрізок, вибрати на ньому деяку точку, а потім виміряти довжини частин відрізка та самого відрізка. Це допоможе зробити висновок про те, що сума довжин частин дорівнює довжині цілого відрізка. Важливо пояснити учням концепцію машинного експерименту: результати, отримані на одному малюнку, можуть бути хибними через випадкові обставини. Наприклад, частини відрізка можуть виявитися рівними, що може призвести до помилкових висновків. GeoGebra дозволяє уникнути таких помилок завдяки можливості змінювати розміри відрізків і точок на них, а також автоматично обчислювати довжини.
На уроці важливо створити динамічну модель, яка ілюструє аксіому вимірювання. Для цього ми знайомимо учнів із інструментом Повзунок, що дозволяє змінювати довжину відрізка, і вчимо створювати динамічний текст для виведення результатів експерименту на екран.
Окрім роботи в GeoGebra, учні повинні виконувати вимірювання відрізків у зошитах, вимірювати довжини предметів та відстані на місцевості. Це допоможе їм зв'язати теоретичні знання з практикою. Починаючи з цього уроку, учні матимуть можливість розв'язувати обчислювальні задачі, пов'язані з поділом відрізків у заданому відношенні, визначенням довжини цілого відрізка за його частинами, обчисленням довжини ламаної та іншими завданнями.
На даному уроці необхідно також приділити належну увагу питанню порівняння відрізків за довжиною та допомогти учням «відкрити» аксіому відкладання відрізка заданої довжини від початку даного промення. З цією метою теж традиційно використовуємо інструменти GeoGebra. Для цього будуємо два повзунки що задають числа 𝑎 та 𝑏 і два відрізки довжиною 𝑎 та 𝑏. Відклавши ці відрізки на промені від його початку легко продемонструвати, що, у такому разі, кінець меншого відрізка належить більшому, а кінці рівних відрізків співпадають.
Цей експеримент дозволяє візуалізувати основні властивості відрізків і допомагає учням зрозуміти, що від початку будь-якого променя можна відкласти лише один відрізок заданої довжини. Цей процес також підтримує розвиток просторового мислення та сприяє глибшому розумінню базових геометричних понять.
Важливо наголосити, що поряд із використанням інструментів GeoGebra на кожному уроці слід приділити належну увагу виконанню відповідних побудов вручну в зошитах за допомогою традиційних інструментів, таких як лінійка або циркуль. Це дозволяє учням краще зрозуміти геометричні властивості фігур і відпрацювати точність у роботі з інструментами. Наприклад, на заданому промені можна запропонувати учням відкласти відрізок, рівний даному. Це дає змогу їм практикувати «перенесення» відрізка на промінь за допомогою лінійки або циркуля.
1.6 Вимірювання кутів
Щоб сформувати уявлення про величину кута з використанням інструментів GeoGebra, слід розпочати з побудови кута та спостереження за зміною його величини при обертанні однієї зі сторін. Учні відразу визначать, коли кут збільшується, а коли зменшується. Після цього повідомляємо, що кути вимірюються в градусах, і демонструємо інструмент Кут. При ознайомленні з цим інструментом важливо звернути увагу учнів, що він розрізняє першу і другу сторони кута. Щоб описати внутрішню область кута промінь, що проходить між його сторонами, повинен обертається від першої сторони до другої у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). Тому, при використанні інструмента Кут необхідно спочатку вказувати першу сторону, потім вершину кута, і нарешті другу сторону.
Для формування поняття градуса пропонується побудувати розгорнутий кут і виміряти його. Учні побачать, що розгорнутий кут має величину 180°. На основі цього робимо висновок, що кут у 1° становить 
частину розгорнутого кута.
Наступний крок – навчити учнів вимірювати кути за допомогою транспортира. На практиці деяким учням важко користуватися цим інструментом, тому важливо стежити, щоб вони правильно прикладали транспортир і обирали потрібну шкалу. Центр транспортира треба сумістити з вершиною кута, а перша сторона повинна проходити через позначку 0°. Результат зчитується зі шкали, яку «обрала» перша сторона.
Вправи на вимірювання кутів учні також можуть виконувати за допомогою динамічної моделі, посилання на яку подано у підручнику.
Після виконання вправ учні роблять висновок, що кожен кут має градусну міру і можна побудувати кут заданої величини.
Зважаючи на схожість властивостей вимірювання відрізків і кутів, доцільно застосувати метод аналогії. Тому, будуємо промінь між сторонами кута і вимірюємо цілий кут та його частини, на які поділяє його промінь. Учням пропонується створити динамічну модель, аналогічну до тієї, що використовувалась для вимірювання відрізків. Для цього слід обчислити суму градусних мір частин кута, ввівши відповідний текст у рядок введення та створити динамічний текст, який виводить на екран величину цілого кута, його частин та суму цих частин. Експериментуючи з цією моделлю, учні спостерігають, що сума величин частин завжди дорівнює величині цілого кута. На основі цих спостережень учні формулюють аксіому вимірювання кутів.
На завершення звертаємо увагу на особливий промінь, що проходить між сторонами кута, поділяючи його на дві рівні частини, та вводимо поняття бісектриси кута. Одночасно ознайомлюємо учнів із відповідним інструментом та звертаємо увагу на особливість його використання:
• Вибираємо інструмент «Бісектриса».
• Клацаємо послідовно: o по точці на першому промені, o по вершині кута, o по точці на другому промені.
У результаті отримаємо пряму, яка ділить кожен із двох кутів, утворених заданими променями, на рівні частини.
Для завершення побудови бісектриси кута потрібно:
1. На отриманій прямій обираємо довільну точку, що лежить у внутрішній області кута.
2. Будуємо промінь із початком у вершині кута, який проходить через цю точку.
3. Після цього приховуємо побудовану пряму, залишивши лише проміньбісектрису.
1.7 Побудова кута заданої величини. Відкладання кута від променя
При вивченні цієї теми важливо вдосконалити навички порівняння кутів за величиною та допомогти учням зрозуміти аксіому відкладання кута від променя.
Роботу розпочинаємо зі створення двох повзунків і для вимірювання кутів, вибравши опцію Кут при їх створенні.
Рис.1.2 Створення повзунка для кута
Далі знайомимо учнів із інструментом Кут заданої величини. За його допомогою від заданого променя у визначеному напрямку (рекомендується додатний, тобто проти годинникової стрілки) відкладаємо кути величиною α та β. Для цього в поле Кут вводимо відповідні значення.
Як і у випадку з відкладанням відрізків, демонструємо, що друга сторона меншого кута завжди належить внутрішній області більшого кута. Якщо ж кути рівні, їхні другі сторони співпадають.
На основі цих спостережень учні роблять висновок: від одного й того ж променя у заданому напрямку можна відкласти лише один кут, рівний даному.
Як і у випадку з відрізками, бажано, щоб учні будували кути заданої величини, або відкладали їх від заданого променя, використовуючи креслярські інструменти.
1.8 Кут між прямими. Перпендикулярні і паралельні прямі
Тема охоплює значний обсяг теоретичного матеріалу, що дозволяє глибше зрозуміти основні геометричні поняття. Зокрема, необхідно сформулювати поняття кута між прямими, вертикальних і суміжних кутів, а також перпендикулярних і паралельних прямих. Крім того, важливим є ознайомлення учнів з інструментами GeoGebra для побудови перпендикулярних і паралельних прямих, що сприятиме кращому розумінню властивостей цих геометричних фігур та розвитку навичок роботи з динамічними моделями. Інструменти GeoGebra сприяють ефективній реалізації цих завдань, забезпечуючи наочність і точність побудови перпендикулярних та паралельних прямих, а також полегшуючи процес вивчення їх властивостей.
Розпочинаємо з побудови двох прямих 𝐴𝐵 і 𝐶𝐷 та точки 𝑂 їх перетину. Зауважимо, що при застосуванні інструмента Перетин, система автоматично називає точку наступною вільною буквою алфавіту. Ми можемо залишити цю назву, але важливо вміти перейменовувати точки для побудови рисунків відповідно до умов задачі.
Після цього пропонуємо учням назвати чотири кути, утворені при перетині прямих, та позначити їх малими буквами грецького алфавіту за допомогою інструмента Кут. Відразу після застосування цього інструмента програма виводить позначення і значення кута. Однак, щоб учні самостійно встановили рівність вертикальних кутів на основі окоміру, а властивість суміжних кутів – на основі логічних міркувань, після вимірювання першого кута відкриваємо властивості цього об’єкта і на вкладці Основні у списку Показати позначення вибираємо Ім’я. Аналогічно поступаємо з іншими кутами.
Порівнюючи суміжні і вертикальні кути, звертаємо увагу, що всі вони утворені в результаті перетину прямих, але суміжні мають спільну сторону, а вертикальні – лише спільну вершину. Після цього формулюємо відповідні означення. Для первинного закріплення учні мають назвати і записати пари суміжних і вертикальних кутів.
Властивості вертикальних кутів учні легко встановлюють на основі окоміру. Для впевненості можна відкрити панель Алгебра, на якій відображаються значення кожного кута. Важливо наголошувати, що будь-які висновки не робимо з одного статичного рисунка, тому необхідно змінювати кут між прямими і спостерігати, як поводяться вертикальні і суміжні кути.
Властивість суміжних кутів можна встановити шляхом логічних міркувань, визначивши вид кута, утвореного їхньою сумою. Крім того, можна ввести в командний рядок команду для обчислення цієї суми.
Після цього обговорюємо питання про кут між прямими. Звертаємо увагу, що кожен із утворених кутів характеризує взаємне розміщення прямих, але всі ці кути взаємопов’язані. Якщо знаємо один із них, то легко знайти всі інші. Тому кутом між прямими вважається менший із утворених кутів.
Від означення кута переходимо до поняття перпендикулярності прямих. Запитуємо в учнів, чи завжди при перетині прямих утворюються кути однакової величини. Після цього вводимо поняття прямого кута та перпендикулярних прямих, а також гострого і тупого кута.
Відразу знайомимо з інструментом Перпендикулярна пряма і вчимо ним користуватися. Побудувавши дві прямі, перпендикулярні до третьої, одержуємо прямі, які ніколи не перетинаються. Після цього вводимо означення паралельних прямих, знайомимо з інструментом Паралельна пряма та символікою для позначення перпендикулярних і паралельних прямих.
На цьому занятті також необхідно сформулювати аксіому паралельності. Пропонуємо учням через точку поза прямою провести дві прямі, паралельні даній. Учні бачать, що ці прямі співпадають, навіть якщо змінювати положення даної прямої чи точки. Це дозволяє сформулювати аксіому.
1.9 Ознаки паралельності прямих
На цьому уроці потрібно ввести назви кутів, утворених при перетині двох прямих січною, та сформулювати ознаки паралельності прямих. Для введення назв кутів бажано скористатися готовою моделлю:
https://www.geogebra.org/m/g3a9e5uh
Для запам’ятовування назв кутів, запропонуйте учням перемалювати рисунок у зошити, позначити кути цифрами, як на моделі, записати їх назви та обговорити походження цих назв.
Далі відображаємо пряму, паралельну до другої прямої, і суміщаємо першу пряму з нею. Користуючись окоміром та панеллю Алгебра, учні встановлюють, що в цьому випадку внутрішні різносторонні і відповідні кути рівні. Щоб пересвідчитись у правильності висновку, змінюємо положення прямих, але слідкуємо, щоб вони залишалися паралельними.
Після цього звертаємо увагу на внутрішні односторонні кути. Учні можуть встановити, що їх сума дорівнює 180°, як за допомогою обчислень, так і за допомогою логічних міркувань.
Щоб відкрити другу ознаку паралельності, будуємо дві прямі, паралельні третій. На даному занятті необхідно перевірити паралельність побудованих прямих засобами GeoGebra. Бажано, щоб учні самостійно запропонували спосіб перевірки цього факту. Якщо відразу їм це не вдасться зробити, можна використати навідні питання:
• Скільки прямих, паралельних даній прямій, можна провести через точку поза прямою?
• Якщо на одній із прямих вибрати точку і через неї провести пряму, паралельну до другої прямої, то в якому випадку вона співпаде з цією прямою?
Логічне обґрунтування цієї ознаки планується провести на одному з наступних уроків.
1.10 Перпендикуляр і похила
На цьому уроці необхідно ввести поняття перпендикуляра та пов’язаних із ним понять: «похила», «основа перпендикуляра і похилої», «проєкція похилої», «відстань від точки до прямої». Всі ці поняття формуються на основі однієї моделі, яку учні повинні створити самостійно. Крім того, важливо, щоб вони намалювали відповідний рисунок у зошиті, користуючись косинцем, і підписали всі елементи.
Для побудови моделі пропонуємо побудувати пряму та точку поза нею. Від цієї точки провести перпендикуляр до прямої та похилу до довільної точки на прямій. Потім слід визначити основи перпендикуляра і похилу, а також проєкцію похилої.
Після створення моделі учні переконаються, що перпендикуляр завжди є найкоротшим відрізком між точкою та прямою. На основі цього робимо висновок і формулюємо означення відстані від точки до прямої як довжини перпендикуляра. Логічне обґрунтування цього факту буде розглянуто пізніше, при вивченні властивостей прямокутного трикутника.
На даному уроці також необхідно виконати низку практичних вправ, спрямованих на вимірювання відстаней на папері чи місцевості. Важливо, щоб учні усвідомили, що спочатку потрібно побудувати перпендикуляр, а потім виміряти його довжину.
Ці кроки дозволять учням краще зрозуміти та закріпити нові поняття, що буде корисно в подальшому вивченні геометрії.
1.11 Про логічну будову геометрії
Завдання цього уроку є складнішим, ніж може здатися на перший погляд. Більшість учнів лише починають розвивати вміння встановлювати причинно-наслідкові зв’язки. Розуміння необхідності обґрунтувань, особливо щодо очевидних речей, прийде до них з часом. Проте певний досвід у визначенні фігур та виявленні й обґрунтуванні їхніх властивостей учні вже здобули в попередні роки навчання та на попередніх уроках. Тому при обговоренні питань про логічну будову геометрії вчитель повинен спиратися на цей досвід.
Введення нового матеріалу можна розпочати зі з’ясування сутності означень. Для цього доцільно використати метод аналогії. Вчитель може пояснити, що геометрія як наука будується за певними правилами або законами. Конструювання нових геометричних об’єктів схоже на створення різних виробів із блоків конструктора LEGO, складання мозаїки з окремих камінців чи плиток, вишивання бісером тощо. У всіх цих випадках використовуються прості елементи, з яких за певними правилами будуються складніші об’єкти. При цьому в кожному випадку застосовуються специфічні засоби, що дозволяють поєднувати ці елементи в єдине ціле.
В геометрії елементарними «деталями» виступають найпростіші фігури: точка, пряма та площина. Основними засобами для конструювання нових фігур є відношення належності, частини і цілого, розташування між точками та інші.
Процес конструювання нових фігур полягає у їх означенні. В означеннях перераховуються суттєві властивості фігури, які дозволяють встановити спосіб її отримання та однозначно виділити серед інших фігур. Окрім фігур, визначаються також нові відношення між ними.
Далі учні пригадують кілька означень фігур, які вони вивчали раніше:
відрізок, промінь, кут, ламана, перпендикуляр, похила, а також означення паралельних і перпендикулярних прямих.
Частину цих означень варто проаналізувати. На основі такого аналізу учні повинні зрозуміти, що в означеннях використовуються основні поняття або поняття, визначені раніше.
Важливо наголосити, що в геометрії властивості всіх об’єктів обґрунтовуються за допомогою логічних міркувань. Під час доведення ми спираємося на означення та факти, доведені раніше. Так само, як і при означеннях, на початку деякі очевидні факти, що виражають властивості основних геометричних фігур, приймаються без доведення. Такі твердження називаються аксіомами. Набір аксіом є невеликим, і всі інші факти в геометрії доводяться шляхом логічних міркувань. Твердження, які потребують доведення, називаються теоремами.
Слід зазначити, що в нашому курсі істинність окремих тверджень перевіряється за допомогою інструментів GeoGebra. Це зумовлено тим, що їхнє повне доведення може бути складним і забирати багато часу. Проте варто пам’ятати, що в геометрії всі ці твердження строго обґрунтовуються. Для тих, хто планує в майбутньому займатися теоретичною математикою або сферами, де необхідне логічне мислення (наприклад, управління чи юриспруденція), вміння обґрунтовувати теореми є вкрай важливим. Водночас, у практичній та прикладній діяльності важливо вміти виявляти певні властивості об’єктів і перевіряти істинність тверджень різними доступними способами: за допомогою довідників, комп’ютерних експериментів або консультацій із фахівцями.
На цьому уроці доцільно навести приклад доведення однієї з теорем, розглянутих у першому розділі. У підручнику подано доведення ознаки паралельності, тож можна використати його. Також можна розглянути іншу теорему, а доведення з підручника запропонувати учням для самостійного опрацювання.
Розділ 2. Початкові відомості про плоскі фігури та геометричні
перетворення. Рівні фігури
2.1 Многокутники
З поняттям многогранника учні знайомляться ще у початковій школі, тому завданням даної теми є систематизація знань учнів та ознайомлення із відповідними інструментами GeoGebra для побудови многокутників. Розпочати урок можна із демонстрації роботи з інструментом Многокутник. Учні можуть побудувати трикутник, чотирикутник та інші многокутники, клацаючи по черзі в різних точках на площині полотна. Важливо лише звернути увагу, що після побудови останньої вершини необхідно ще раз клацнути на першій вершині, щоб замкнути ламану лінію. Використовуючи одержані зображення необхідно пригадати назви елементів многокутника: вершини, сторони та кути. Важливо також, щоб учні виконали відповідні зображення у зошитах та використали відповідні позначення для многокутників та їх елементів.
Варто звернути увагу, що інструмент Многокутник у GeoGebra дозволяє побудувати фігуру, обмежену будь-якою замкненою лінією. Ця лінія може бути не лише простою, але й такою, що має точки самоперетину. Проте таку фігуру не можна вважати многокутником. Після обговорення цього питання та проведення відповідних експериментів пропонуємо учням самостійно сформулювати означення многокутника як частини площини. Важливо наголосити, що межа многокутника також є його невід’ємною частиною.
Також варто пригадати означення опуклої фігури, продемонструвати опуклі і неопуклі многокутники і повідомити учням, що надалі ми будемо досліджувати лише опуклі многокутники.
Після ознайомлення з довільними многокутниками, доцільно перейти до вивчення правильних многокутників. Для формування відповідних понять зручно скористатися інструментом Правильний многокутник. Під час демонстрації цього інструмента необхідно пояснити, що для побудови правильного многокутника потрібно вказати дві вершини та ввести кількість вершин у діалоговому вікні. Побудувавши правильний трикутник, квадрат, правильні п'ятикутник і шестикутник, учні мають звернути увагу, що у цих многокутників усі сторони і усі кути рівні між собою. Це допоможе учням сформулювати означення правильних многокутників та зрозуміти, що правильні многокутники характеризуються симетрією і рівністю всіх елементів.
Наступним етапом уроку буде знайомство з інструментом Жорсткий многокутник. Слід пояснити учням, що цей інструмент дозволяє побудувати фігуру, яку не можна змінити шляхом перетягування її вершин. Побудувавши кілька таких многокутників, варто підкреслити, що ці многокутники можна лише переміщувати або оберти навколо однієї з вершин. У цьому полягає властивість жорсткості. Крім того варто зауважити, що, при побудові многокутників за допомогою цього інструменту, за стандартними налаштуваннями програми, відображаються лише дві вершини. Першу зазвичай використовуємо для перетягування многокутника на нове місце. Другу – для обертання многокутника. Якщо потрібно відобразити інші вершини, то можна скористатися панеллю Алгебра. Щоб виділити першу і другу вершини, які використовуються для зміни положення многокутника, варто порадити учням зафарбувати їх у інший колір.
Для закріплення матеріалу доцільно виконати кілька практичних завдань, де учні мають побудувати різні типи многокутників та позначити їх, порівняти многокутники між собою та визначити властивості кожного. Це можуть бути вправи на побудову правильних і довільних многокутників із заданими параметрами, такими як кількість вершин або довжина сторін. Важливо, щоб у процесі вивчення теми учні активно використовували інструменти побудови многокутників, як у середовищі GeoGebra, так і на папері. Це дозволить їм краще зрозуміти властивості фігур та закріпити отримані знання на практиці.
2.2 Коло і його елементи
Як і у випадку з многокутниками, учні вже знайомі з поняттям кола та його елементів з початкової школи. На цьому уроці важливо допомогти їм сформулювати відповідні означення та ознайомити з інструментами для побудови кола. Крім того, слід створити умови, для активного використання циркуля для виконання побудов на папері.
Розпочати можна з обертання відрізка, побудованого за допомогою інструменту Відрізок заданої довжини, навколо його початку. Якщо для другого кінця цього відрізка задати властивість Залишати слід, то при його перетягуванні він буде описувати коло. Це допоможе учням виділити суттєву властивість усіх точок кола і сформулювати його означення.
Далі можна ознайомити учнів із інструментами для побудови кола. Якщо вибрати інструмент Коло з центром і точкою на колі і побудувати кілька кіл, то учні помітять, що розмір кола залежить від розташування цих точок. Більше того, перетягуючи будь-яку з цих точок, розміри кола будуть змінюватися. Це дозволяє учням зрозуміти, що розміри кола залежать від відстані між цими точками. Ця відстань називається радіусом, а якщо з’єднати ці точки відрізком, то цей відрізок також називається радіусом.
Наступний інструмент, з яким слід ознайомити учнів, – це Коло за центром і радіусом. Його використання подібне до інструменту Відрізок заданої довжини. Коло, побудоване цим інструментом, як і многокутник, створений інструментом Жорсткий многокутник, є жорстким. Тобто його розміри змінювати не можливо. Якщо ж ми хочемо, щоб радіус кола можна будо змінювати повзунком, то теж доцільно використовувати інструмент Коло за центром і радіусом. Але, при побудові кола, у поле Радіус, вписуємо ім’я змінної, що задана повзунком.
Після зображення кола, вибираємо на ньому дві точки і вводимо поняття дуги. Оскільки дві точки є кінцями двох дуг, варто пояснити учням, як розрізняти та позначати дуги. Тут можна звернути увагу на те, що GeoGebra розрізняє початок і кінець дуги. Принагідно варто ввести поняття про напрямки руху по колу або обертання та ознайомити з інструментами Дуга та Дуга за центром і двома точками.
Після цього вводимо поняття хорди та діаметра, як найбільшої хорди, і встановлюємо зв'язок між діаметром і радіусом кола.
Далі варто перейти до побудов на папері за допомогою циркуля. Учні повинні навчитися будувати коло заданого радіуса, а також відкладати на промені відрізок заданої довжини від його початку. Ці побудови у GeoGebra зручно змоделювати за допомогою інструменту Циркуль. У подальшому такі побудови будуть використовуватись під час розв’язування задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки, тому важливо, щоб усі учні добре засвоїли відповідний алгоритм.
Досить цікавою і продуктивною для учнів може виявитися вправа:
Побудуйте коло. Всередині виберіть точку. Скільки хорд (радіусів, діаметрів) проходить через цю точку? Побудуйте найдовшу і найкоротшу хорду.
Якщо побудувати хорду в середовищі GeoGebra, то учні можуть перетягувати її, щоб встановити зв'язок між довжиною хорди і відстанню від центра кола до неї: коли хорда проходить через центр, вона буде найдовшою, а коли віддаляється від центра, її довжина зменшується. Цей важливий висновок дозволяє визначити найкоротшу хорду. Для цього слід пригадати, що таке відстань від точки до прямої, та провести перпендикуляр з центра кола до хорди. Експериментуючи з цією конструкцією, учні можуть зрозуміти, що найбільша відстань від центра до хорди дорівнює відстані від центра до заданої точки на колі. Таким чином, найкоротша хорда – це та, що перпендикулярна до радіуса, який проходить через задану точку.
Цінність цієї вправи полягає в тому, що вона формує вміння учнів виявляти геометричні залежності та властивості фігур через експериментування та аналіз. Завдяки практичній роботі з інструментами GeoGebra учні можуть самостійно робити висновки, що сприяє розвитку навичок аналізу та синтезу геометричних ідей.
2.3 Круг та його частини
З метою введення поняття круга пропонуємо побудувати коло за допомогою будь-якого інструмента, відкрити вікно його властивостей і у закладці Колір перетягнути повзунок Заповнення. При цьому частина площини, обмежена колом буде зафарбована. На основі цих спостережень вводимо означення круга, як частини площини, яка обмежена колом, включно з його межею.
Крім того, бажано вибрати довільну точку, що належить кругу. Для цього використовуємо інструмент Точка на об’єкті. Пропонуємо виміряти відстань від цієї точки до центра кола. Переміщуючи цю точку всередині круга, учні легко виявлять суттєву (характеристичну) властивість усіх точок круга. Це дозволить їм сформулювати ще одне означення круга.
На завершення вводимо поняття сектора і сегмента. Показуємо, що круг можна поділити двома радіусами. В результаті одержимо сектори. Крім того, хорда теж ділить круг на дві частини. У цьому випадку одержимо сегменти. Хоч у обох випадках коло ділиться на дві частини, але кожного разу дуга визначає про який сектор чи сегмент іде мова. Тому, ці фігури можна позначати так само, як і дуги.
Корисно познайомити учнів із інструментами Сектор та Сектор за трьома точками. Використання цих інструментів схоже на інструменти для побудови дуг. Перший вимагає вказати центр і дві точки, другий — три точки, що задають сектор. Інструменти можна застосовувати як самостійно, так і в комбінації з інструментами для побудови кола.
2.4 Рівні фігури
Завданням цієї теми є, на інтуїтивному рівні, ввести поняття рівності фігур як таких, що їх можна сумістити, та остової симетрії як способу суміщення фігур через перегинання площини. Більш глибокі знання про рівність фігур учні здобудуть під час вивчення теми «Геометричні перетворення» в 9 класі.
При вивченні даної теми, ми будемо спиратися на наочні уявлення про рівність предметів, які можна сумістити певним способом, та використовувати інструменти GeoGebra, які дозволяють проілюструвати два способи суміщення рівних фігур – накладання та симетрію.
Розпочати можна з побудови многокутника довільної форми за допомогою інструмента Жорсткий многокутник. Скопіювавши і вставивши такий многокутник ми одержимо ще один многокутник, який, можна перенести на нове місце, і обертати навколо однієї з вершин.
Учні навіть візуально бачать, що ці дві фігури є рівними. Крім того, легко їх сумістити, використавши інструмент Переміщення.
Дуже корисно проробити подібні маніпуляції із предметними моделями. Для цього учитель може узяти два аркуші цупкого паперу (або один аркуш зігнути у двоє) і вирізати кілька пар фігур. Розмістити їх на столі або прикріпити на дошці і запропонувати учням виявити рівні фігури та сумістити їх. При цьому варто створити проблемну ситуацію: декілька фігур прикріпити іншим боком, так щоб рівні фігури були симетричними. Тоді учні побачать, що у одних випадках досить одну із фігур пересунути по площині так, щоб вона наклалася на іншу. У інших, потрібно одну із фігур спочатку обернути іншим боком, а потім накласти на іншу.
Особливо важливо акцентувати увагу на поняттях, пов’язаних із симетрією площини. На цьому етапі всі ці поняття вводяться на емпіричному рівні. Більш строгі означення будуть сформульовані при вивченні геометричних перетворень. Однак уже зараз варто сформувати правильні уявлення про симетрію та її роль не тільки в порівнянні фігур за величиною, а й для дослідження їх форми.
Почати можна із згинання аркуша паперу. Показуємо, що аркуш можна зігнути так, щоб його половинки співпали. Це дозволяє перейти до уявного згинання площини та обговорення питання: «Чи завжди півплощини співпадуть, якщо хоча б одна точка, що не належить спільній межі, співпаде з точкою іншої півплощини?». Учні повинні дійти висновку, що, оскільки площина нескінченна і не має згинів, півплощини обов’язково сумістяться. Це дозволяє зробити висновок, що будь-яка пряма є віссю симетрії площини.
Далі можна продемонструвати інструмент Симетрія відносно прямої, який допоможе «обернути» фігуру іншим боком. Для цього будуємо довільний многокутник і симетризуємо його відносно деякої прямої. Переміщаємо многокутник і вивчаємо взаємне розміщення многокутника та його образу в залежності від його положення відносно осі симетрії. Зокрема, розглядаємо випадки, коли вісь перетинає многокутник або містить одну з його сторін.
Також можна організувати вивчення кількості осей симетрії різних фігур, зокрема правильних многокутників або круга. Учні можуть змінювати положення фігури або осі таким чином, щоб фігура та її образ співпали. Завдяки таким експериментам учні можуть підраховувати кількість осей симетрії різних фігур. Подібні вправи розвивають інтуїцію, уяву та геометричне мислення.
2.5 Види трикутників за кутами
Уявлення про трикутники та їх елементи учні мають ще з початкової школи. Тому, на даному уроці необхідно уточнити ці уявлення і, в певній мірі систематизувати їхні знання. Насамперед необхідно сформулювати означення трикутника. Ввести поняття рівності трикутників та класифікувати трикутники за кутами.
Спочатку пропонуємо учням побудувати три точки, що не лежать на одній прямій, з’єднати їх відрізками. На основі одержаного рисунка формулюємо генетичне означення трикутника.
Далі пропонуємо учням побудувати трикутник за допомогою інструмента Многокутник. Це дозволяє сформулювати ще одне означення трикутника через рід і видову відмінність. Якщо перше означення показує як побудувати трикутник, то друге вказує на те, що трикутник є окремим видом многокутника. На основі цього означення виділяємо елементи трикутника та знайомимо з відповідною термінологією.
Для введення поняття рівності трикутників, будуємо трикутник за допомогою інструмента Многокутник. Копіюємо його і вставляємо двічі. «Перетягуємо» копії трикутника на нове місце. Потім суміщаємо будь-які два трикутники.
Аналогічні дії можна виконувати із паперовими моделями. Можна взяти три аркуші паперу, накласти їх один на один і вирізати одночасно три трикутники. Ці трикутники можна розташувати поряд, а можна сумістити будь-які два.
Такі експерименти дозволяють учням сформулювати означення рівності трикутників та зробити висновок, що у рівних трикутників відповідні сторони і відповідні кути рівні.
Як учні уже знають, фігури, побудовані за допомогою інструмента Многокутник можна змінювати, перетягуючи їхні вершини на нове місце. Учні можуть експериментувати з одним трикутником, а можуть змінювати кожен трикутник окремо. Головне, щоб вони утворили гострокутний, прямокутний і тупокутний трикутники та сформулювали відповідні означення.
На даному уроці важливо приділити належну увагу формуванню навичок виконанню зображень як на папері, так і у GeoGebra. Бажано, щоб учні виконали відповідні рисунки у зошитах. Для побудови гострокутного і тупокутного трикутників вони можуть користуватися окоміром. Для побудови прямокутного трикутника – клітинками зошита або косинцем.
Аналогічно, виконуючи зображення у GeoGebra для зображення прямокутного трикутника учні можуть користуватися сіткою. Однак, якщо ми хочемо, щоб програма «пам’ятала» трикутник як прямокутний при будь-яких деформаціях, то необхідно використовувати інструмент Перпендикулярна пряма, що моделює косинець. При потребі зобразити трикутник, який неможливо змінюватися, то краще користуватися інструментом Жорсткий многокутник.
2.6 Медіана трикутника. Читання зображень
На даному уроці слід сформувати поняття медіани та виявити, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці. У GeoGebra побудова медіани проста завдяки інструменту Середина або центр, який дозволяє швидко знаходити середину сторони трикутника. У зошиті зобразити медіану складніше, оскільки учні ще не вміють ділити відрізок навпіл за допомогою циркуля та лінійки. Тому середину відрізка доводиться знаходити за допомогою лінійки з поділками.
Після побудови медіан учні спостерігають, що всі вони перетинаються в одній точці. Змінюючи форму трикутника в GeoGebra, можна переконатися, що ця властивість зберігається для всіх трикутників.
Оскільки урок не переобтяжений новими поняттями, доцільно обговорити питання «читання» зображень. Наприклад, запропонувати учням назвати всі трикутники, які утворюються при проведенні 1, 2 або 3 медіан. Інструменти GeoGebra дозволяють показувати та приховувати кожен трикутник окремо. Для цього можна скористатися інструментом Многокутник: будувати кожен трикутник окремо, клацаючи по його вершинах. На панелі Алгебра автоматично відображатиметься кількість побудованих трикутників. Далі всі трикутники можна приховати та демонструвати їх по одному.
Після цього слід ознайомити учнів із інструментом Прапорець, який використовується для приховування або демонстрації окремих елементів рисунка. Використання цього інструменту полегшує організацію роботи зі складними конструкціями та сприяє кращому розумінню побудов.
2.7 Бісектриса трикутника
Як і на попередньому уроці, введення означення бісектриси розпочинається із виконання рисунків у GeoGebra та зошитах. Для побудови бісектриси у GeoGebra використовуємо інструмент Бісектриса. Для поділу кута навпіл у зошиті, використовуємо транспортир. Як і у випадку з медіанами, учні бачать, що бісектриси перетинаються у одній точці. Для підтвердження цього факту, деформуємо трикутник, зображений у GeoGebra.
2.8 Висоти трикутника
У порівнянні з попередніми уроками, ця тема є складнішою, оскільки потрібно не лише ввести поняття висоти трикутника, а й обговорити питання про точку перетину висот. Для побудови висоти в зошиті учні мають зручний інструмент — косинець.
Урок можна розпочати з побудови висоти в гострокутному трикутнику у середовищі GeoGebra. Після цього, змінюючи форму трикутника, учні бачать, що у тупокутному трикутнику висота, проведена до протилежної сторони, зникає. На панелі Алгебра такий відрізок позначається знаком «?». Щоб вирішити цю проблему, пропонуємо провести перпендикуляр до прямої, що містить основу трикутника. У такому разі висота більше не зникає при зміні форми трикутника. На цьому етапі формулюємо означення висоти.
Далі повертаємось до гострокутного трикутника і будуємо всі його висоти. Учні спостерігають, що висоти перетинаються в одній точці. При деформації трикутника точка перетину може зникати, але якщо провести продовження висот як прямих, вони перетинаються в одній точці. Це дозволяє сформулювати важливу властивість висот.
Наступним кроком є дослідження розташування точки перетину висот залежно від виду трикутника. У середовищі GeoGebra можна організувати цікавий експеримент: дослідити траєкторії, які описує точка перетину висот, якщо одна з вершин трикутника рухається заданою траєкторією. Для цього:
1. Будуємо задану фігуру (наприклад, коло) і створюємо на ній точку за допомогою інструменту Точка на об’єкті.
2. Створюємо трикутник, одна з вершин якого є ця точка.
3. У контекстному меню точки перетину висот вибираємо Залишати слід.
4. Рухаючи вершину трикутника по визначеній траєкторії, спостерігаємо утворення цікавих ліній.
Приклади таких моделей можна знайти за посиланнями:
• Модель 3
Такі експерименти можна виконувати у позаурочний час, вони стимулюють учнів до самостійних досліджень та пошуку нових цікавих варіантів. Результати таких досліджень часто є несподіваними і захоплюючими не лише для учнів, але й для вчителя.
2.9 Властивості кутів трикутника
На цьому уроці потрібно допомогти учням відкрити властивість про суму внутрішніх кутів трикутника. Розпочати можна із простого досліду з паперовою моделлю трикутника.
Запропонуйте учням вирізати трикутники з паперу або роздайте їм трикутники, бажано різної форми. Учні відрізають або відривають кути трикутника та складають їх так, щоб усі кути прилягали один до одного. В результаті вони побачать, що ці кути разом утворюють розгорнутий кут.
Це дозволить зробити попередній висновок: сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°.
Щоб зробити висновок переконливішим, запропонуйте учням повторити експеримент у динамічному середовищі GeoGebra.
Учні будують трикутник, вимірюють його кути за допомогою інструментів програми, а потім обчислюють їх суму. У всіх випадках результат буде той самий — 180°. Щоб доручити GeoGebra обчислювати суму кутів, необхідно у командний рядок ввести формулу: ++. Це вимагає додатково навчити учні вводити грецькі літери використовуючи таблицю символів або віртуальну клавіатуру.
Після завершення експериментів учні самостійно формулюють теорему про суму внутрішніх кутів трикутника.
Доведення цієї теореми нескладне, тому важливо ознайомити учнів із ним. Ключем до розуміння є добудова прямої, паралельної основі трикутника. Для пояснення скористайтеся моделлю GeoGebra:
Модель GeoGebra демонструє, ті самі дії, що із паперовими кутиками. Але, тут кути можна сумістити єдиним способом, який показує утворення розгорнутого кута з трьох кутів. В результаті, сторони двох кутів утворюють пряму, паралельну до основи.
Учні беруть участь у міркуваннях, обговорюють отримані результати та записують доведення у зошит. Особливу увагу звертають на умову, твердження теореми та обґрунтування кожного кроку доведення. У підручнику подано чотири наслідки з теореми:
1. У прямокутному трикутнику два гострі кути доповнюють один одного до 90°.
2. У будь-якому трикутнику не може бути більше одного тупого кута.
3. У будь-якому трикутнику не може бути більше одного прямого кута.
4. Відомі два кути трикутника дозволяють знайти третій.
Учні самостійно обґрунтовують кожен із наслідків. За потреби вчитель може підказати, що три перших наслідки доводяться методом від супротивного, а четвертий — звичайними обчисленнями.
2.10 Зовнішній кут трикутника
На даному уроці необхідно ввести поняття зовнішнього кута та довести теореми про зовнішній кут трикутника та про суму зовнішніх кутів. Означення зовнішнього кута учні можуть сформулювати самостійно на основі відповідних побудов. Теореми теж не повинні в учнів викликати труднощі, оскільки вони доводяться простими розрахунками.
У підручнику наведено ще одне доведення теореми про суму зовнішніх кутів, яка ґрунтується на тому, що в процесі руху по периметру трикутника, потрібно зробити один оберт. Зазвичай учням важко це уявити. Для моделювання такого руху можна скористатися моделлю:
https://www.geogebra.org/m/asfszxwr
В цій моделі зображено трикутник і його зовнішні кути. У вершині 𝐴 розташована маленька стрілка. За межами трикутника зображено невеликий відрізок, паралельний стрілці (Рис.2.1). Якщо «захопити» кінець стрілки і обертати її, то відповідно, обертається і відрізок. Оскільки відрізок залишає слід, то є можливість фіксувати на який кут повернулася стрілка кожного разу при зміні напрямку руху.
Рис.2.1 Модель для ілюстрації руху по периметру трикутника
Щоб зняти слід, треба трохи перетягнути полотно.
Для демонстрації руху по периметру «захопимо» стрілку за початок і перетягнемо по стороні AB. Тоді «зловимо» за кінець стрілки і повернемо так, щоб вона співпала зі стороною 𝐵𝐶. Одночасно відрізок покаже кут повороту, а стрілка – наступний напрям руху. «Пройдемо» далі по стороні 𝐵𝐶, а потім по стороні CA. Коли стрілка займе своє початкове положення, то відрізок опише повний кут, зробивши повний оберт.
Демонстрація руху по периметру трикутника за допомогою моделі в GeoGebra не лише підсилює розуміння теореми про суму зовнішніх кутів, а й робить урок більш наочним, інтерактивним і цікавим. Це створює умови для кращого засвоєння матеріалу та підвищує мотивацію до вивчення геометрії.
2.11 Види трикутників за сторонами
На цьому уроці необхідно встановити види трикутників за сторонами. Навчити будувати правильний і рівнобедрений трикутник на папері і за допомогою інструментів GeoGebra.
Як і у випадку класифікації трикутників за кутами, будуємо трикутник за допомогою інструмента Многокутник. Копіюємо його і вставляємо двічі. Розташовуємо трикутники поряд, і вимірюємо їхні сторони. Далі перетягуємо вершини другого трикутника так, щоб дві сторони стали рівними. Аналогічно третій трикутник перетворюємо у правильний. Після цього учні формулюють означення різностороннього, рівнобедреного і правильного трикутників.
Для побудови правильного трикутника у GeoGebra використовується інструмент Правильний многокутник. У зошиті цю побудову виконують за допомогою циркуля та лінійки. Для цього:
1. Будують основу трикутника.
2. Малюють два кола з центрами у вершинах основи та радіусами, рівними довжині цієї основи.
3. Точка перетину кіл стає третьою вершиною трикутника.
Рівнобедрений трикутник можна побудувати аналогічним способом, але радіуси кіл обирають довільними, більшими за половину довжини основи, і рівними між собою.
Інший спосіб побудови рівнобедреного трикутника описано у підручнику:
1. Будують коло та позначають на ньому дві довільні точки.
2. З’єднують ці точки відрізками із центром кола, утворюючи трикутник.
Аналогічні побудови можна виконати у GeoGebra за допомогою інструментів Відрізок, Циркуль та Многокутник.
2.12 Властивості рівнобедреного трикутника
Властивості рівнобедреного трикутника можна легко дослідити за допомогою інструментів GeoGebra. Якщо в рівнобедреному трикутнику побудувати бісектрису, медіану і висоту, проведені до основи, то вони співпадатимуть.
Доведення цієї теореми базується на властивостях осьової симетрії. У процесі доведення учні також відкривають властивість рівнобедреного трикутника про рівність кутів при основі.
У підручнику одразу подано два наслідки, що стосуються кутів правильного і прямокутного рівнобедреного трикутника. Варто акцентувати увагу учнів, що обернені твердження до цих наслідків є ознаками рівнобедреного трикутника.
Для виявлення ознак рівнобедреного трикутника у підручнику пропонується модель, у якій можна перетягувати основу висоти. Коли її суміщають з основою медіани, трикутник стає рівнобедреним.
Хоча аналогічного ефекту можна досягти, побудувавши довільний трикутник за допомогою інструмента Многокутник і проводячи висоту, медіану та бісектрису до однієї сторони, такий підхід є менш зручним. Тому модель з можливістю перетягування основи висоти є більш практичною.
Учні також можуть самостійно створити подібну модель. Для цього:
1. Побудуйте пряму 𝐴𝐵.
2. Позначте на ній точку 𝐻.
3. Через точку 𝐻 проведіть пряму, перпендикулярну до 𝐴𝐵 і позначте на ньому точку 𝐶. Потім приховайте цю пряму
4. Побудуйте трикутник △ 𝐴𝐵𝐶, його медіану 𝐶𝑀 і бісектрису 𝐶𝐷.
Доведення ознак рівнобедреного трикутника також базується на властивостях осьової симетрії.
Оскільки учні вже будували рівнобедрений трикутник за допомогою кола, у підручнику сформульовано два додаткові наслідки, які стосуються властивостей хорд. Їх доведення безпосередньо випливає з ознак рівнобедреного трикутника.
2.13 Залежність між сторонами і кутами трикутника
Спочатку учні залежність між сторонами і кутами виявляють використовуючи модель трикутника, побудованого за допомогою інструмента Многокутник. Це можна робити за допомогою окоміру або вимірювальних інструментів GeoGebra. Змінюючи форму трикутника бачимо, що при збільшені сторони, збільшується протилежний кут. Для того, аби учні могли виявити цю залежність візуально, надаємо трикутнику такої форми, щоб сторони мали очевидно різну довжину. Тоді, якщо порівняти усі сторони і усі кути, то бачимо, що найбільший кут лежить проти найбільшої сторони, а найменший – напроти найменшої. Якщо вибирати трикутник близький до правильного, то тоді слід виміряти всі сторони і всі кути вимірювальними інструментами.
Доведення теореми про те, що проти більшої сторони лежить більший кут вимагає добудови. Додаткові побудови, які необхідно виконувати при доведенні теорем чи розв’язуванні задач – це творчий процес. В учнів завжди виникають питання виду:
− чому саме виконали таку добудову?
− а як до такої добудови додуматися?
Тому учитель має бути готовим до цих питань. І навіть, якщо вони не прозвучать, завжди необхідно намагатися розкривати логіку таких добудов. Це розвиває в учнів геометричну інтуїцію.
У нашому випадку ми порівнюємо сторони і кути. Тому можна обговорити питання:
- Як зручно розташувати відрізки, щоб їх було легко порівняти? (Відкласти на промені від його початку).
- Як зручно розташувати кути, щоб їх було легко порівняти? (Відкласти від промені у одному напрямі).
У нашому випадку коло з центром у вершині 𝐵 і радіусом 𝐵𝐶 відкладає відрізок 𝐵𝐶 на стороні 𝐵𝐴 від точки 𝐵. При цьому обидва відрізки ми «бачимо» з однієї точки 𝐶: більший під більшим кутом, а менший – під меншим. Тому залишається лише порівняти 1 і 𝐴.
Обернена теорема доводиться методом від супротивного. До такої схеми міркувань учні уже повинні звикнути. При потребі, учитель може її нагадати.
У підручнику подано ще три наслідки, які безпосередньо випливають із цих теорем.
2.14 Перша ознака рівності трикутників (За двома сторонами і кутом між ними)
Ознаки рівності трикутників є базою для встановлення рівності трикутників а значить і рівності їх відповідних елементів. У підручнику вибрано підхід, коли учні будують трикутник за окремими елементами уже побудованого трикутника. Після цього сумістивши заданий і побудований трикутники переконуємось, що ми побудувати трикутник рівний даному.
Такий підхід дозволяє учням одержати певні навички побудов ще до того, як вони ознайомляться із задачами на побудову. Крім того, спосіб побудови допомагає учням віднайти шлях обґрунтування відповідної ознаки.
Щоб ми могли суміщати заданий і побудований трикутник, вихідний різносторонній трикутник будуємо за допомогою інструмента Жорсткий многокутник. Учні уже знають, що змінити форму і розміри такого трикутника неможливо. Крім того, при побудові многокутника за допомогою даного інструмента, GeoGebra приховує третю вершину, тому її потрібно відобразити.
Тепер перед учнями ставимо завдання побудувати трикутник у якого дві сторони і кут між ними, такі як у даного трикутника.
У підручнику пропонується спочатку будувати кут, а тоді на його сторонах відкладати відрізки, рівні сторонам трикутника. Для побудови кута рівного даному, використовуємо інструмент Кут, яким вимірюємо один із кутів трикутника і Кут заданої величини, яким будуємо кут. Для відкладання на сторонах кута відрізків, рівних сторонам даного трикутника, використовуємо інструмент Циркуль. Якщо побудувати два кола з центром у вершині кута, радіуси яких відповідно дорівнюють сторонам трикутника, то на кожній стороні кута одержимо по дві точки. Це означає, що можна побудувати два трикутники, елементи яких відповідають заданій умові.
Побудувавши ці трикутники, необхідно обговорити з учнями, чим вони схожі і чим відрізняються. Важливо, щоб учні підмітили, що ці трикутники симетричні відносно бісектриси даного кута. Обґрунтувати цей факт не складно. Як відомо, бісектриса є віссю симетрії кута, а діаметр – віссю симетрії кола. Тому точки перетину кіл з сторонами кут є симетричними, а значить симетричними будуть одержані трикутники. На основі цих міркувань робимо висновок, що побудовані трикутники рівні між собою.
Залишається показати, що вони ще рівні із даним трикутником. Для цього потрібно цей трикутник сумістити з одним із побудованих трикутників.
Тут потрібно розуміти, що даний трикутник суміститься з одним конкретним побудованим трикутником. Однак, якби даний трикутник був «розвернутий іншим боком» то тоді він би сумістився з іншим трикутником.
Щоб учні це зрозуміли краще вчителю заздалегідь вирізати модель трикутника із цупкого паперу, ДВП чи пластику. Бажано, щоб протилежні боки моделі були зафарбовані у різні кольори. Тоді, будуємо на дошці кут, рівний одному з кутів трикутника. Прикладаємо модель одним боком і обводимо трикутник. Тоді прикладаємо іншим боком і теж обводимо трикутник. Одержуємо два трикутники, описані у підручнику.
Тому, слід провести загальні міркування про порядок накладання трикутників: суміщаємо кути, оскільки від заданого променя можна відкласти лише один кут рівний даному. Тоді перша сторона трикутника співпаде з точкою перетину першого кола з стороною кута, а друга – з точкою перетину другого кола з іншою стороною кута (оскільки на промені від його початку можна відкласти лише один відрізок рівний даному). Тому трикутник співпаде із одним з побудованих трикутників.
На основі виконаних побудов і обґрунтувань, формулюємо першу ознаку рівності трикутників.
2.15 Друга ознака рівності трикутників (За стороною і прилеглими кутами)
Так само, як і при встановлені першої ознаки, будуємо трикутник, використовуючи інструмент Жорсткий многокутник. Вимірюємо одну сторону і прилеглі кути і будуємо трикутник із такими елементами.
Спочатку будуємо відрізок рівний даному. Потім від променів, що задані кінцями цього відрізка, відкладаємо у різні боки кути, які відповідно дорівнюють прилеглим кутам даного трикутника. Одержуємо два трикутники, що відповідають заданим умовам.
Рівність цих трикутників випливає із їх симетричності. У даному випадку віссю симетрії трикутників є пряма, що містить їх спільну сторону. Тому встановити цю вісь і обґрунтувати симетричність трикутників, учні зможуть самостійно.
Використовуючи досвід накладання трикутників, при обґрунтуванні попередньої ознаки, учням легше буде проводити загальні міркування накладання даного трикутника на один із побудованих. Якщо сумістити відповідні вершини даного і побудованого трикутника, то співпадуть відповідні кути у тій півплощині, у яку попаде трикутник. При цьому співпадуть і сторони відповідних кутів, а значить і точка їх перетину – третя вершина трикутника.
Так само, як і у попередньому випадку, ознаку формулюємо на основі проведених досліджень.
2.16 Третя ознака рівності трикутників (За трьома сторонами)
Алгоритм встановлення і доведення третьої ознаки рівності трикутників подібний до алгоритмів для двох попередніх ознак. Спочатку будуємо трикутник за допомогою інструменту Жорсткий многокутник. Потім створюємо два трикутники, сторони яких відповідно дорівнюють сторонам заданого трикутника. Основним інструментом для побудови таких трикутників є Циркуль. Він використовується для:
− побудови відрізка, рівного одній із сторін даного трикутника;
− побудови кіл із центрами у кінцях цього відрізка та радіусами, що дорівнюють двом іншим сторонам трикутника.
Рівність отриманих трикутників ґрунтується на їх симетричності. Рівність одного з побудованих трикутників із даним випливає із їх суміщення шляхом переносу.
Обґрунтування цих фактів практично повторює ті побудови, які учні виконували раніше. Тому такі завдання не повинні викликати у них труднощів.
2.17 Ознаки рівності прямокутного трикутника
Більшість ознак рівності прямокутних трикутників – це наслідки ознак рівності довільних трикутників. Але, перш ніж перейти до їх формулювання, необхідно ознайомити учнів із назвами сторін прямокутного трикутника. Також варто пригадати, що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90, тому, якщо у прямокутних трикутників рівна одна пара гострих кутів, то рівна і інша пара гострих кутів.
Після цього пригадуємо першу ознаку рівності трикутників і звертаємо увагу, що кут між катетами у прямокутних трикутників прямий. Тому одержуємо першу ознаку рівності прямокутних трикутників за двома катетами.
Далі пригадуємо другу ознаку рівності трикутників і звертаємо увагу, що до катета прилеглими є гострий і прямий кут. Тому на основі цієї ознаки маємо ознаку рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом.
До гіпотенузи прилеглими є гострі кути. Але, якщо одна пара гострих кутів рівна, то друга теж. Тому із другої ознаки рівності трикутників випливає ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і гострим кутом.
Єдина ознака, яку потрібно довести це ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і катетом.
Тому, як у випадку вивчення ознак для довільних трикутників, за допомогою інструмента Жорсткий многокутник будуємо прямокутний трикутник, користуючись лініями сітки. Далі ставимо завдання побудувати прямокутний трикутник, у якого гіпотенуза і катет відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету даного трикутника.
Всі побудови подано у підручнику, але вчитель може залучати учнів до їх виконання. Якщо для побудови прямого кута використати інструмент Перпендикулярна пряма, то одержуємо два трикутники, у яких гіпотенуза і катет відповідно дорівнюють гіпотенузі катету даного трикутника.
Ці трикутники є рівними, оскільки симетричні відносно прямої, що містить їх спільний катет
Процес суміщення даного трикутника описаний у підручнику, але деякі деталі свідомо не уточняються. Тому, ці моменти потрібно обговорити з учнями та обґрунтувати їх.
Звертаємо увагу учителя на деякі технічні труднощі суміщення даних трикутників у Geogebra. У підручнику пропонується спочатку сумістити катети так, щоб співпали прямі кути. Але, при побудові трикутника за допомогою інструмента Жорсткий многокутник, перша вершина використовується для переміщення трикутника, а друга для його обертання. Тому, щоб трикутники можна було сумістити, так, як описано у підручнику, треба починати будувати прямокутний трикутник із відомого катета. При цьому прямий кут GeoGebra назве буквою A або B (Рис.2.2). Щоб одержати стандартні позначення прямокутного трикутника, доведеться вершини перейменувати.
Рис.2.2 Порядок побудови прямокутного трикутника
Тепер, вершину 𝐴 перетягуємо у точку 𝐺, і, «захопивши» вершину прямого кута, суміщаємо її з точкою 𝐷.
Розділ 3. Геометричні побудови
3.1 Взаємне розміщення прямої і кола. Дотична
На даному уроці потрібно дослідити взаємне розміщення прямої і кола, сформулювати означення дотичної та відкрити і обґрунтувати її властивості. Для проведення експериментів знадобиться коло фіксованого радіуса, тому для його побудови використовуємо інструмент Коло. Центр і Радіус. Значення радіуса можемо вибирати будь-яким, оскільки масштаб полотна, при потребі можна міняти.
Взаємне розміщення прямої і кола залежить від відстані, від центра кола до прямої. Тому спочатку будуємо довільну пряму, що проходить через центр. На ній вибираємо біжучу[1] точку. Через неї, проводимо пряму, перпендикулярну то даної прямої. Тоді довжина відрізка, що з’єднує центр кола з цією біжучою точкою задає відстань від центра до прямої. Тому, якщо в учнів виникне питання, чому для дослідження ми вибираємо саме таку пряму, то потрібно звернути увагу, що така модель дозволяє слідкувати за відстанню від центра до прямої. Однак, це не зменшує загальності, оскільки прямі можна обертати навколо центра.
За допомогою цієї моделі учні самостійно легко сформулюють висновок про кількість точок перетину прямої і кола. Вчителю залишається повідомити, що пряма, яка має з колом одну спільну точку називається дотичною.
Варто звернути увагу на ще один спосіб одержання дотичної. Для цього будуємо пряму, що перетинає коло у двох точках 𝐴 та 𝐵, яку зручно називати січною. «Захопимо» точку 𝐵 і будемо наближати її до точки 𝐴. Якщо, за допомогою інструмента Дотична, побудувати дотичну у точці 𝐴, то будемо бачити, що січна, обертаючись навколо точки𝐴, наближається до положення дотичної. Якщо провести радіуси у точки 𝐴 та 𝐵, то вони такою будуть наближатися один до одного. При цьому, кут між радіусами і січною буде наближатися до прямого.
Цікаво, що якщо у командний рядок ввести команду B=A, то пряма 𝐴𝐵 зникне, оскільки пряма задається двома різними точками. Тому, для відображення дотичної, потрібно скористатися інструментом Дотична.
Властивість радіуса, проведеного у точку дотику учні зможуть підмітити відразу, користуючись обома моделями. Перш, ніж розпочати доведення цієї властивості, можна запропонувати учням подивитися на рисунок у підручнику. Напевно у класі знайдуться кілька учнів, які здогадаються, як можна довести цю теорему.
Далі можна обговорити питання, чи може пряма, перпендикулярна до радіуса, яка проходить через його кінець перетинати коло двічі? Очевидно, що
відповідь негативна. І знову досить поглянути на відповідний рисунок у підручнику, щоб підтвердити цей факт.
На завершення знайомимо учнів із інструментом GeoGebra для побудови дотичної. Побудувавши дотичні з точки поза колом та точки дотику, легко підмітити властивість відрізків дотичних. Рівність цих відрізків випливає з рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою і катетом.
3.2 Взаємне розміщення двох кіл
Дослідження взаємного розміщення двох кіл є важливим для розуміння базових геометричних взаємозв’язків. Зокрема, це дозволяє розвивати навички аналізу просторових відношень, застосування нерівності трикутника та визначення умов розташування точок на прямій. В процесі дослідження взаємного розміщення двох кіл важливо звернути увагу на виявлення умов існування трикутника та розміщення точок на одній прямій.
Модель, запропонована у підручнику, дозволяє змінювати розміри кіл, та переміщувати їх центри. Тому, з її допомогою можна системно дослідити усі випадки взаємного розміщення кіл в залежності від відстані між центрами та радіусами кіл.
Побудувати модель можна безпосередньо на уроці, або скористатися готовою.
Досліджувати взаємне розміщення двох кіл можна у послідовності, описаний у підручнику, коли кола є концентричними. Також можна розпочати із кіл, які не перетинаються і знаходяться зовні одне до одного. У будь якому випадку змінюючи відстань між центрами кіл, або радіус одного з них, послідовно проходимо усі випадки, воли кола не перетинаються, дотикаються зсередини і зовні, перетинаються у 2 точках.
У кожному випадку звертаємо увагу на відношення між радіусами і відстанню між центрами. Учні повинні не лише сформулювати нерівність трикутника, але й умову розміщення точок на прямій. Зокрема, у якому випадку точка знаходиться між двома іншими, а у якому точки лежать по один бік від даної точки. Так само, учні повинні зробити висновок про те, що точка дотику кіл завжди належить прямій, що проходить через центри кіл.
Окремо слід наголосити, що перетин кіл у двох точках випливає із їх симетричності відносно діаметра.
3.3 Задачі на побудову
На початку уроку необхідно ознайомити учнів із ідеєю розв’язування задач на побудову, яка полягає в тому, що ставиться завдання побудувати фігуру, яка володіє вказаними властивостями за допомогою обмеженого набору інструментів. Зазвичай це лінійка і циркуль. Хоч бувають і інші обмеження.
Такі побудови можуть виконуватися на папері або в середовищі динамічної математики але лише за допомогою інструментів, які моделюють циркуль та лінійку.
Слід звернути увагу, що інструменти GeoGebra мають значно більші можливості, ніж традиційні інструменти. Тому, потрібно узгодити з учнями, які інструменти програми будемо використовувати для моделювання побудов на папері.
На цьому уроці варто обговорити етапи розв’язування задач на побудову. Для цього у підручнику пропонується конкретний приклад задачі, яку учні уже розв’язували при вивченні ознак рівності трикутників. Однак, постановка задачі дещо відрізняється від тієї, яка використовувалася при вивченні ознаки. Вчитель, при бажанні, може вибрати і іншу задачу.
Роботу доцільно організувати так, щоб учитель демонстрував розв’язання у середовищі GeoGebra, а учні виконували побудови у зошитах. При цьому варто звертати увагу на відмінностях таких побудов. Наприклад, якщо на папері ми просто задаємо довільні відрізки і будуємо трикутник із цими сторонами, то у GeoGebra сторони краще задати за допомогою повзунків.
Далі потрібно пройти усі етапи розв’язання задачі. У підручнику сформульовано суть кожного етапу в загальному. Розв’язуючи задачу, демонструємо як ці етапи реалізуються у конкретній ситуації.
При дослідженні розв’язку демонструємо переваги динамічних побудов. Статичний рисунок фіксує лише один можливий варіант розв’язку, що відповідає заданим значенням вхідних даних. Динамічний рисунок реагує на всі зміни значень вхідних даних, що значно полегшує дослідження.
3.4 Геометричні місця точок (ГМТ)
Завданням уроку є формування поняття геометричного місця точок та ознайомлення учнів із основними ГМТ, які найчастіше використовуються при розв’язуванні задач на побудови.
У підручнику аналізується розв’язок попередньої задачі. Підкреслюється, що ключем до розв’язання цієї задачі є побудова кіл. Адже всі точки кола знаходяться на однаковій відстані від центра. А положення шуканої вершини визначається заданими відстанями від інших вершин.
Тоді вчитель повідомляє, що є ряд фігур, усі точки яких володіють деякою властивістю і формулює означення ГМТ.
Далі формулюємо означення кола, з використанням поняття ГМТ. Обговорюємо, яку спільну властивість мають усі точки серединного перпендикуляра, бісектриси кута, паралельних прямих. Формулюємо відповідні означення з використанням поняття ГМТ.
Формулюючи означення бісектриси кута, важливо наголосити, що йдеться лише про точки, які належать внутрішній області цього кута. Для кращого розуміння уточнимо, що відстанню від точки до фігури називають довжину найкоротшого відрізка, який з’єднує цю точку з фігурою. Відстань від точки до прямої – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму.
У випадку променя можливі два варіанти:
1. Перпендикуляр, проведений до прямої, яка містить промінь, потрапляє на цей промінь. У такому разі його довжина є відстанню від точки до променя.
2. Перпендикуляр потрапляє на частину прямої, яка не належить променю. Тоді найкоротшим відрізком буде відстань від точки до початку променя.
Розглянемо кут 𝐵𝐴𝐶 з вершиною в точці 𝐴. Побудуємо промені 𝐷𝐴 і 𝐸𝐴, які перпендикулярні відповідно до сторін 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶. Точки, що належать внутрішній області кута 𝐷𝐴𝐸, рівновіддалені від сторін кута 𝐵𝐴𝐶, оскільки найкоротшим відрізком від них до сторін є відстань до вершини кута 𝐴 (див. Рис.3.1).
Рис.3.1 Точки, рівновіддалені від сторін кута
Метод геометричних місць точок (ГМТ) – це ефективний спосіб розв’язування задач, у яких потрібно побудувати точку, що задовольняє кілька заданих умов. Розглянемо сутність цього методу на прикладі вже розв’язаної задачі.
1. В процесі аналізу визначають властивості, які має задовольняти шукану точку. Наприклад, у розв’язаній задачі, вершина 𝐵 знаходиться на відстані 𝑐 від вершини 𝐴 і на відстані 𝑎 від вершини 𝐶.
2. В процесі побудови для кожної властивості будують відповідне геометричне місце точок. У нашому випадку це коло з центром у вершині 𝐴 і радіусом 𝑐 та коло з центром у вершині 𝐴 і радіусом 𝑐.
Шукану точку визначають як точку перетину побудованих геометричних місць. Якщо таких точок кілька, вибирають ті, які відповідають усім умовам задачі.
Цей метод є універсальним і дає змогу систематично знаходити точки, які задовольняють складні геометричні умови.
3.5 Побудова серединного перпендикуляра
Починаючи з цього уроку, знайомимо учнів із алгоритмами елементарних побудов за допомогою циркуля і лінійки. Насамперед потрібно пригадати алгоритм елементарних побудов, які уже розглядалися раніше. Зокрема це відкладання відрізка рівного даному та побудова симетричних точок відносно осі. Важливо, щоб учні виконали відповідні побудови у зошиті.
Основне завдання даного уроку з’ясувати різницю між побудовою серединного перпендикуляра у GeoGebra та на папері. У середовищі GeoGebra є готовий інструмент Серединний перпендикуляр, що спрощує побудову і дозволяє економити час. Серед креслярських інструментів аналогом цього інструменту може бути лінійка з поділками, за допомогою якої можна поділити відрізок навпіл та косинець, за допомогою якого можна побудувати перпендикулярні прямі. Однак, якщо побудови виконуються лише циркулем і лінійкою, то для виконання побудов, необхідно дотримуватися певного алгоритму. Щоб відкрити цей алгоритм, розв’язуємо відповідну задачу на побудову за стандартною схемою.
При аналізі використовується досвід учнів побудови трикутника за трьома сторонами. Учителю лише варто наголосити, що нам потрібно побудувати рівнобедрений трикутник. Тому будуємо кола двох однакових радіусів. Також у підручнику не подано дослідження розв’язку. Таке дослідження можна запропонувати провести самим учням. В результаті, учні повинні зробити висновок, що ця задача завжди має єдиний розв’язок. Також варто наголосити, що при побудові серединного перпендикуляра, ми ділимо відрізок навпіл.
3.6 Побудова перпендикулярної прямої
На цьому уроці учні повинні засвоїти алгоритм побудови прямої, перпендикулярної до заданої прямої, що проходить через задану точку. Окремо розглядаємо випадок коли точка лежить на заданій прямій і коли точка знаходиться поза прямою.
Обидва варіанти зводяться уже до відомих побудов. Тому бажано організувати роботу так, щоб учні змогли самі здогадатися, як скористатися готовими побудовами. З цією метою можна обговорити питання:
- Який перпендикуляр ми уже вміємо будувати?
- Як побудувати відрізок, щоб задана точка, була його серединою?
- Яке взаємне розміщення прямої, що проходить через симетричні точки, і осі симетрії?
Після цього, виконуємо відповідні побудови, як на папері, так і у середовищі GeoGebra.
У підручнику подано ще один алгоритм побудови перпендикулярної прямої, що проходить через точку поза прямою. Щоб учні змогли самостійно відкрити цей алгоритм пропонуємо їм на прямій побудувати такий відрізок, щоб задана точка належала його серединному перпендикуляру. Або, щоб задана точка була рівновіддалена від його кінців.
Зауважимо, що при виконанні рисунків, для побудови перпендикулярних прямих або прямих кутів ми часто користуємося сіткою зошита. У окремих випадках, наприклад, коди використовуємо інструмент Жорсткий многокутник, для побудови прямих кутів теж використовуємо сітку. Крім того, при виконанні рисунків учні також користуються косинцем. Тому, крім побудов циркулем і лінійкою, доцільно відпрацьовувати навички виконання рисунків вказаними способами.
Крім того, варто показати учням, що, за допомогою сітки можна побудувати не лише прямі, що збігаються з лініями сітки (Рис.3.2)
Рис. 3.2 Побудова перпендикулярних прямих за допомогою сітки
3.7Побудова паралельної прямої
На уроці розглянемо дві задачі:
1. Побудова прямої, паралельної до заданої прямої.
2. Побудова геометричного місця точок (ГМТ), віддалених від заданої прямої на вказану відстань.
Перша задача є повторенням: учні вже будували паралельні прямі на попередніх уроках. Тоді:
− На папері перпендикулярні прямі будували за допомогою косинця.
− У середовищі GeoGebra використовували відповідний інструмент.
Тепер побудову перпендикулярних прямих виконуємо за алгоритмами, які учні засвоїли раніше. Особливу увагу слід звернути на опис побудов. Під час виконання задачі необхідно пояснити, що при побудові паралельних прямих ми двічі будуємо перпендикулярні прямі. Таким чином, немає потреби детально описувати всі кроки цього алгоритму. Достатньо вказати:
− Через яку точку будується перпендикуляр.
− До якої прямої він будується.
− Як називається отримана пряма.
Варто зазначити, що при розв’язуванні задач не завжди потрібно виконувати точні побудови за допомогою циркуля і лінійки. Адже такі побудови можуть займати багато часу і бути менш доцільними в практичних умовах.
Для побудови паралельних прямих можна скористатися двосторонньою лінійкою або сіткою зошита. Наприклад, використовуючи сітку, можна проводити паралельні прямі без дотримання строгих геометричних процедур, але з достатньою точністю для розв'язання задачі. При цьому, прямі не обов’язково мають проходити вздовж ліній сітки; їх можна побудувати під довільним кутом, дотримуючись однакових відстаней між ними.
На Рис.3.3 наведено приклади альтернативних способів побудови паралельних прямих, які демонструють практичність такого підходу.
Рис.3.3 Побудова паралельних прямих з використанням сітки
При побудові геометричного місця точок (ГМТ), які знаходяться на заданій відстані від прямої, важливо розглянути поняття відстані між фігурами, зокрема між паралельними прямими. Відстанню між фігурами називають довжину найкоротшого відрізка, що їх з’єднує. Для паралельних прямих це довжина спільного перпендикуляра. У середовищі GeoGebra легко побудувати цей перпендикуляр і продемонструвати, що його довжина не залежить від точки, з якої він проведений.
Варто нагадати, що ГМТ — це фігура, всі точки якої мають певну властивість, тоді як жодна інша точка площини цією властивістю не володіє. Розглядаючи паралельні прямі, ми встановлюємо, що всі точки однієї з них рівновіддалені від іншої. Однак залишається з’ясувати, чи є на площині інші точки з цією ж властивістю.
Учні легко дійдуть висновку, що в іншій півплощині існує ще одна пряма, всі точки якої знаходяться на тій самій відстані від даної. Вона також буде паралельною до даної прямої.
Обговорюючи алгоритм побудови ГМТ, рівновіддалених від прямої, звертаємо увагу на те, що результат не залежить від вибору точки на прямій, оскільки всі спільні перпендикуляри між паралельними прямими мають однакову довжину. Коло, побудоване з центром у вибраній точці, завжди перетинає перпендикуляр у двох точках, адже ця пряма проходить через центр кола. Оскільки дана пряма є віссю симетрії для кола, то отримані точки розташовуються у різних півплощинах, утворених цією прямою, і на однаковій відстані від неї. Прямі, проведені через ці точки паралельно до даної, утворюють шукане ГМТ.
3.8 Побудови, пов’язані з колом
На уроці основна увага приділяється побудові дотичної до кола. Розглядаються два випадки:
Дотична проходить через задану точку на колі. У цьому випадку вона є перпендикулярною до радіуса, проведеного до цієї точки.
Дотична через точку поза колом. Для побудови такої дотичної потрібно знайти точку дотику. Пропонуємо учням використати метод геометричного місця точок (ГМТ). Після обговорення, приходимо до висновку, що шукана точка має дві властивості:
− Вона належить даному колу.
− Вона лежить на колі, побудованому на відрізку, що з’єднує дану точку з центром кола, як на діаметрі.
Тому, спочатку слід розглянути алгоритм побудови кола на відрізку, як на діаметрі. Звертаємо увагу, що для побудови кола, треба мати його центр і радіус. У даному випадку, центром є середина відрізка, а радіус – відстань від цієї середини до кінців відрізка. Отже, якщо побудувати середину відрізка, то будемо мати одночасно і центр і радіус.
У підручнику пропонується ще одна задача на побудову центра заданого кола. Для її розв’язання теж використовуємо метод ГМТ. Вибираємо дві точки на колі і робимо висновок, що центр кола рівновіддалений від цих точок, отже, лежить на серединному перпендикулярі до відрізка, що з’єднує ці точки.
Вибираємо ще одну точку і будуємо ще один серединний перпендикуляр.
Точка перетину цих перпендикулярів буде шуканою.
Далі реалізуємо алгоритми побудови дотичних.
Зауважимо, що учні, виконуючи рисунки часто прикладають лінійку і «на око» визначають точку дотику. Для виконання неточних рисунків, наприклад для проведення аналізу задачі, такі побудови, звичайно можна використовувати. Однак, важливо, щоб учні розуміли, що розв’язування задачі на побудову власне вимагає виявлення алгоритму побудови всіх елементів. Тому, у таких випадках, побудови «на око» недопустимі.
3.9 Побудови, пов’язані з кутом
З кутом також по’вязані дві елементарні побудови: - Побудова кута рівного даному; - Побудова бісектриси кута.
У підручнику для обох задач подані повні розв’язки, починаючи від дослідження до обґрунтування. Вони достатньо прості, тому можна колективно проводити їх аналіз, а алгоритм побудови учні можуть розробити самостійно.
Зауважимо, що у GeoGebra для вимірювання кутів використовують інструмент Кут, а для побудови – Кут заданої величини. При роботі з рисунками на папері обидва ці інструменти замінює транспортир. Як показує практика, учні не дуже вправно користуються цим інструментом, оскільки відповідні вправи зустрічаються рідко. Тому, поряд з побудовами кутів заданої величини, за допомогою циркуля і лінійки, доцільно пропонувати виконати аналогічні завдання за допомогою транспортира.
3.10 Метод ГМТ при розв’язуванні задач на побудову
Суть методу ГМТ при розв’язуванні задач на побудову уже розкривалась раніше при виконанні деяких елементарних побудов. Однак це було дещо у неявній формі. Тепер, необхідно на ньому акцентувати особливу увагу. Можливі два підходи:
- спочатку розв’язуємо конкретну задачу, а потім, аналізуючи її розв’язок, розкриваємо суть методу;
- спочатку формулюємо суть методу, а потім, в процесі розв’язування демонструємо, як ним користуватися.
У підручнику використано перший підхід, але вчитель може, спираючись на досвід розв’язування попередніх задач, сформулювати суть методу відразу. Тоді, розв’язуючи задачу, запропоновану у підручнику (або будь-яку іншу задачу) демонструємо як користуватися цим методом.
Алгоритм роботи доволі простий. Встановлюємо, яку точку потрібно побудувати. З’ясовуємо, яким двом умовам має відповідати ця точка. Будуємо ГМТ, які володіють потрібними властивостями і знаходимо точку їх перетину.
В процесі аналізу встановлюємо за яких умов побудовані ГМТ будуть перетинатися і скільки точок перетину одержимо.
3.11 Коло, описане навколо трикутника
Завданням даного уроку є введення поняття кола, описаного навколо трикутника, побудова даного кола та дослідження розташування центра описаного кола у залежності від форми трикутника.
Середовище GeoGebra, пропонує інструмент Коло за 3 точками, що дозволяє швидко описати коло навколо трикутника. Виконавши таку побудову, учні легко сформулюють означення кола, описаного навколо трикутника.
Проводячи аналіз задачі на побудову кола, описаного навколо трикутника, звертаємо увагу, що, для побудови кола, необхідно мати центр і радіус. Учні можуть пригадати, що вони уже будували центр кола за трьома точками на колі. Оскільки описане коло проходить через вершини трикутника, то такі точки у нас задані.
Виконавши побудову описаного кола формулюємо висновок про те, що центр цього кола лежить у точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін.
Для дослідження положення центра описаного кола від форми трикутника проводимо, використовуючи інструмент Перетягування. Змінюючи форму трикутника від гострокутного до прямокутного і тупокутного, спостерігаємо, як переміщується центр описаного кола.
Учні повинні зробити відповідні висновки. Зокрема, варто звернути увагу, що центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи. Це означає, що радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Також він дорівнює довжині медіани, проведеної до гіпотенузи.
3.12 Коло, вписане у трикутник
Вивчення даної теми доцільно розпочати із побудови трикутника описаного навколо кола. За допомогою інструментів GeoGebra це можна зробити безпосередньо на уроці. Відповідний алгоритм, описаний у підручнику. Побудувавши такий трикутник, ми називаємо його описаним навколо кола. Відповідно коло, називаємо вписаним у трикутник. Основною вимогою є те, що усі сторони трикутника мають бути дотичними до кола.
Далі ставиться проблема: «Вписати коло у заданий трикутник». Знову пригадуємо, що для її вирішення треба знати центр і радіус. Звертаємо увагу, що центр кола рівновіддалений від сторін трикутника. Пригадуємо ГМТ, рівновіддалених від сторін кута і робимо висновок, що центр цього кола знаходиться в точці перетину бісектрис. Радіус вписаного кола дорівнює відстані від його центра до сторін, тому будуємо перпендикуляр із центра, до будь-якої сторони трикутника.
У підручнику розглядається властивість, яка пов’язує півпериметр трикутника із відрізками, на які сторони поділяють точки дотику вписаного кола. Ця властивість ґрунтується на рівності відрізків, утворених дотичними, що проходять через одну точку і перетинають вписане коло. Для візуалізації рівні відрізки в підручнику позначені однаковим кольором, що полегшує сприйняття.
Весь периметр трикутника складається із трьох пар рівних відрізків (по одному від кожної вершини), пофарбованих у три кольори. Отже, півпериметр — це сума довжин трьох відрізків різного кольору. Якщо врахувати, що два відрізки різних кольорів утворюють одну сторону трикутника, то півпериметр можна представити як суму довжини сторони трикутника та відрізка, що з’єднує протилежну вершину з точкою дотику вписаного кола. Відповідно, кожен такий відрізок дорівнює різниці півпериметра і протилежної сторони трикутника.
3.13 Зовні вписане коло у трикутник
Завданням цієї теми є введення поняття зовні вписаного кола та вивчення властивості, яка пов’язує півпериметр трикутника із довжиною дотичної, що проходить від вершини трикутника до точки дотику зовні вписаного кола.
У підручнику спочатку пропонується побудувати зовні вписане коло, а вже потім сформулювати його означення. Учитель може пов’язати це поняття із вписаним колом, звертаючи увагу на схожі властивості. Для цього важливо нагадати, що вписане коло дотикається всіх сторін трикутника. У свою чергу, коло, яке дотикається трикутника зовні, тобто однієї сторони трикутника і продовжень двох інших сторін, називається зовні вписаним.
Щоб зацікавити учнів у відкритті властивості зовні вписаного кола, корисно спочатку нагадати зв’язок півпериметра із довжинами відрізків, на які точки дотику вписаного кола поділяють сторони трикутника. Використовуючи властивості дотичних, можна показати, що зовні вписане коло має аналогічну властивість.
Для кращого сприйняття доцільно використовувати кольори. Зовні вписане коло поділяє одну сторону трикутника на два відрізки, а периметр трикутника можна представити як суму довжин чотирьох відрізків, позначених чотирма кольорами. Згідно з властивістю дотичних, сума довжин червоного та рожевого відрізків дорівнює сумі довжин зеленого та синього.
Оскільки ці відрізки разом утворюють відрізок дотичної, що з’єднує вершину з точкою дотику, то його довжина дорівнює півпериметру трикутника.
8 клас
Розділ 4. Чотирикутники
4.1 Чотирикутник. Властивості кутів чотирикутника
На цьому уроці слід допомогти учням сформулювати означення чотирикутника та його елементів. Ознайомити з інструментами GeoGebra, які використовуються для їх побудови, та особливостями їх застосування. Уточнити поняття «опукла фігура» і ввести поняття «опуклий чотирикутник». Сформулювати та довести теорему про суму внутрішніх кутів чотирикутника.
Розпочати слід із побудови чотирикутника за допомогою інструмента Многокутник. Перетягуючи вершини фігури, нагадуємо, що многокутником називають частину площини, обмежену простою замкненою ламаною, тобто ламана не повинна мати точок самоперетину.
Після цього формулюємо два означення чотирикутника:
− Генетичне означення: частина площини, обмежена простою замкненою ламаною із чотирьох ланок.
− Означення як окремого виду многокутника.
Далі виділяємо елементи чотирикутника: вершини, сторони, кути. Встановлюємо походження його назви. Знайомимо учнів із поняттям діагоналі чотирикутника.
Побудуємо відрізок, кінці якого належать внутрішній області чотирикутника, і дослідимо, коли цей відрізок повністю лежить у межах чотирикутника (опуклий чотирикутник), а коли виходить за межі (неопуклий чотирикутник). Повідомляємо учням, що у подальшому будемо розглядати лише опуклі многокутники.
Зайвий раз пригадуємо особливості використання інструмента Жорсткий многокутник. Під час побудови фігури відображаються лише дві вершини:
− Перша вершина використовується для переміщення фігури.
− Друга — для обертання многокутника навколо першої.
Інші вершини можна відобразити, відкривши панель Алгебра, але захопити їх для виконання дій неможливо.
Щоб поглибити уявлення учнів про поняття «жорсткість», будуємо трикутник за трьома сторонами і чотирикутник за чотирма сторонами. Учні мають дійти висновків:
− Якщо задані три відрізки, з яких можна побудувати трикутник, такий трикутник єдиний, і його форму змінити неможливо.
− Якщо задані чотири відрізки, з яких можна побудувати чотирикутник, таких чотирикутників безліч: ми можемо змінювати форму, перетягуючи будь-яку з його вершин.
Таким чином, трикутник є жорсткою фігурою, а чотирикутник – ні.
Щоб допомогти учням сформулювати теорему про суму внутрішніх кутів чотирикутника, пропонуємо виміряти ці кути в GeoGebra. В панелі Алгебра перевіряємо позначення кутів, а потім у командному рядку вводимо команду для обчислення їхньої суми. Учні бачать результат 360°.
Для доведення теореми пропонуємо учням звернути увагу, що діагональ розбиває чотирикутник на два трикутники. Оскільки сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, загальна сума внутрішніх кутів чотирикутника становить 180°+180°=360°.
4.2 Паралелограм
Ця тема є однією з найважливіших тем розділу. Завдяки інструментам GeoGebra, більшість властивостей паралелограма учні можуть відкрити самостійно. У підручнику пропонується побудувати довільний чотирикутник і знайти середини його сторін. Далі, побудувати чотирикутник з вершинами у цих точках. Результати маніпуляцій з моделлю демонструють, що отриманий чотирикутник завжди є паралелограмом, за винятком вироджених випадків, коли середини сторін лежать на одній прямій. Використовуючи цю модель учні можуть самі сформулювати означення паралелограма: «Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні».
У допитливих учнів може виникнути бажання пояснити причину паралельності протилежних сторін чотирикутника, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника. Вчитель має бути готовим до подібних запитань. Він може пояснити, що кожна із сторін є паралельною відповідній діагоналі. Це слідує із теореми про середню лінію трикутника, яку ми будемо розглядати пізніше.
Виходячи з означення, будуємо динамічну модель паралелограма, описану в підручнику. Далі необхідно приділити увагу виконанню зображення паралелограма у зошиті. Для цього використовуємо полотно із сіткою і розташовуємо вершини паралелограма у її вузлах. Бажано виконати два рисунки:
- дві сторони паралелограма проходять по горизонтальних лініях сітки; - усі сторони паралелограма не проходять по лініях сітки.
Маніпулюючи із моделлю, побудованою у середовищі GeoGebra, учні легко відкриють усі властивості сторін, кутів і діагоналей паралелограма. Хоча всі властивості можна побачити візуально, учням слід запропонувати використовувати інструменти для вимірювання відрізків і кутів для їх перевірки.
Доведення властивостей паралелограма ґрунтується на ознаках рівності трикутників та ознаках паралельності прямих. Тому необхідно звернути особливу увагу на ці ознаки перед вивченням теми або в процесі актуалізації опорних знань.
Щоб учні змогли самостійно довести кожну властивість, можна підказати їм, якими теоремами слід скористатися. Якщо цього буде недостатньо, можна запропонувати знайти рівні трикутники або, у крайньому разі, вказати, які саме трикутники слід розглянути.
Після доведення властивостей паралелограма ставимо проблему істинності обернених тверджень. Учням пропонується самостійно сформулювати кожне твердження, побудувати модель для його перевірки та довести його за допомогою логічних міркувань.
Наприклад, якщо діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, чи можна стверджувати, що цей чотирикутник є паралелограмом?
Відповідну модель можна побудувати двома способами:
Перший спосіб:
- Будуємо два непаралельні відрізки та чотирикутник, вершинами якого є кінці цих відрізків.
- За допомогою інструменту Середина або центр знаходимо середини цих відрізків.
- Використовуючи інструмент Переміщення, перетягуємо один із відрізків так, щоб їх середини співпали.
- Учні спостерігають, як чотирикутник поступово перетворюється на паралелограм.
Другий спосіб:
- Будуємо дві прямі, що перетинаються.
- На доповняльних променях кожної прямої, утворених точкою перетину, відкладаємо рівні відрізки від початкової точки.
- З’єднуємо отримані точки, утворюючи чотирикутник.
За допомогою обох моделей учні переконуються у правильності твердження про діагоналі. Після цього вони переходять до пошуку доведення, яке базується на ознаках рівності трикутників та властивостях паралельних прямих.
Аналогічним чином формулюємо і перевіряємо інші обернені твердження. Варто наголосити, що всі вони є ознаками паралелограма, тобто їх можна використовувати для визначення паралелограма серед інших чотирикутників у майбутніх задачах.
4.3 Прямокутник
З прямокутником учні знайомі ще з початкової школи. Завдання даної теми – показати, що прямокутник є окремим видом паралелограма, а значить, має всі його властивості. Крім того, необхідно виявити особливі властивості прямокутника, які не властиві паралелограму, та обґрунтувати його ознаки.
Для цього доцільно розпочати з побудови моделі, яка дозволяє змінювати кут паралелограма за допомогою повзунка. Можна скористатися моделлю паралелограма, створеною раніше, і виміряти один із його кутів. При цьому, перетягуючи одну з вершин, можна спробувати зробити кут прямим.
Однак така модель має значні недоліки: нею важко керувати, а будь-яке переміщення вершини перетворює прямокутник назад у паралелограм. Це унеможливлює дослідження властивостей прямокутника.
Тому краще побудувати нову модель, як описано в підручнику, або скористатися готовою моделлю, доступною за поданим посиланням. Така модель буде стабільною та дозволить зосередитися на аналізі особливих властивостей прямокутника без ризику деформації фігури.
Цей підхід спрощує процес дослідження і забезпечує учнів наочним та ефективним інструментом для вивчення теми.
Насамперед пропонуємо учням сформулювати означення прямокутника, як окремого виду паралелограма. Після цього розпочинаємо дослідження його властивостей. Звернемо увагу, що прямокутник володіє всіма властивостями паралелограма і пропонуємо учням перелічити ці властивості.
Аналізуючи кути прямокутника, робимо висновок, що у прямокутника не лише протилежні, але усі кути рівні. Учні легко зможуть самостійно довести це твердження.
Побудувавши діагоналі прямокутника, бачимо, що вони рівні. Це можна зайвий роз перевірити за допомогою інструмента Відстань або довжина. Пригадуємо, що рівність відрізків випливає із рівності трикутників, у яких ці відрізки є сторонами. Це спрямовує учнів на пошук потрібних трикутників. Після чого, вони зможуть легко довести цю теорему.
Далі, обговорюємо питання, чи має місце обернена теорема та пропонуємо учням сформулювати її. Можна очікувати два варіанти: 1) Якщо у чотирикутнику діагоналі рівні, то він прямокутник.
2)Якщо у паралелограмі діагоналі рівні, то він прямокутник.
Спочатку пропонуємо перевірити обидва твердження за допомогою інструментів GeoGebra.
Для перевірки першого твердження будуємо два рівні не паралельні відрізки, наприклад, за допомогою інструмента Відрізок заданої довжини. Після цього, будуємо чотирикутник з вершинами у кінцях цих відрізків так, щоб вони були його діагоналями. Відразу бачимо, що одержаний чотирикутник не є прямокутником.
Можна проекспериментувати з цією моделлю. Дослідити, як потрібно розмістити відрізки, щоб одержати прямокутник. Варто наголосити, що прямокутник – це окремий вид паралелограма. Це означає, що його діагоналі мають ділитися навпіл. Тому будуємо середини відрізків і суміщаємо їх. У цьому випадку одержимо прямокутник. Що демонструє істинність другого твердження. Довести це твердження учні можуть самостійно, або опрацювати за підручником.
Особливу увагу слід звернути на побудову кола, описаного навколо прямокутника. Існування такого кола можна передбачити, проаналізувавши властивості діагоналей прямокутника. Оскільки діагоналі рівні і у точці перетину діляться навпіл, то вершини прямокутника рівновіддалені від центра. Таке коло можна побудувати за допомогою інструмента Коло за Центром та точкою або Коло за 3 точками.
Також доцільно пригадати, що центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника
На завершення, пропонуємо учням побудувати чотирикутник, у якого три кути прямі. У зошиті це можна зробити за допомогою косинця, або використовуючи сітку на сторінці зошита. У середовищі GeoGebra – за допомогою інструмента Перпендикулярна Пряма. В результаті, отримаємо прямокутник. Довести це легко, використовуючи теорему, про суму кутів чотирикутника. Наголошуємо, що ця теореми є ознакою прямокутника.
4.4Ромб
На цьому уроці слід допомогти учням сформулювати означення ромба; виявити і довести його властивості.
Щоб сформулювати означення ромба, будуємо модель паралелограма, у якого довжини сторін можна змінювати повзунками. Алгоритм побудови такої моделі описаний у підручнику. Крім того, для економії часу, можна використати готову модель.
Пропонуємо учням побудувати паралелограм, у якого усі сторони рівні. Повідомляємо, що це ромб. Після чого, учні формулюють означення ромба.
Відразу формулюємо властивості ромба, які випливають з того, що він є паралелограмом:
- Протилежні сторони ромба рівні та паралельні.
- Протилежні кути ромба рівні.
- Діагоналі ромба перетинаються в одній точці, яка ділить їх навпіл.
- Сума будь-яких двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.
Щоб виявити особливі властивості ромба, пропонуємо провести його діагоналі. Учні бачать, що діагоналі поділяють ромб на 4 рівні прямокутні трикутники. Це дозволяє сформулювати властивості ромба:
- Діагоналі ромба перпендикулярні.
- Діагоналі ромба є його осями симетрії.
- Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
Доведення цих тверджень випливає із властивостей рівнобедреного трикутника. Тому, ці властивості варто повторити напередодні, або в процесі актуалізації опорних знань.
Слід звернути увагу, що, при зображенні ромба у зошиті, використовують властивості про те, що діагоналі ромба перпендикулярні і в точці перетину діляться навпіл. Або, що діагоналі ромба є його осями симетрії.
Тому зображення ромба зазвичай розпочинають з його діагоналей:
- Проводимо дві перпендикулярні прямі, які будуть діагоналями ромба.
- Від точки їх перетину відкладаємо рівні відрізки в обидва боки на кожній прямій.
- Позначаємо отримані точки як вершини ромба.
- З’єднуємо вершини послідовно, щоб завершити побудову ромба.
Далі, традиційно переходимо до обговорення істинності обернених тверджень:
- Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.
- Якщо у паралелограма діагоналі є його осями симетрії, то він ромб.
- Якщо у паралелограма діагоналі є бісектрисами його кутів, то він ромб.
Доведення усіх тверджень є простими, тому учні можуть довести їх самостійно чи опрацювати за підручником. Лише варто наголосити, що ці твердження є ознаками ромба.
На завершення, залишається обговорити питання про коло, вписане у ромб. Для цього проводимо висоти ромба через точку перетину діагоналей. Легко довести, що ця точка поділяє висоти навпіл. Це означає, що центр ромба знаходиться на однаковій відстані від його сторін. Тому у кожен ромб можна вписати коло, центр якого знаходиться у точці перетину діагоналей, а радіус дорівнює половині висоти.
4.5Квадрат
Завданням теми є сформулювати означення квадрата; встановити і довести властивості та ознаки квадрата.
Для введення означення квадрата, варто використати дві моделі:
- Ромба, у якого величина кута змінюється повзункам;
- Прямокутника, у якого величини сторін задаються повзунками.
Досліджуючи ці моделі одержуємо однакові фігури:
- Ромб з прямим кутом;
- Прямокутник з рівними сторонами.
Таким чином, маємо два означення квадрата:
- Квадрат – це ромб з прямим кутом.
- Квадрат – це прямокутник з рівними сторонами.
З цих означень випливає, що квадрат має усі властивості ромба і прямокутника. Пропонуємо учням їх перелічити.
На завершення, традиційно, обговорюємо питання про ознаки квадрата. Для цього знову повертаємося до моделей, що дозволяють перетворювати роб або прямокутник у квадрат.
Перетворюючи ромб у квадрат, слідкуємо за довжиною діагоналей. Бачимо, що як тільки один з кутів стає прямим, то діагоналі будуть рівними. При перетворенні прямокутника у квадрат, спостерігаємо за кутом між діагоналями. Як тільки сторони прямокутника стають рівними, кут між діагоналями дорівнює 90°.
На основі цих досліджень формулюємо ознаки квадрата:
- Якщо у прямокутнику діагоналі перпендикулярні, то він є квадратом.
- Якщо у ромба діагоналі рівні, то він є квадратом.
Ці ознаки учні можуть довести самостійно, або працювати за підручником.
4.6Трапеція
Завданням теми є введення поняття трапеції, встановлення видів трапеції та виявлення ознак рівнобічної трапеції.
Розпочати доцільно із побудови динамічної моделі трапеції. Відповідний алгоритм описаний у підручнику. Звертаємо увагу, що у одержаному чотирикутнику дві сторони паралельні, і дві інші – ні. На основі цих спостережень формулюємо означення трапеції та її елементів – основ, бічних сторін, висоти.
Пропонуємо виконати зображення трапеції у зошиті та позначити її елементи.
Відразу після означення трапеції, звертаємо увагу на властивість кутів при бічних сторонах трапеції, яка випливає із паралельності основ. Оскільки ці кути є внутрішні односторонні, утворені паралельними прямими і січною, то їх сума дорівнює 180°.
Для дослідження видів трапеції можна використати побудовану модель. Зокрема, сумістивши вершину більшої основи трапеції з основою висоти, одержимо прямокутну трапецію.
Щоб одержати рівнобічну трапецію, будуємо довільний відрізок і пряму, яка не паралельна цьому відрізу і не перетинає його. Далі, симетризуємо цей відрізок відносно даної прямої і будуємо чотирикутник, вершинами якого є кінці цих відрізків.
Пропонуємо учням довести, що одержаний чотирикутник є трапецією і пояснити, чим особливою є ця трапеція. В результаті одержуємо означення рівнобічної трапеції:
Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною.
Такий підхід до ознайомлення із рівнобічною трапецією дозволяє учням відразу побачити деякі її властивості:
- Пряма, що проходить через середини основ рівнобічної трапеції є її віссю симетрії.
- У рівнобічної трапеції, кути при основі рівні.
Далі, пропонуємо учням провести діагоналі рівнобічної трапеції та порівняти їх.
Побудована модель рівнобічної трапеції дозволяє змінювати її форму, залишаючись рівнобічною. Тому, учні спостерігають, що у будь-якій рівнобічній трапеції діагоналі рівні. На основі цих спостережень формулюють теорему про те, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
Доведення цієї теореми відразу випливає із рівності трикутників, утворених відповідно більшою основою, бічною стороною і діагоналлю. Тому, учням пропонуємо провести його самостійно.
Залишається дослідити, чи має місце обернене твердження. З цією метою у підручнику пропонується побудувати модель трапеції, у якої довжину однієї діагоналі можна змінювати повзунком. Алгоритм побудови такої моделі подано у підручнику. Для економії часу, можна відповідну модель завантажити за покликанням.
Працюючи з цією моделлю, бачимо, що як тільки діагоналі трапеції стають рівними, вона перетворюється у трапецію. Таким чином, має місце ознака рівнобічної трапеції:
Якщо у трапеції діагоналі рівні, то вона рівнобічна.
Доведення ознаки подано у підручнику. При доведенні, традиційно, використовуються ознаки рівності трикутників. Тому, головне підібрати потрібні трикутники.
4.7Центральний кут. Кутова міра дуги
При вивченні даної теми передбачено введення поняття центрального кута і його градусної міри. Крім того, необхідно освоїти інструменти GeoGebra для побудови дуги.
Вивчення матеріалу доцільно розпочати із позначення дуг та використанні інструментів Дуга і Дуга за центром та 2 точками. Звертаємо увагу, що GeoGebra розрізняє перший і другий кінці дуги. Щоб продемонструвати це, можна побудувати на колі довільну точку. У її налаштуваннях задати властивість Залишати слід і переміщувати точку по колу у додатному напрямку (проти годинникової стрілки). В результаті точка опише дугу. Її початкове положення буде першим кінцем дуги, а кінцеве – другим кінцем.
Для позначення дуги, використовують відповідний знак, який записують над буквами, що позначають її кінці. Якщо записувати спочатку перший кінець, а потім другий, то можна дугу позначати лише двома великими буквами латинського алфавіту. Однак, слід використовувати загальноприйняті позначення, оскільки це полегшує розуміння:
− вздовж дуги записують малу букву латинського алфавіту;
− між великими буквами, що позначає кінці дуги вписують цю букву;
− над буками записують знак дуги.
Зауважимо, що GeoGebra позначає дуги малими буквами латинського алфавіту. Тому, при виконанні рисунків у GeoGebra зручно відображати це позначення на рисунку. Тоді, при описі рисунків, вказуємо букви, що позначають кінці дуги, а між ними цю малу букву.
Вказані деталі необхідно обговорити з учнями для того, щоб уникнути плутанини і непорозумінь.
Далі, проводимо два промені з початком у центрі кола. Вони розбивають площину на два кути. Всередині внутрішньої області кожного кута знаходиться відповідна дуга. Домовляємося про використання термінології. Будемо кожен із цих кутів називати центральним, а відповідну дугу – дугою, на яку спирається цей кут.
Відповідне означення подано у підручнику.
Переходячи до опрацювання градусної міри дуги, можна проробити такий експеримент:
− побудувати довільний вписаний кут і промінь, що проходить між його сторонами;
− на промені вибрати кілька точок і надати їм властивість Залишати слід;
− будемо обертати промінь навколо початку між сторонами кута.
В результаті промінь опише кілька дуг, на які спирається даний кут (Рис.4.1).
Рис.4.1 Дуги, на які спирається центральний кут
Усі ці дуги, в залежності від радіуса, мають різну довжину. Однак вони утворилися при обертанні променя на однаковий кут, тому вважається що усі ці дуги мають однакову кутову міру, яка дорівнює градусній мірі кута, який спирається на ці дуги.
Таким чином, градусна міра кута є основою для визначення міри дуг, оскільки вона визначає відносну величину повороту незалежно від розмірів кола. Ця незалежність кутової міри від радіуса кола є універсальною характеристикою, яка дозволяє порівнювати дуги та кути, не враховуючи їхню фізичну довжину.
На завершення, з’ясовуємо, що кутова міра пів кола становить 180°, а цілого кола – 360°.
4.8Вписаний кут
Завданням теми є формування поняття вписаного кута та його міри. Розпочинаємо з побудови вписаного кута, формулюємо його означення та узгоджуємо термінологію. Для пояснення зручно використати метод аналогії: так само, як у випадку центрального кута, про дугу, яка належить внутрішній області вписаного кута, говорять, що цей кут на неї спирається.
За допомогою динамічної моделі, де вписаний і центральний кут спираються на одну і ту ж дугу, учні легко помітять, що величина вписаного кута завжди вдвічі менша за величину центрального кута. Однак причину цього зв’язку виявити складніше. Щоб спростити розуміння, розглянемо спеціальний випадок: розташуємо вершину вписаного кута так, щоб одна його сторона проходила через центр кола.
У цьому випадку центральний кут стає зовнішнім кутом трикутника, утвореного двома радіусами і другою стороною вписаного кута. Оскільки цей трикутник рівнобедрений, то зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, що не є суміжними з ним. З цього випливає, що вписаний кут дорівнює половині центрального кута. Цей конкретний випадок дає учням можливість чітко побачити геометричне підґрунтя зв’язку між кутами.
Інші випадки зводяться до цього. У підручнику показано лише, як це зробити. Тому, на уроці бажано детально розібрати кожен із них.
Крім того, бажано виділити випадок, коли одна із хорд
«перетворюється» у дотичну. Для його доведення проводимо радіуси у кінці хорди, що залишилася і простими розрахунками показуємо, що утворений центральний кут у 2 рази більший за кут між дотичною і хордою.
Важливо звернути увагу, що всі вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу, рівні між собою. Це означає, що незалежно від положення вершини кута на дузі, величина кута залишається незмінною.
Якщо кінці цієї дуги з’єднати відрізком, то отримаємо хорду, яка стягує дану дугу. Всі трикутники, утворені цією хордою та точками на дузі, мають однакові кути напроти хорди. Іншими словами, з будь-якої точки на дузі цю хорду видно під однаковим кутом.
Це властивість є основою багатьох геометричних доведень і дозволяє легко порівнювати кути та трикутники, пов’язані з однією дугою. Зокрема, вписаний кут, що спирається на діаметр кола, завжди є прямим. Це відомий результат з геометрії, який легко зрозуміти, оскільки діаметр є найбільшою хордою, яка стягує півколо (дугу в 180°). Тому кут, що спирається на цю хорду, має величину 90°.
На завершення, доцільно розглянути кути, утворені двома січними. У підручнику обидва випадки подані паралельно. Ключовою ідеєю у обох випадках є добудова хорди. Якщо є можливість, то краще кожен випадок розглянути окремо і представити його у формі задачі, де вимагається знайти кут між прямими за відомими дугами.
Також необхідно окремо обговорити випадки, коли одна або обидві січні «перетворюються» у дотичну.
Виконання добудови є творчим процесом. Однак, при відповідній організації, можна спонукати учнів до пошуку потрібної добудови. У нашому випадку, виникає потреба пов’язати задані дуги із відповідними вписаними кутами. Тому, добудова хорди якраз забезпечує такий зв’язок.
4.9Побудова ГМТ, з яких відрізок видно під заданим кутом
Побудова геометричного місця точок, з яких заданий відрізок видно під даним кутом, є однією з найскладніших елементарних побудов, тому вона потребує ґрунтовного аналізу.
Перш за все, нагадаємо, що геометричне місце точок (ГМТ) – це фігура, всі точки якої володіють певною властивістю. Жодна точка, яка не належить цій фігурі, не має цієї властивості.
Далі, згадаємо, що з усіх точок дуги відповідну хорду видно під однаковим кутом. Однак важливо з’ясувати, чи існують на площині точки, що не належать цій дузі, але з яких цей відрізок видно під тим самим кутом. Якщо учні не зможуть здогадатися, то за допомогою інструмента Симетрія відносно прямої будуємо дугу, симетричну даній відносно хорди.
Користуючись отриманим рисунком, учні повинні зробити висновок, що ГМТ, з яких відрізок видно під заданим кутом, складається з двох дуг, симетричних відносно прямої, що містить цей відрізок.
Щоб побудувати відповідне ГМТ, досить побудувати одну із дуг а потім симетризувати її відносно прямої, яка проходить через її кінці. Щоб побудувати дугу, треба знати її центр і радіус. Як відомо, радіус дорівнює довжині відрізка від центра до точки на колі. Оскільки, точками майбутнього кола (дуги) є кінці відрізка, то необхідно побудувати лише центр дуги. Так, як обидва кінці відрізка рівновіддалені від центра, то центр кола належить серединному перпендикуляру до цього відрізка.
Спираючись на зображення, подане у підручнику, учні повинні пояснити, чому радіус, проведений в кінець відрізка, утворює з серединним перпендикуляром кут, що дорівнює даному вписаному куту. Важливо звернути увагу, що в рівнобедреному трикутнику серединний перпендикуляр до основи є бісектрисою протилежного кута, тому він поділяє його на два рівні кути, кожен з яких дорівнює вписаному.
Знаючи цей кут, можна визначити кут, під яким радіус кола проходить до заданого відрізка. Проте для побудови зручніше використовувати дотичну до майбутнього кола. Оскільки дотична до кола в точці дотику утворює з радіусом прямий кут, то дотична з відрізком також утворює кут, рівний вписаному. Такий підхід дозволяє учням зрозуміти алгоритм побудови.
Алгоритм побудови детально описаний у підручнику, але важливо, щоб учні його реалізували у зошитах за допомогою циркуля і лінійки, відтворюючи відповідні побудови, які вчитель може виконувати на великому екрані у середовищі GeoGebra.
Доведення можна провести у класі колективно, а для дослідження скористатися динамічною моделлю. Для цього потрібно, щоб величину кута і довжину відрізка будо задано за допомогою повзунків.
4.10Вписані чотирикутники
Для введення поняття кола, описаного навколо чотирикутника, доцільно використати метод аналогії із вже знайомим учням колом, описаним навколо трикутника.
Розпочати можна з побудови чотирикутника, вписаного у коло. Для цього будуємо довільне коло, позначаємо на ньому чотири точки і з’єднуємо їх послідовно відрізками, утворюючи чотирикутник. Спираючись на рисунок, формулюємо означення:
• Чотирикутник, вписаний у коло, – це чотирикутник, усі вершини якого лежать на колі.
• Коло, описане навколо чотирикутника, – це коло, що проходить через усі вершини чотирикутника.
Наступним кроком є визначення центра описаного кола. Для цього пригадуємо, як знаходили центр кола, описаного навколо трикутника: це точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін. У випадку з вписаним чотирикутником, теж усі вершини повинні знаходитися на однаковій відстані від центра. Тому робимо висновок, що центр знаходиться у точці перетину серединних перпендикулярів.
Далі можна побудувати довільний чотирикутник і провести серединні перпендикуляри до його сторін. Учні переконуються, що не завжди ці перпендикуляри перетинаються у одній точці. На основі цих спостережень робимо висновок про те, що не навколо кожного чотирикутника можна описати коло.
Залишається встановити, якими властивостями має володіти чотирикутник, навколо якого можна описати коло. Повертаючись до першої моделі, де маємо чотирикутник, вписаний у коло, звертаємо увагу, що всі його кути, є вписаними у це коло. Більше того, протилежні кути спираються на дуги, які разом становлять ціле коло. Це означає, що їх сума становить 180°.
Отже, ми встановили необхідну умову вписаного чотирикутника. Однак, потрібно перевірити, чи ця умова є достатньою. Для цього будуємо чотирикутник, у якого сума протилежних кутів дорівнює 180°.
Алгоритм побудови такого чотирикутника подано в підручнику, але його можна удосконалити, якщо величину кута задами повзунком:
- Будуємо повзунок для кута у діапазоні від 1° до 179°.
- У внутрішній області цього кута, вибираємо довільну точку і будуємо кут 180°-.
- Повертаємо сторони цього кута так, щоб спільна частина цих кутів утворювала випуклий чотирикутник.
- За допомогою інструмента Коло за 3 точками, будуємо коло, що проходить через три вершини одержаного чотирикутника.
Працюючи з цією моделлю учні переконуються, що четверта вершина цього чотирикутника завжди буде належати цьому колу.
Таким чином, робимо висновок, що ця властивість є необхідною і достатньою умовою для існування описаного кола. Завершуючи урок слід проаналізувати, навколо яких відомих їм чотирикутників можна описати коло. В результаті робимо висновок, що це прямокутник, зокрема квадрат і рівнобічна трапеція.
4.11Описані чотирикутники
Як і при вивченні попередньої теми, тут теж потрібно сформулювати означення описаного чотирикутника та кола, вписаного у чотирикутник, а також визначити необхідну і достатню умову існування такого чотирикутника.
Роботу можна розпочати з побудови чотирикутника, описаного навколо кола. Спочатку будуємо довільне коло. Щоб чотирикутник помістився у видиму частину полотна, обираємо радіус кола невеликим. На цьому колі вибираємо чотири точки та проводимо через них дотичні. Якщо точки перетину дотичних виходять за межі видимої частини полотна, перетягуємо точки дотику, щоб зробити модель зручною для подальших дій. Використовуємо інструмент Перетин для побудови точок перетину дотичних, а інструмент Многокутник – ля створення описаного чотирикутника. Спираючись на одержану модель, формулюємо означення:
• Коло, вписане у чотирикутник, – це коло, яке дотикається до всіх його сторін.
• Чотирикутник, описаний навколо кола, – це чотирикутник, усі сторони якого дотикаються до одного й того самого кола.
Обговорюючи питання про центр вписаного кола, варто нагадати, що для трикутника центр знаходиться у точці перетину бісектрис. Аналогічно, для чотирикутника центр вписаного кола також має бути у точці перетину бісектрис, адже ця точка рівновіддалена від усіх сторін чотирикутника. Проте, якщо побудувати довільний чотирикутник і провести бісектриси його кутів, можна переконатися, що вони не завжди перетинаються в одній точці. На основі цього спостереження робимо висновок, що не у кожен чотирикутник можна вписати коло.
Щоб встановити умову, за якої в чотирикутник можна вписати коло, розглядаємо рисунок із підручника. Кожна сторона чотирикутника поділена точкою дотику на два відрізки, які зафарбовані у різний колір. Але, дотичні, що виходять з однієї вершити, мають однакову довжину, тому зафарбовані в однаковий колір.
Слід звернути увагу учнів, що 4 різнокольорові відрізки утворюють пару протилежних сторін чотирикутника. Інші 4 відрізки утворюють іншу пару протилежних сторін. Це означає, що суми протилежних сторін описаного чотирикутника є рівними.
Таким чином, рівність суми протилежних сторін чотирикутника є необхідною умовою того, щоб у цей чотирикутник можна вписати коло. У підручнику подано доведення оберненої теореми, з якої випливає, що ця умова є і достатньою.
Доведення цієї теореми є доволі складним, тому його варто опрацювати колективно. Воно проведене для випадку, коли сусідні сторони чотирикутника мають різну довжину. Випадок, коли ці сторони є рівними, можна запропонувати учням довести самостійно.
На завершення уроку аналізуємо, які відомі учням чотирикутники відповідають цій умові. Зокрема, це ромб і квадрат. Крім того, можна побудувати трапецію, для якої виконуються умови рівності сум протилежних сторін.
Розділ 5. Пропорційні відрізки. Подібність фігур
5.1 Теорема Фалеса
Теорема Фалеса є ключовою в цьому розділі. Завданням теми є сформулювати та довести теорему Фалеса, а також показати її практичне використання. У підручнику, з метою мотивації, спочатку продемонстровано застосування теореми Фалеса для поділу відрізка на кілька рівних частин. Такий підхід дозволяє наочно показати геометричну конфігурацію, що відкриває цікавий факт: можливість відкладати рівні відрізки.
На основі отриманого рисунка формулюємо саму теорему. Для її доведення згадуємо, що рівність відрізків випливає з рівності трикутників, сторонами яких є ці відрізки. Тому добудова, яку використовуємо під час доведення теореми, спрямована на створення таких рівних трикутників.
Після побудови рівних трикутників учні зможуть завершити доведення самостійно, спираючись на логічний ланцюжок, запропонований у поясненні.
5.2 Середня лінія трикутника і трапеції
Завданням теми є сформулювати означення середньої лінії трикутника і трапеції, а також встановити і довести їх властивості.
У підручнику вивчення теми розпочинається із побудови. Але, за бажанням, вчитель може розпочати із визначень:
− Середня лінія трикутника – це відрізок, що з’єднує середини двох його сторін.
− Середня лінія трапеції – це відрізок, що з’єднує середини її бічних сторін.
Далі можна перейти до побудови середньої лінії трикутника. Поділимо дві його сторони навпіл і з’єднаємо отримані точки відрізком. Середня лінія трапеції будується аналогічно: визначаються середини бічних сторін трапеції, і ці точки з’єднуються.
Властивості середньої лінії трикутника можна перевірити інструментами GeoGebra. Основна властивість: середня лінія трикутника паралельна до третьої сторони і дорівнює її половині. Доведення цієї властивості ґрунтується на теоремі Фалеса і не викликає труднощів.
Для доведення теореми про середню лінію трапеції досить провести одну з її діагоналей. Діагональ розбиває трапецію на два трикутники. Із теореми Фалеса слідує, що середня лінія поділяє цю діагональ навпіл. Це означає, що середня лінія трапеції складається із середніх ліній цих трикутників. Учням пропонується самостійно завершити доведення теореми, застосовуючи властивості середніх ліній трикутників.
Вивчення середньої лінії трикутника і трапеції дозволяє глибше зрозуміти властивості геометричних фігур. Наприклад, при введенні означення паралелограма ми будували чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника. У цьому випадку протилежні сторони одержаного чотирикутника були паралельними.
Використовуючи властивість середньої лінії, можна пояснити цей факт. Діагональ заданого чотирикутника розбиває його на два трикутники, у яких вона є спільною основою. Відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін, є середніми лініями цих трикутників. Оскільки середні лінії паралельні основам трикутників, а отже, й одна одній, та мають однакову довжину (як половини основ), отриманий чотирикутник є паралелограмом.
5.3 Відношення відрізків. Пропорційні відрізки
Поняття пропорційності відрізків є фундаментальним для розуміння відношення подібності фігур. Вивчення теми спирається на знання учнів про Пропорції та пропорційну залежність. Крім того, під час вивчення теми доцільно розкрити збереження відношення відрізків у середовищі GeoGebra. Це допоможе учням глибше зрозуміти принцип інваріантності, який є фундаментальним у динамічній математиці та використовується при створенні моделей.
Розпочати можна із дослідження збереження відношення відрізків у середовищі GeoGebra, описане у підручнику. Одночасно вводимо поняття «відношення відрізків».
Для введення поняття «пропорційні відрізки» учитель може скористатися моделями, описаними у підручнику, або запропонувати власні приклади.
Зокрема:
1. Використання Google Карти та GeoGebra:
o Учитель пропонує скопіювати фрагмент Google Карти, вставити його в середовище GeoGebra, а потім виміряти відстань між двома населеними пунктами. o Знаючи масштаб карти, учні обчислюють реальну відстань, використовуючи поняття пропорції.
2. Визначення висоти дерева за довжиною тіні:
o Учитель демонструє, як за допомогою пропорцій можна визначити висоту дерева, порівнявши довжини тіней дерева і палиці з відомою висотою.
Такі практичні приклади не лише вводять поняття «пропорційні відрізки», але й показують їхнє застосування в реальному житті, що сприяє глибшому розумінню та підвищує зацікавленість учнів.
5.4 Подібність трикутників. Ознаки подібності трикутників
Дана тема є ключовою у розділі, адже тут вводиться поняття подібності фігур, розглядається інструмент Гомотетія відносно точки та формулюються ознаки подібності трикутників.
Розпочати доцільно із моделі, що демонструє відтинання трикутника від даного прямою, паралельною одній із його сторін. У результаті утворюється трикутник менших розмірів, який схожий за формою до початкового. Це дозволяє сформувати інтуїтивне уявлення про подібність фігур. Для кращого розуміння можна навести приклади однакових за формою фігур, таких як правильні многокутники різних розмірів, усі кола або квадрати. Також варто звернути увагу на предмети з однаковою формою у реальному житті.
Далі учням слід представити інструмент Гомотетія відносно точки. Цей інструмент дозволяє змінювати розміри фігури шляхом збільшення (розтягування) або зменшення (стискання), зберігаючи її форму. На цьому етапі дослідження з використанням гомотетії трикутників допомагають з’ясувати основну причину збереження форми: пропорційна зміна всіх лінійних розмірів. Така зміна забезпечує збереження паралельності сторін і, як наслідок, рівність кутів.
На основі цих спостережень можна сформулювати означення подібних трикутників: два трикутники є подібними, якщо їхні відповідні сторони пропорційні, а відповідні кути рівні.
Дослідження властивостей подібних трикутників дозволяє сформулювати три ознаки подібності:
− за трьома пропорційними сторонами;
− за двома пропорційними сторонами та рівним кутом між ними; − за двома рівними кутами.
Для доведення усіх теорем використовується гомотетія. Вибравши коефіцієнт гомотетії, що дорівнює відношенню відповідних сторін даних трикутників, «розтягуємо» менший із них і доводимо, що одержаний трикутник дорівнює більшому.
На завершення розглядаємо наслідок, про відтинання трикутника подібного даному, прямою паралельною його стороні.
5.5 Узагальнена теорема Фалеса
Цією темою розпочинається серія досліджень геометричних ситуацій, які сприяють появі пропорційних відрізків. Однією з таких ситуацій є узагальнена теорема Фалеса.
Урок доцільно розпочати з пригадування класичної теореми Фалеса та аналізу відповідного рисунка. На одній стороні кута відкладаємо кілька рівних відрізків і через їх кінці проводимо паралельні прямі. Згідно з теоремою Фалеса, на другій стороні кута утворюються рівні відрізки.
Наступним кроком пропонується обрати на одній стороні кута будь-які два відрізки, утворені із одного, двох, трьох або більше початкових рівних відрізків. Відповідні відрізки на другій стороні кута також виділяємо. У результаті спостерігаємо, що ці відрізки пропорційні.
На основі проведених спостережень формулюємо узагальнену теорему Фалеса, яка стверджує, що будь-які відрізки, утворені на двох сторонах кута паралельними прямими, є пропорційними. Доведення цієї теореми виконується у загальному вигляді, що дозволяє закріпити розуміння принципів пропорційності відрізків та їх застосування.
5.6 Пропорційні відрізки на паралельних прямих
На цьому уроці розглядається так звана «двоїста» ситуація до узагальненої теореми Фалеса. Якщо в узагальненій теоремі Фалеса пропорційні відрізки утворювалися в результаті перетину двох променів пучком паралельних прямих, то тут розглядаються дві паралельні прямі, які перетинає пучок променів.
До такої конфігурації можна підвести учнів, якщо запропонувати в узагальненій теоремі Фалеса, прямі і промені поміняти місцями. Побудувавши вказану конструкцію, використовуючи інструменти GeoGebra, учні зможуть виявити пропорційні відрізки. Доведення виявленого факту ґрунтується на подібності трикутників.
Оскільки учні вперше використовують подібність трикутників, то доцільно відразу сформулювати алгоритм відповідних дій:
1) Виявивши подібні трикутники, потрібно однаково позначити відповідно рівні кути (зокрема використовуючи кольорові маркери).
2) Правильно позначити подібні трикутники, називаючи відповідні вершини у однаковій послідовності.
3) Записати рівність трьох відношень відповідних сторін.
4) З трьох пропорцій вибрати ту, яка дозволяє знайти потрібний відрізок, зробити потрібні висновки або використати у подальших обчисленнях.
5.7 Властивості медіан і бісектрис трикутника
Метою цієї теми є виявлення пропорційних відрізків, пов’язаних із медіанами та бісектрисами трикутника. Особливу увагу слід приділити доведенню того, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.
Розпочати доцільно з дослідження моделі. Побудуйте довільний трикутник і його медіани. Запропонуйте учням звернути увагу на відрізки медіан, які утворюються в точці їхнього перетину. Нехай учні сформулюють припущення щодо співвідношення цих відрізків, а потім перевірять їх, виконуючи вимірювання. Змінюючи форму трикутника, учні можуть побачити, що відрізок медіани від вершини до точки перетину завжди удвічі довший за відрізок тієї ж медіани від точки перетину до протилежної сторони.
Другий етап роботи – пошук доведення. У цьому процесі ключовим є виконання добудови. Виконання добудови потребує творчого підходу й допомагає розвивати геометричну інтуїцію. Тому педагог має не лише продемонструвати, але й пояснити, чому саме така добудова є доцільною.
У нашому випадку необхідно визначити відношення відрізків медіани. Це можливо завдяки узагальненій теоремі Фалеса. Якщо відомо відношення відрізків на одній стороні кута, а через ці відрізки проходять паралельні прямі, то те ж саме відношення матиме місце на іншій стороні кута. Отже, добудова має створити геометричну конфігурацію, що дозволяє застосувати цю теорему.
Для цього через основу однієї з медіан потрібно провести пряму, паралельну іншій медіані. Завдяки такій побудові виникає геометрична конструкція, яка допомагає обґрунтувати співвідношення відрізків медіани, утворених точкою їхнього перетину.
Подальші пояснення доведення можна знайти в підручнику, але запропонуйте учням самостійно знайти ці обґрунтування, використовуючи побудовану модель.
Після того, як учні встановили, що кожна медіана точкою перетину ділиться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини, важливо акцентувати увагу учнів, на важливий наслідок: усі медіани трикутника, перетинаються у одній точці. Адже, на відрізку є лише одна точка, яка поділяє його у заданому відношенні.
Аналогічним чином проводиться робота по визначення властивості бісектриси трикутника. Під час маніпуляцій із моделлю учні помічають, що якщо бічні сторони трикутника рівні, то бісектриса ділить основу трикутника на рівні відрізки. Якщо збільшувати одну з бічних сторін, то відповідний відрізок основи також збільшується.
Щоб зрозуміти пропорційність, пропонуємо учням спочатку візуально збільшити одну із сторін трикутника в 2–3 рази, спостерігаючи за відповідною зміною відрізків основи. Далі вимірюємо відрізки основи і перевіряємо, що відношення їх довжин пропорційні відношенню бічних сторін для будь-якої форми трикутника. Це дозволяє учням «відкрити» основну властивість бісектриси.
Для доведення цієї теореми, як і у випадку з медіанами, виконується добудова. Головна ідея добудови полягає у створенні геометричної конструкції, яка дозволяє використати узагальнену теорему Фалеса. Учні можуть використати досвід попередніх задач із медіанами, щоб знайти аналогічне рішення.
5.8 Пропорційні відрізки у колі
При вивченні даної теми продовжуємо досліджувати геометричні ситуації, у яких виникають пропорційні відрізки.
Традиційно розпочинаємо із дослідження моделі. Для цього будуємо коло і дві хорди, що перетинаються. Однак, на перший погляд, ця пропорційність не є очевидною. Навіть якщо виміряти довжини відрізків, складно визначити, які саме відношення варто розглядати для аналізу.
Для кращого розуміння пропонуємо учням побудувати два трикутники, вершинами яких є кінці хорд і точка їх перетину. Візуально стає помітно, що ці трикутники мають однакову форму, тобто є подібними.
Доведення подібності базується на властивостях кутів:
− Одна пара кутів є рівними, оскільки вони вертикальні.
− Інша пара кутів спирається на одну й ту саму дугу, тому вони також рівні.
Залишається, дотримуючись алгоритму:
− однаково позначити рівні кути і назвати подібні трикутники;
− записати відношення відповідних сторін, які виникають через подібність трикутників.
− сформулювати висновок: «Відрізки, утворені перетином хорд, пропорційні».
5.9 Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику.
Теорема Піфагора
Вивчення метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є однією з ключових тем геометрії. Ця тема допомагає зрозуміти взаємозв'язок між сторонами і висотою прямокутного трикутника, а також є основою для формулювання теореми Піфагора.
Розглянемо прямокутний трикутник і проведемо висоту до гіпотенузи (найбільшої сторони). Ця висота розділяє трикутник на два менших трикутники, які подібні до даного (початкового).
Перш ніж перейти до дослідження одержаних трикутників, доцільно узгодити термінологію. Насамперед пояснюємо, що у прямокутному трикутнику найбільша сторона називається гіпотенузою а дві інші катети. Далі, звертаємо увагу, що відрізки, на які основа висоти, проведена до гіпотенузи, поділяє цю гіпотенузу, називаються проекціями катетів на гіпотенузу.
Крім того, нагадуємо, що якщо у пропорції є рівними крайні, або середні члени, то її можна подати у виді:
𝑎 𝑐 2 = 𝑏𝑐, або 𝑎.
= , звідси: 𝑎
𝑏 𝑎
У такому випадку, число 𝑎 називають середнім пропорційним або середнім геометричним чисел 𝑏 і 𝑐.
Далі, пропонуємо учням довести подібність одержаних трикутників.
Учні легко встановлюють, що:
− Усі трикутники є прямокутними.
− Кожна пара трикутників має спільний гострий кут.
Тепер важливо дотримуватись алгоритму роботи з подібними трикутниками, який був встановлений раніше:
1. Позначаємо рівні кути.
2. Записуємо подібні трикутники.
На основі подібності встановлюємо пропорційні відношення.
Щоб сформулювати висновки, пропонуємо у одержаних пропорціях знайти середні пропорційні відрізки.
В результаті, учні формулюють висновки:
− Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою та його проекцією на гіпотенузу.
− Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між відрізками, на які вона ділить гіпотенузу.
На завершення, пропонуємо знайти суму квадратів катетів. Після нескладних перетворень учні встановлюють, що вона дорівнює квадрату гіпотенузи. На основі чого, формулюємо теорему Піфагора.
Бажано приділити більше уваги історії даної теореми, зокрема, звернути увагу, що існує дуже багато способів її доведення, які можна знайти в Інтернеті.
Розділ 6. Тригонометричні функції
6.1 Поняття про тригонометричні функції
Розділ «Тригонометричні функції» логічно продовжує попередній розділ, оскільки подібність трикутників є основою для їх визначення. У цій темі учні вдосконалюють навички роботи з пропорціями. Раніше основним інструментом для розв’язування задач на подібність фігур було відношення сторін. Зараз ці відношення описуються за допомогою тригонометричних функцій, що розширює математичний апарат учнів. Окрім того, тригонометричні функції забезпечують зв’язок між геометричним і алгебраїчним матеріалом, сприяючи інтеграції знань.
При ознайомленні із тригонометричними функціями важливо показати, що вони характеризують величину кута і не залежать від розмірів трикутника. Для цього розпочнемо з практичних прикладів:
− Підйом дороги: відношення вертикального підйому до горизонтальної відстані.
− Нахил даху: відношення висоти до ширини стіни.
− Нахил розтяжки: відношення її висоти до довжини.
У кожному випадку величина кута залежить не від абсолютних розмірів, а від їх відношень. Щоб ілюструвати це, будуємо гострий кут і позначаємо кілька точок на одній із його сторін. З цих точок опускаємо перпендикуляри на іншу сторону, отримуючи кілька подібних прямокутних трикутників.
Завдяки подібності цих трикутників можна записати ряд відношень. Для зручності аналізу узгодимо термінологію:
− У прямокутному трикутнику найбільша сторона називається гіпотенузою.
− Катет, який лежить напроти заданого кута, називається протилежним.
− Катет, що утворює кут із гіпотенузою, називається прилеглим.
Випишемо чотири групи відношень:
− Протилежний катет до гіпотенузи.
− Прилеглий катет до гіпотенузи.
− Протилежний катет до прилеглого.
− Прилеглий катет до протилежного.
Завдяки подібності трикутників усі відношення у кожній групі будуть рівними. Для аналізу цих відношень можна побудувати модель, яка дозволяє змінювати величину кута і спостерігати зміну значень. При цьому рівності у кожній групі залишаються незмінними. Це демонструє, що кожне відношення характеризує величину кута.
На цьому етапі ми вводимо назви цих відношень (синус, косинус, тангенс, котангенс) і формулюємо відповідні означення.
Бажано звернути увагу учнів, у підручнику для запам’ятовування означень тригонометричних функцій використовуються кольори:
− Протилежний катет позначено синім.
− Прилеглий катет – коричневим.
− Гіпотенуза – зелена. Це допомагає вивчити формули:
протилежний катет синус = 
гіпотенуза
прилеглий катет косинус = 
гіпотенуза
протилежний катет тангенс =
прилеглий катет
прилеглий катет
котангенс =
протилежний катет
Слово «синус» асоціюється із синім кольором, а «косинус» – із коричневим. Це допомагає швидше орієнтуватися у формулюванні означень функцій.
6.2 Знаходження значень тригонометричних функцій
Інструменти GeoGebra дозволяють створити зручну модель для обчислення значень тригонометричних функцій гострих кутів. Ця модель є більш наочною та пізнавальною, ніж звичайний калькулятор, оскільки її створення потребує розуміння суті тригонометричних функцій, а не лише механічного введення даних. Учні легко можуть створити цю модель самостійно, що сприяє кращому засвоєнню матеріалу.
Для побудови моделі звертаємо увагу на важливе правило: якщо гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює одиниці, то синус гострого кута дорівнює довжині протилежного катета, а косинус — прилеглого. Щоб отримати множину таких трикутників, потрібно зобразити коло радіусом 1. З будь-якої точки цього кола проводимо перпендикуляр до діаметра і з'єднуємо точку з центром кола. Рухаючи точку на колі в межах першої чверті, отримаємо різні прямокутні трикутники. Вимірюючи катети таких трикутників і один з гострих кутів, знаходимо значення синуса та косинуса цього кута.
Щоб обчислити тангенс і котангенс, використовуємо можливості GeoGebra для знаходження відношення катетів.
У підручнику описана удосконалена модель, яка дозволяє візуально зрозуміти зв’язок між координатами точки на колі та тригонометричними функціями кута.
Для побудови моделі необхідно:
− відобразити систему координат;
− створити одиничне коло з центром у початку координат;
− вибрати точку на колі у першій чверті;
− провести радіус до обраної точки;
− виміряти кут між радіусом і додатнім напрямком осі абсцис; − відобразити панель Алгебра.
Після виконання цих кроків перша координата точки відповідатиме значенню косинуса кута, а друга — значенню синуса. За необхідності можна знайти відношення цих координат і вивести на екран значення тангенса або котангенса за допомогою динамічного тексту. Використання такої моделі у навчальному процесі робить засвоєння тригонометричних функцій не лише цікавим, але й практичним.
6.3 Значення тригонометричних функцій базових кутів
Значення тригонометричних функцій переважно є ірраціональними числами. Тому побудована нами модель, як і калькулятор, дозволяє обчислити наближені значення тригонометричних функцій із заданою точністю. Точні значення функцій для окремих кутів можна знайти, знаючи сторони прямокутного трикутника. Завданням цієї теми є обчислення значень базових кутів (30°, 45°, 60°) і систематизація одержаних результатів у вигляді таблиці.
Розпочати слід із обговорення способів побудови прямокутних трикутників, що містять ці кути. У результаті приходимо до висновку, що якщо квадрат поділити діагоналлю, то отримаємо прямокутний рівнобедрений трикутник із кутами по 45°. Якщо поділити правильний трикутник медіаною, то отримаємо прямокутний трикутник із кутами 30° і 60°.
Наступним кроком є визначення довжин сторін отриманих трикутників. Оскільки значення тригонометричних функцій визначаються через відношення сторін, абсолютна величина сторін значення не має. Тому можна використовувати будь-які трикутники заданої форми. Однак вимірювання сторін можливе лише з певною точністю, тому для точного визначення слід обчислювати невідому сторону, задавши дві інші. Якщо вибрати квадрат і правильний трикутник зі стороною 1, то отримаємо трикутники, у яких відомі дві сторони, а третю можна обчислити за теоремою Піфагора. Так само, вибравши правильний трикутник зі стороною 1, обчислюємо дві інші його сторони.
Після цього обчислюємо значення тригонометричних функцій базових кутів і записуємо результати в таблицю. Звертаємо увагу на закономірності цієї таблиці, що допоможе швидше її запам’ятати. Наприклад, значення синуса базових кутів 30°, 45°, 60° можна подати формулою 
, де під коренем послідовно ставимо числа 1, 2, 3. Для косинуса використовується та сама формула, але числа ставляться у зворотному порядку: 3, 2, 1. Значення тангенса знаходяться як частка синуса й косинуса, а для котангенса ці самі значення йдуть у зворотному порядку.
6.4 Властивості тригонометричних функцій
Тригонометричні функції забезпечують зв’язок між геометрією та алгеброю, оскільки над тригонометричними виразами, як і над алгебраїчними, можна виконувати тотожні перетворення. Але для цього необхідно засвоїти формули тригонометрії. Метою теми є виведення основних тригонометричних тотожностей та формування навичок їх застосування.
Відомо, що сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°. Це дозволяє встановити залежність між значеннями тригонометричних функцій кутів, які доповнюють один одного до 90°. Синус і косинус гострого кута дорівнюють відношенню катетів до гіпотенузи, а якщо гіпотенуза дорівнює 1, то, спираючись на теорему Піфагора, отримуємо основну тригонометричну тотожність:
Далі, використовуючи означення тангенса і котангенса, можна виразити ці функції через синус і косинус кута. Тангенс і котангенс є взаємно оберненими числами, тому їх добуток дорівнює 1:
Поділивши обидві частини основної тригонометричної тотожності на квадрат косинуса, одержуємо формулу, яка пов’язує тангенс з косинусам. Аналогічно встановлюємо зв’язок котангенса із синусом.
У результаті ми отримуємо основні тригонометричні тотожності, які слугують базовим інструментом для роботи з тригонометричними виразами. Як видно, усі розглянуті формули легко виводяться та мають тісний взаємозв’язок. Їхнє виведення під час уроку дозволяє учням зрозуміти логіку цих залежностей і, при необхідності, відтворити будь-яку формулу самостійно.
Оскільки найкраще формули запам’ятовуються в процесі їх активного використання, важливо приділити достатньо часу на виконання вправ із тотожних перетворень тригонометричних виразів. Це сприятиме як закріпленню теоретичних знань, так і формуванню практичних навичок роботи з тригонометричними виразами.
6.5 Розв’язування прямокутних трикутників з використанням
тригонометричних функцій
Дана тема є центральною у розділі, оскільки вона розкриває ключову роль тригонометричних функцій у розв’язуванні прямокутних трикутників. У підручнику представлено розв’язки шести базових задач, у яких відомі одна сторона і гострий кут трикутника. Усі задачі розв’язані за єдиним алгоритмом, який чітко сформульовано в кінці.
Під час уроку слід записати розв’язки всіх задач у зошитах, активно залучаючи учнів до пояснення кожної дії. Це сприятиме кращому засвоєнню алгоритму та розвитку аналітичного мислення. Особливу увагу варто звернути на те, що розв’язування трикутника з відомою стороною і гострим кутом завжди виконується за допомогою тригонометричних функцій. При цьому важливо дотримуватися такого порядку дій:
1. Аналіз сторін трикутника: визначити, яка сторона є протилежною, прилеглою або гіпотенузою.
2. Вибір функції: на основі аналізу сторін обрати відповідну тригонометричну функцію (синус, косинус або тангенс).
3. Запис співвідношення: сформулювати рівняння за допомогою обраної функції.
4. Розрахунок шуканої сторони: підставити відомі значення і знайти невідому сторону.
Такий підхід допомагає учням краще зрозуміти послідовність дій і впевнено застосовувати тригонометричні функції для розв’язування задач. Пояснення алгоритму і його практичне застосування формують важливу базу для подальшого вивчення геометрії.
6.6 Тригонометричні функції довільних кутів
Для розв’язування трикутників, які не є прямокутними, необхідно розширити поняття тригонометричних функцій на довільні кути. Основою такого розширення є одиничне коло, яке дозволяє визначати значення тригонометричних функцій для всіх кутів.
Основним інструментом такого розширення є модель для знаходження значень тригонометричних функцій на базі одиничного кола. Щоб не витрачати час, вчитель може завантажити готову модель.
Звертаємо увагу, що кожному куту (в межах одного оберту) відповідає єдина точка на колі. Як було встановлено раніше, для точок, які розміщені у першій чверті, перша координата дорівнює косинусу відповідного кута, друга – синусу; відношення цих координат дорівнює тангенсу або котангенсу. Ці означення, які спочатку вводяться для кутів першої чверті, поширюються на всі точки кола, тобто на всі кути.
Для кращого розуміння пропонується доповнити таблицю значень тригонометричних функцій базових кутів у діапазоні від 0° до 180°. Це дає змогу учням швидко орієнтуватися у значеннях для типових кутів.
Під час уроку доцільно залучити учнів до встановлення зв’язків між тригонометричними функціями кутів, які доповнюють один одного до 180°. Для цього:
- Використовуючи модель одиничного кола, визначаємо синус і косинус тупого кута.
- Визначаємо довжини катетів трикутника, утвореного радіусом, перпендикуляром, проведеним до осі абсцис, і цією віссю.
- Записуємо отримані співвідношення у вигляді рівностей.
Одержані зв’язки допомагають учням зрозуміти симетрію та взаємозалежність тригонометричних функцій довільних кутів, закріплюючи теоретичні знання на практиці.
6.7 Теорема синусів
Теорема синусів є одним із важливих інструментів для розв’язування довільних трикутників. Її виведення базується на зв’язку між стороною трикутника, радіусом описаного кола та центральним кутом, що спирається на дугу, стягнуту цією стороною. Завданням теми є виявити ці зв’язки та сформулювати основну залежність, відому як теорема синусів.
Для виведення формули пропонується розв’язати задачу:
Задача. У трикутнику сторона 𝑎 протилежна куту 𝛼. Знайти радіус описаного кола.
Розв’язавши задачу, вчитель пропонує запам’ятати цю формулу, оскільки вона має широке застосування. Одночасно, пропонуємо зобразити довільний трикутник, позначити його сторони 𝑎, 𝑏 і 𝑐, а кути 𝛼, 𝛽і 𝛾 і виразити значення радіуса, через усі сторони та протилежні кути. Прирівнявши одержані значення легко одержуємо теорему синусів.
Після виведення формули слід спрямувати увагу учнів на її практичне використання.
Розділ 7. Площа фігур
7.1 Поняття площі
З поняттям площі учні знайомилися ще у початковій школі. У повсякденному житті часто виникає потреба оцінити площу різних поверхонь. Мета уроку — узагальнити і систематизувати знання учнів про площу, сформулювати її основні властивості: адитивність, рівність площ рівних фігур, а також закріпити ці знання на практиці за допомогою інструментів середовища GeoGebra.
Розпочати доцільно з визначення одиниці вимірювання площі. Побудувавши квадрат із стороною 1 одиниця та вимірявши його площу, формулюємо висновок: квадрат зі стороною 1 має площу 1 квадратна одиниця.
Далі побудуємо в GeoGebra довільний многокутник та виміряємо його площу за допомогою інструмента Площа. Змінюючи форму многокутника, спостерігаємо, як змінюється площа. Робимо висновок: кожна фігура має площу, яка виражається додатним числом.
Очевидно, що площі рівних фігур є рівними. Але, для повноти викладу, цю властивість також варто проілюструвати. Тому будуємо довільну фігуру, скопіюємо її та виміряємо площі обох фігур. Як очікувалося, вони будуть рівні.
Щоб показати, що площа цілої фігури дорівнює сумі площ її частин, виконаємо такі дії:
− Побудуємо довільний многокутник і виміряємо його площу.
− Розділимо многокутник на дві частини відрізком або ламаною.
− Побудуємо два нових многокутники, що є частинами початкового, використовуючи вершини оригінального многокутника та точки поділу. − Виміряємо площі кожної з частин.
− У командному рядку GeoGebra введемо формулу для обчислення суми площ, наприклад, m1 + m2. (перед цим перейменуємо ці частини на m1 і m2).
− Порівняємо отриманий результат із площею початкової фігури.
З метою економії часу, можна використати готову модель: https://www.geogebra.org/m/ny8qxnq4.
Експериментуючи з моделями у GeoGebra, формулюємо висновок:
площа цілого многокутника дорівнює сумі площ його частин, а рівні фігури мають рівні площі.
Ця робота допомагає учням не лише закріпити знання про площу, але й розвиває навички використання цифрових інструментів для вивчення геометрії.
7.2 Площа прямокутника
Формула площі прямокутника, відома учням ще з початкової школи, є основою для подальших узагальнень. Завданням цієї теми є показати, що ця формула застосовується для загального випадку, однак її строге обґрунтування вимагає використання апарату граничного переходу, який учні ще не вивчали. Тому в підручнику обмежуються дослідженням за допомогою динамічної моделі.
Розпочати доцільно з аналізу відомого учням випадку, обґрунтувавши його на основі властивостей площі. Якщо сторони прямокутника є натуральними числами, наприклад 𝑛 і 𝑘, то весь прямокутник можна розбити на 𝑛 рядів одиничних квадратів, по 𝑘 квадратів у кожному ряді. Загальна кількість квадратів дорівнює 𝑘𝑛. Оскільки площа кожного одиничного квадрата становить одну квадратну одиницю, а площа цілого прямокутника – сумі площ його частин, то площа прямокутника дорівнює 𝑘𝑛.
Для узагальнення цієї формули будуємо довільний прямокутник, вимірюємо його сторони та площу, після чого обчислюємо добуток довжин сторін. Досліджуючи різні форми прямокутника, переконуємося, що площа завжди дорівнює добутку цих чисел. Ці дослідження демонструють справедливість формули для будь-яких додатних чисел, хоча і не є строгим її доведенням.
Важливо підкреслити, що для строгого доведення цієї формули необхідно володіти апаратом граничного переходу. Цей метод учні вивчатимуть у курсі алгебри та початків аналізу. Наразі ж дослідження динамічної моделі слугує переконливим способом формування інтуїтивного розуміння площі прямокутника.
7.3 Формули площі паралелограма
Площа багатьох фігур обчислюється за формулами, які пов’язані між собою. Тому важливо організувати навчальний процес так, щоб учні помітили ці зв’язки. Це допоможе їм самостійно виводити формули, якщо вони їх не пам’ятають.
Формула для обчислення площі паралелограма може бути отримана шляхом розрізання його на частини, які дозволяють утворити прямокутник.
Розрізати паралелограм можна різними способами. Найпростіший з них – відрізати трикутник з одного боку і перенести його на інший. Для цього лінія розрізу має проходити по висоті, проведеній з вершини тупого кута, основа якої лежить на протилежній стороні. Щоб основа висоти потрапила на протилежну сторону, висоту проводять до більшої сторони паралелограма.
Цей процес можна наочно продемонструвати, використовуючи паперову модель або динамічне середовище GeoGebra. Вчитель може показати, як з паралелограма утворюється прямокутник, зберігаючи площу.
Доведення формули базується на рівності «відрізаного» та «докладеного» трикутників. Їх рівність обґрунтовується за гіпотенузою та катетом. Таким чином, площі паралелограма і прямокутника рівні. Оскільки основа паралелограма дорівнює довжині прямокутника, а висота – його ширині, отримуємо формулу площі паралелограма: добуток основи на висоту. Учні можуть вивести іншу формулу самостійно, розв’язуючи задачу:
Обчислити площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 𝑎 і 𝑏, а кут між ними дорівнює 𝛼.
Розглядаючи задачу, учні можуть знайти висоту, використовуючи синус кута: ℎ = 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝛼. Підставивши цю висоту у формулу площі, вони отримають нову формулу:
𝑆 = 𝑎 ⋅ 𝑏 ⋅ 𝑠𝑖𝑛𝛼.
Після цього вчитель підсумовує, що було виведено ще одну формулу для обчислення площі паралелограма.
Організація такого процесу дозволяє учням глибше зрозуміти зв’язки між формулами і застосовувати їх у різних ситуаціях.
7.4 Формули площ трикутника і трапеції
Тема обчислення площі трикутника і трапеції відкриває широкі можливості для організації групової роботи. Кожній групі можна запропонувати знайти різні способи виведення формул, що сприятиме розвитку математичного мислення та навичок співпраці.
Завдання для груп:
Вивести формулу площі трикутника
1. Поділивши паралелограм на два рівні трикутники;
2. Добудувавши трикутник до паралелограма.
3. Перетворивши трикутник у прямокутник так, щоб:
o основа трикутника дорівнювала довжині прямокутника; o висота трикутника дорівнювала ширині прямокутника. Вивести формулу площі трапеції:
1.Поділивши трапецію на два трикутники; 2.Перетворивши трапецію на прямокутник.
Щоб учні краще зрозуміли зв’язок між фігурами, учитель може пояснити, що рівність площ підтверджується рівністю частин, які додаються або перекладаються.
Після виведення основних формул доцільно запропонувати задачу:
Обчислити площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 𝑎 і 𝑏, а кут між ними дорівнює 𝛼.
Так само, як при обчисленні площі паралелограма, учні обчислюють висоту трикутника і виводять ще одну формулу для обчислення площі трикутника:
𝑆 
𝑠𝑖𝑛𝛼.
Після цього, слід звернути увагу, що у правильному трикутнику сторони рівні, а кут між ними 60°. Підставивши ці значення у останню формулу, одержуємо формулу для обчислення площі правильного трикутника.
Демонстрація зв’язків між фігурами і їх формулами, використання доведень та різних способів перетворення дозволяє не лише краще запам’ятати формули, але й зрозуміти їх походження. Завдяки цьому учні розвивають логічне мислення і здатність до самостійного аналізу.
7.5 Кілька корисних формул для обчислення площі трикутника
Вивчення даної теми передбачає виведення формул для обчислення площі трикутника через радіуси вписаного та описаного кола та формули Герона.
При виведенні цих формул використовуються принципово різні підходи, тому кожну з них краще розглядати на окремому уроці.
Для виведення формули обчислення площі трикутника через радіус вписаного кола і півпериметр досить побудувати коло, вписане у трикутник і з’єднати його центр з вершинами. Учні бачать, що у одержаних трикутниках висоти дорівнюють радіусу вписаного кола. Тому, якщо відомі сторони трикутника, то площу цілого трикутника знаходимо як суму площ цих трикутників.
Ця формула є універсальною для усіх многокутників, у які можна вписати коло. Тому, варто проговорити, що відбудеться, якщо замість трикутника взяти будь-який інший многокутник. В результаті робимо висновок, що дана формула підходить для усіх многокутників, у які можна вписати кола.
Друга формула для обчислення площі трикутника через його сторони і радіус описаного кола одержується із двох формул:
- Для обчислення площі трикутника через дві сторони і кут між ними.
- Тереми синусів.
Для її виведення можна запропонувати задачу:
Обчислити площу трикутника, якщо відомі його сторони і радіус описаного кола.
Аналізуючи задачу учні пригадують відомі їм формули для обчислення площі трикутника і приходять до висновку, що можна використати формулу за двома сторонами і кутом між ними, але для цього потрібно знайти синус кута між сторонами. Хоч цей кут в умові не заданий, але, за теоремою синусів, йог можна знайти, знаючи протилежну сторону і радіус описаного кола.
Одержавши нову формулу варто підкреслити, що на практиці її частіше використовують для обчислення радіуса описаного кола навколо трикутника за відомими його сторонами. При цьому, площу трикутника обчислюють за формулою Герона.
У підручнику наведено геометричне доведення цієї формули. Вибір методу доведення зумовлений тим, що учні ще не вчили теореми косинусів. Також вони ще слабо володіють тригонометричним апаратом.
Метод доведення ґрунтується на зв’язку між відрізками на які розбиваються сторони трикутника точками дотику вписаного кола і півпериметром трикутника та зв’язку дотичних до зовні вписаного кола та півпериметра. Тому, насамперед, слід встановити ці зв’язки.
Спочатку розглянемо зв’язок між півпериметром 𝑝 і відрізками, на які сторони трикутника розбиваються точками дотику вписаного кола. Цей зв’язок учні вивчали у 7 класі, тому його треба відтворити. Для ілюстрації використаємо кольорові позначення відрізків (Рис.7.1: Нехай З, Ч і Ф — довжини кольорових відрізків.
Тоді сторони трикутника можна записати як:
З+Ч=𝑎, Ф+Ч=𝑏, Ф+З=𝑐
Далі, бачимо, що відрізки усіх кольорів, взяті по одному разу, становлять півпериметр:
Ф+З+Ч=𝑝
Тоді виражаємо кожен відрізок через півпериметр і протилежну сторону:
Ф=𝑝 − 𝑎; З= 𝑝 − 𝑏; Ч=𝑝 − 𝑐.
Рис.7.1 Зв’язок відрізків, на які поділяються сторони трикутника точками дотику, із півпериметром
Далі будуємо зовні вписане коло і показуємо, що відрізок дотичної від вершини 𝐴, трикутника 𝐴𝐵𝐶, до точки дотику дорівнює півпериметру трикутника. Крім того, відрізок дотичної від вершини 𝐶, дорівнює зеленому відрізку, тобто 𝑝 − 𝑏 (Рис.7.2).
Тепер розглядаємо дві пари подібних трикутників:
∆𝑂1𝐷𝐴~∆𝑂2𝐸𝐴 і ∆𝑂1𝐷𝐶~∆𝐶𝐸𝑂2
Подібність першої пари трикутників є очевидною, оскільки вони прямокутні і мають спільний гострий кут.
Подібність другої пари випливає з того, промені 𝐶𝑂1 і 𝐶𝑂2 є бісектрисами суміжних кутів, а тому перпендикулярні. Тому ∠𝑂1𝐶𝐷 + ∠𝑂2𝐶𝐸 = 90°, а значить ∠𝑂1𝐶𝐷 = ∠𝐶𝑂2𝐸.
З подібності першої пари трикутників маємо:
𝑟 𝑅
= , звідси: (𝑝 − 𝑎)𝑅 = 𝑝𝑟 = 𝑆.
𝑝−𝑎 𝑝
З подібності другої пари:
𝒑−𝒄 𝑹
= , тому: (𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑏) = 𝑟𝑅. 𝒓 𝒑−𝒃
Перемножимо рівності: 𝑆 = (𝑝 − 𝑎)𝑅 і 𝑆 = 𝑝𝑟. Одержимо: 𝑆2 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)𝑟𝑅.
Замінимо у останній рівності добуток 𝑟𝑅 на (𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) Остаточно одержимо: 𝑆2 = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐). 
Звідси: 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐).
Рис.7.2 Доведення формули Герона
Для учнів, які добре володіють алгебраїчним апаратом, можна запропонувати доведення, що ґрунтується на простій ідеї, знаходження висоти трикутника з використанням теореми Піфагора. Однак воно вимагає складних алгебраїчних перетворень:
Нехай у трикутнику 𝐴𝐵𝐶 сторони 𝑎, 𝑏 і 𝑐, причому 𝑐 найдовша. Проведемо висоту 𝐶𝐷 = ℎ. Тоді площу трикутника обчислимо за формулою:
𝑆 = 
𝑐ℎ
Виразимо висоту ℎ, через сторони 𝑎 і 𝑏.
Для цього позначимо 𝐴𝐷 = 𝑥 і 𝐷𝐵 = 𝑐 − 𝑥.
Рис.7.1 Обчислення висоти трикутника за трьома сторонами
Тоді, за теоремою Піфагора:
𝑎2 = 𝑥2 + ℎ2
{𝑏2 = (𝑐 − 𝑥)2 + ℎ2; Розкриємо дужки:
{𝑏2 = 𝑐𝑎22−=2𝑥𝑐𝑥2 ++ℎ𝑥22 + ℎ2;
Віднімемо від першого рівняння друге:
𝑎2 − 𝑏2 = −𝑐2 + 2𝑐𝑥, звідси:
𝑥 = 𝑎
2−2𝑏𝑐2+𝑐2; або 𝑥2 = (
𝑎2−4𝑏𝑐22+с2)2;
З першого рівняння системи: ℎ2 = 𝑎2 − 𝑥2 = 𝑎2 − (
𝑎2−4𝑏𝑐22+с2)2;
Щоб уникнути квадратних коренів, піднесемо обидві частини формули трикутника до квадрату: 𝑆2 = 1
𝑐2ℎ2 і підставимо у неї значення ℎ2: 4
1 (𝑎2 − 𝑏2 + с2)2 4𝑎2𝑐2 − (𝑎2 − 𝑏2 + с2)2
𝑆2 = 4
𝑐2 (𝑎2 − 
4𝑐2 ) = 16 =
Розкладемо різницю квадратів:
Розкриємо дужки і виділимо повні квадрати:
Знову розкладемо різниці квадратів:
= (𝑝 − 𝑐)(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)𝑝=𝑆2.
Звідси:
𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐).
Якщо рівень підготовки учнів не дозволяє опрацювати жодне з цих доведень через їхню складність, то можна перевірити істинність формули, завантаживши готову модель: https://www.geogebra.org/m/pvyngtmv.
7.6 Формули площ деяких многокутників
На завершення вивчення розділу, пропонуються формули для обчислення площі чотирикутника через його діагоналі. Обидві формули можна пропонувати учням у формі вправ.
У випадку перпендикулярних діагоналей, чотирикутник розбивається на два трикутники у яких одна діагональ є основою, а відрізки другої діагоналі, на які її розбиває точка перетину діагоналей, є висотами цих трикутників. Обчислюємо площу кожного трикутника. При обчисленні суми площ суму відрізків замінюємо цілою діагоналлю і одержуємо готову формулу.
Якщо відомі діагоналі і кут між ними, то знову розглядаємо два трикутники у яких одна діагональ є їхньою спільною основою. Лише, у цьому випадку, висоти цих трикутників виражаємо через відрізки другої діагоналі і кут між діагоналями.
Після виведення формул, важливо проаналізувати у яких відомих чотирикутників діагоналі перпендикулярні (це ромб і квадрат) і сформулювати відповідні наслідки.
Також доцільно сформулювати наслідки про обчислення площі паралелограма та прямокутника через їхні діагоналі і кут між ними.
Якщо це не було зроблено при виведенні формули площі трикутника через півпериметри і радіус описаного кола, то тепер необхідно поширити цю формулу на довільний многокутник, у який можна вписати коло.
9 клас
Розділ 8. Вектори і координати
8.1 Співнапрямлені промені. Напрям. Кут між напрямами
У цьому розділі розглядаємо вектори як моделі векторних величин. Оскільки векторні величини характеризуються напрямом і модулем, то на початку теми узагальнюємо знання учнів про напрям.
На першому уроці необхідно сформулювати означення напряму та кута між напрямами. Для цього спочатку вводимо поняття «співнапрямлені промені». Співнапрямленими називаються промені, які:
⎯ належать одній прямій і мають спільну частину, що є промінем, або
⎯ належать паралельним прямим і розташовані в одній півплощині, що задається прямою, яка проходить через їхні початки.
Спираючись на конкретні приклади, як-от напрями руху, слід допомогти учням зрозуміти, що напрям задається будь-яким із співнапрямлених променів.
Для визначення кута між напрямами обираємо промені, що задають ці напрями й мають спільний початок. Кутом між напрямами вважається найменший кут між обраними променями. Вибір співнапрямлених променів із одним початком є зручністю для розрахунків, яка не змінює фізичної суті величини.
Принагідно, під час вивчення цієї теми, доцільно повторити поняття напряму обертання та кута обертання. Учням нагадуємо:
⎯ напрям обертання проти годинникової стрілки вважається додатним, ⎯ напрям обертання за годинниковою стрілкою – від’ємним.
Кут обертання визначається як величина кута між початковим (вихідним) і кінцевим напрямами.
8.2 Вектор. Рівні вектори
Вивчення теми розпочинаємо з обговорення величин, класифікуючи їх на скалярні та векторні. Учні повинні зрозуміти, що скалярні величини можна моделювати за допомогою відрізків, де довжина відображає значення цієї величини. Це означає, що дві рівні величини позначаються рівними відрізками.
Векторні величини моделюються напрямленими відрізками, в яких один кінець є початком, а інший – кінцем вектора. Напрямлені відрізки зображують стрілками. Довжина відрізка відповідає числовому значенню (модулю) векторної величини або модулю вектора. Промінь, що починається в початку напрямленого відрізка і проходить через його кінець, визначає напрям вектора.
У середовищі GeoGebra для зображення вектора використовується інструмент Вектор.
Вибравши цей інструмент і клацнувши по двох точках, можна отримати зображення вектора: перша точка стає його початком, а друга – кінцем. У підручнику ознайомлення з поняттям вектора відбувається на координатній площині, що дозволяє одразу ознайомити учнів із його координатами.
Щоб учні краще зрозуміли принцип обчислення координат вектора, варто увімкнути панель Алгебра. Розглядаючи вектор як модель переміщення з початкової точки в кінцеву, можна пояснити, що координати вектора показують, наскільки потрібно переміститися вправо або вліво і вгору чи вниз, щоб потрапити з початкової точки у кінцеву. Це дає змогу зрозуміти, як обчислювати координати вектора за відомими координатами його початку і кінця.
Наступний крок – побудова вектора у середовищі GeoGebra з використанням рядка вводу.
Якщо ввести координати, аналогічні побудованому вектору, наприклад (3; 4), то отримаємо вектор з початком у початку координат. Тут важливо наголосити, що координати вектора і координати його кінця збігаються, адже початок має координати (0; 0). Під час роботи у GeoGebra доцільно продемонструвати перенесення вектора. Перенесення дозволяє зберігати модуль і напрям вектора, що наочно ілюструє їх рівність незалежно від розташування. Це дає змогу зробити важливі висновки:
⎯ рівні вектори мають однакові модулі, напрямки та координати;
⎯ перенесення вектора не змінює його координати, якщо зберігаються модуль і напрям.
Ознайомлення з поняттям вектора, його координатами і моделюванням у GeoGebra сприяє формуванню уявлення про векторні величини, рівність векторів та їх властивості.
8.3 Відкладання вектора від точки. Кут між векторами
Завданням теми є сформувати поняття «відкладання вектора від точки» та поняття колінеарності векторів; розробити алгоритм зображення відкладання вектора на папері та алгоритм обчислення координати кінця вектора при його відкладанні від заданої точки.
Також необхідно сформулювати означення кута між векторами.
Розпочати доцільно із перенесення вектора у середовищі GeoGebra. При цьому варто наголосити, що ми одержуємо вектор, рівний даному, оскільки його напрям і модуль залишаються незмінними.
Далі слід обговорити алгоритм відкладання вектора від точки на папері. Учитель може моделювати побудови за допомогою інструментів GeoGebra на великому екрані, а учні виконувати відповідні побудови у зошитах. При цьому, побудови доцільно обґрунтувати:
⎯ через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній;
⎯ із двох променів, що починаються у даній точці, тільки один співнапрямлений із даним вектором;
⎯ на промені, від його початку, можна відкласти лише один відрізок, рівний даному.
Це означає, що від заданої точки можна відкласти лише один вектор, рівний даному.
Наступним кроком слід обговорити, як обчислити координати кінця вектора, якщо відомо його координати і координати початку. У результаті обговорення учні повинні зробити висновок: оскільки для обчислення координат вектора потрібно від координат кінця відняти координати початку, то для обчислення координат кінця вектора потрібно до координат початку додати координати вектора.
Щоб сформулювати алгоритм визначення кута між векторами, доцільно пригадати, як знайти кут між напрямками, і повідомити, що кут між векторами – це кут між їх напрямами. Тому для знаходження кута між векторами потрібно відкласти їх від однієї точки.
Акцентуємо увагу учнів на те, що кут між співнапрямленими векторами дорівнює 0°, а кут між протилежно парямленими векторами – 180°. Також наголошуємо, що співнапрямлені або протилежно напрямлені вектори лежать на одній прямій, або на паралельних прямих. Такі вектори називаються колінеарними.
8.4 Додавання і віднімання векторів
Для формування поняття суми векторів зручним є середовище GeoGebra.
На початку можна сформувати уявлення про суму векторів, як про послідовне переміщення. Якщо ми перемістилися з точки 𝐴 у точку 𝐵, а потім з точки 𝐵 у точку 𝐶, то в результаті можна говорити, що ми перемістилися з точки 𝐴 у точку 𝐶. Оскільки перше переміщення задається вектором ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ , а наступне вектором ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ , то в результаті ми перемістилися на вектор 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ , який природньо вважати сумою цих векторів.
Далі, потрібно звернути увагу, як назвала GeoGebra вектори ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ і ⃗𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ . Зазвичай вона перший вектор називає u, а другий v. У такому разі вводимо у командний рядок текст: u+v. Відразу з’явиться вектор, що дорівнює сумі цих векторів. Легко переконатися, що він дорівнює вектору 𝐴𝐶.
Ці спостереження дозволяють відразу сформулювати означення суми векторів, як суми відповідних координат та правило трикутника додавання векторів. Обґрунтування цього правила подано у підручнику. Воно не складне, тому учні можуть його опрацювати самостійно.
Відразу доцільно розширити це правило на випадок кількох доданків. Зокрема, звертаємо увагу, що може так статися, коли, в результаті кількох переміщень, ми опинимось у початковій точці. На основі таких спостережень формулюємо означення нуль-вектора та протилежних векторів. Корисно звернути увагу, що якщо напрям вектора змінити на протилежний, то одержимо протилежний вектор. Однак, бажано навести приклад, коли кінці протилежних векторів не співпадають.
Із означення суми векторів випливає, переставний і сполучних закони додавання. Розглядаючи переставний закон додавання, встановлюємо правило паралелограма для додавання векторів.
Формулюючи означення різниці векторів, спираємося на зв’язок між операціями додавання та віднімання. Визначаємо правило віднімання векторів, яке базується на їх геометричному представленні.
8.5 Множення вектора на число
Множення вектора на число можна проілюструвати через приклад рівномірного прямолінійного руху. Якщо переміщення рухомого об’єкта за одиницю часу позначити вектором 𝑢⃗ , то його переміщення з 2, 3, 4 і т. д. одиниці часу, природно вважати: 2𝑢⃗ , ⃗3⃗⃗𝑢⃗ , ⃗4⃗⃗𝑢⃗ …
Побудувавши ці вектори в середовищі GeoGebra, спостерігаємо, що кожна координата цих векторів у 2, 3, 4 і т д. рази більша за відповідну координату вектора 𝑢⃗ . На основі цих спостережень формулюємо означення множення вектора на число.
Щоб детальніше дослідити цю операцію, будуємо у GeoGebra повзунок
𝑎 діапазоном від -5 до 5, вектор 𝑢⃗ і вектор 𝑎𝑢⃗ .
Змінюючи значення змінної 𝑎, помічаємо такі закономірності: якщо 𝑎 >
0, то вектор 𝑎𝑢⃗ має такий самий напрям, як і вектор 𝑢⃗ . Якщо 𝑎 < 0, то вектор 𝑎𝑢⃗ протилежно напрямлений до вектора 𝑢⃗ . При цьому, модуль вектора 𝑎𝑢⃗ дорівнює добутку модуля числа 𝑎 на модуль вектора 𝑢⃗ . Якщо ж 𝑎 = 0, то одержуємо нуль-вектор. Аналогічно перевіряємо, що множення нуль-вектора на будь-яке число також дає нуль-вектор Оскільки напрям нуль-вектора не визначений або вважається, що він має будь-який напрям, робимо висновок, що при множенні вектора на число одержуємо вектор, колінеарний даному.
На цьому етапі пропонуємо учням сформулювати обернене твердження. Після обговорення приходимо до висновку: для будь-яких двох колінеарних векторів існує число, яке при множенні на один із них дає другий вектор. Доведення цього твердження розглядаємо за підручником.
8.6 Закони множення вектора на число
Завданням теми є сформулювати і довести закони множення вектора на число.
Ці закони подібні до відповідних законів множення чисел, що дозволяє виконувати тотожні перетворення над векторними виразами так само, як над алгебраїчними.
Для початку важливо пригадати всі закони множення чисел, звернувши увагу на те, що при множенні чисел обидва компоненти є числами. У випадку множення вектора на число один із множників – це скаляр (число), а другий – вектор. Тому виникають два розподільні закони:
1. Розподільний закон відносно суми чисел.
2. Розподільний закон відносно суми векторів.
Доведення цих законів не є складним і базується на означенні множення вектора на число. Проте для кращого засвоєння матеріалу учням слід продемонструвати, як ці закони можна перевірити засобами GeoGebra. Для цього потрібно:
1. Задати всі компоненти (вектори та числа), які використовуються у рівності.
2. Ввести в командний рядок вирази, що відповідають лівій і правій частинам рівності.
3. Змінюючи значення чисел і векторів, спостерігати, що вектори, які задані обома виразами, завжди рівні.
Таке дослідження переконливо демонструє правильність законів множення вектора на число. Для учнів ці результати є не лише наочними, а й сприяють глибшому розумінню математичних властивостей векторів.
Вміння проводити подібні експерименти й аналізувати їхні результати має важливе прикладне значення, оскільки забезпечують формування навичок дослідницької діяльності.
8.7 Розклад вектора за базисом
Тема «Розклад вектора за базисом» є основоположною для розуміння координат, зміцнення внутрішньопредметних зв’язків (між геометрією та алгеброю) і відкриває можливості для міжпредметної інтеграції. Вона готує учнів до застосування математичних знань у різних галузях науки та техніки.
Введення поняття базису допомагає усвідомити, що будь-який вектор можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних векторів. Це є основою для формування системи координат. Завдяки розкладу учні розуміють, що координати вектора – це коефіцієнти в його представленні через базисні вектори. Такий підхід не лише поглиблює геометричне розуміння координат, але й формує навички роботи з векторами в різних системах координат, що є важливим для вирішення прикладних задач у фізиці, інженерії та інших науках.
Використання GeoGebra є надзвичайно корисним для формування поняття розкладу вектора за базисом. У підручнику пропонується: 1. Побудувати базисні вектори 𝑖 (1; 0) та 𝑗 (0; 1),
2. Створити два повзунки 𝑥𝑎 та 𝑦𝑎.
3. Побудувати вектор 𝑎 = 𝑥𝑎𝑖 + 𝑦𝑎𝑗 , ввівши відповідну команду у рядок вводу.
Під час зміни значень коефіцієнтів 𝑥𝑎 та 𝑦𝑎. учні наочно бачать, як можна отримати будь-який вектор у просторі. На основі цього експерименту формулюється висновок: будь-який вектор можна розкласти за базисом.
Важливо звернути увагу на панель Алгебра і наголосити, що коефіцієнти розкладу вектора за базисом і є його координатами. Такий підхід не лише спрощує розуміння теорії, але й дозволяє учням перевірити твердження через практичні експерименти в динамічному середовищі.
8.8 Скалярний добуток векторів
У підручнику, з метою мотивації скалярного добутку, пригадується відома учням формула для обчислення роботи 𝐴 
|⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ |𝑐𝑜𝑠α, де робота визначається через проєкцію сили 𝐹 на напрямок переміщення ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Можна вказати і інші подібні формули з фізики:
Формула потужності у фізиці визначається як 𝑃 
|𝑣 |𝑐𝑜𝑠α
Це також приклад використання скалярного добутку, оскільки враховується тільки проєкція швидкості на напрямок сили.
У термодинаміці, тепловий потік через поверхню визначається за формулою: Ф𝑞 
|𝑛⃗ |𝑐𝑜𝑠α, де 𝑞 – густина теплового потоку, а 𝑛⃗ – нормальний вектор до поверхні. Тут скалярний добуток враховує тільки нормальну складову вектора потоку.
Навіть, якщо ці формули, ще учням невідомі, вони наочно показують, що при множенні двох векторів ми одержуємо скалярну величину, яка дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Це і є означення скалярного добутку векторів.
𝑢⃗ 
𝑐𝑜𝑠 𝛼
Оскільки у фізиці, широко використовується поняття проєкції вектора на напрям, то варто розглянути означення скалярного добутку з використанням цього поняття:
𝑢⃗ 
Пр𝑢⃗ 𝑣
На конкретних прикладах ілюструємо, що проєкція вектора 𝑣 на напрям
𝑢⃗ набуває додатного значення, якщо кут між векторами гострий, і від’ємного – якщо кут тупий. Це пояснюється тим, що косинус гострого кута додатний, а тупого – від’ємний.
З означення скалярного добутку відразу одержуємо формулу для обчислення кута між векторами та ряд важливих наслідків:
- квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, звідки маємо формулу для обчислення модуля вектора.
- скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю. Обернене твердження, яке формулюють і доводять учні є ознакою перпендикулярності векторів.
Так само, як при вивченні множення вектора на число, пригадуємо закони множення чисел і формулюємо закони скалярного добутку.
Усі ці закони, як і закони множення вектора на число, можна довести засобами GeoGebra. Крім того, при потребі, їх можна обґрунтувати і за допомогою логічних міркувань.
Переставний закон скалярного добутку векторів випливає із означення.
Сполучний закон є специфічним. Його компонентами є скаляр (число) і два вектори. Оскільки, при множенні вектора на число, одержуємо вектор, колінеарний даному, то кут між векторами: 𝑎𝑢⃗ і 𝑣 та векторами 𝑢⃗ і 𝑎𝑣 є рівними, а для чисел |𝑢⃗ |, |𝑣 | і 𝑎 сполучний закон виконується.
Для доведення розподільного закону варто використати готову модель: https://www.geogebra.org/m/z8junnrh (Рис. 9.1).
Рис.9.1 Ілюстрація розподільного закону скалярного добутку
Звертаємо увагу, що скалярний добуток векторів 𝑢⃗ і 𝑤⃗⃗ дорівнює добутку довжин відрізків 𝐴𝐸𝐴𝐷. Адже 𝐴𝐸 є проекцією вектора 𝑢⃗ на вектор 𝑤⃗⃗ . Тому дорівнює добутку його модуля 𝐴𝐵 на косинус кута між ними. Відрізок 𝐴𝐷 – це модуль вектора 𝑤⃗⃗ .
Аналогічно: 𝑣 · 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐹 · 𝐴𝐷;
(𝑢⃗ + 𝑣 ) · 𝑤⃗⃗ = 𝐴𝐻 · 𝐴𝐷;
𝑢⃗ · 𝑤⃗⃗ + 𝑣 · 𝑤⃗⃗ = (𝐴𝐸 + 𝐴𝐹) · 𝐴𝐷 = (𝐴𝐸 + 𝐸𝐻) · 𝐴𝐷 = 𝐴𝐻 · 𝐴𝐷.
8.9 Теорема косинусів
Теорема косинусів, поряд із теоремою синусів є ключовою для розв’язування трикутників. Вона пов’язує сторони трикутника з косинусом кута між ними й є узагальненням теореми Піфагора для довільного трикутника. Їх можна подати у формі задачі:
Задача. Дві сторони трикутника дорівнюють 𝑎 і 𝑏, а кут між ними . Обчислити довжину третьої сторони.
Оскільки учні вперше використовують апарат для вирішення геометричних проблем, то важливо акцентувати увагу на основних етапах:
Для розв’язання задачі використаємо наступні етапи:
1) Представлення сторін трикутника векторами. Позначимо одну зі сторін трикутника як вектор 𝑎 , а другу — як вектор 𝑏⃗ . Тоді третя сторона трикутника дорівнює різниці цих векторів: 𝑐 = 𝑎 − 𝑏⃗ .
2) Обчислення квадрата довжини вектора. Довжина вектора визначається його модулем, а квадрат модуля дорівнює квадрату вектора.
3) Застосування властивостей скалярного добутку. Розкриємо дужки, використовуючи розподільний закон для скалярного добутку і одержуємо тотожність, яка носить назву теореми косинусів.
Таким чином, доведення теореми косинусів з використанням векторного апарату дає формулу для знаходження довжини будь-якої сторони трикутника через дві інші сторони та косинус кута між ними. Це підтверджує зв’язок геометрії та алгебри, а також є прикладом практичного застосування векторного аналізу в розв’язуванні геометричних задач.
Після виведення теореми косинусів важливо показати, що вона є узагальненням теореми Піфагора. Та продемонструвати, що її застосовують, якщо у трикутнику задані дві сторони і кут. Зокрема, у випадку, коли заданий кут не знаходиться між сторонами, то, позначивши невідому сторону змінною, одержимо квадратне рівняння. Тому варто обговорити кількість розв’язків відповідної задачі. З алгебраїчної точки зору, кількість коренів залежить від дискримінанта. У підручнику подано геометричну інтерпретацію цієї ситуації. Показуємо, що кількість коренів залежить від кількості точок перетину променя і кола.
На завершення, показуємо, як обчислити величину кута трикутника, якщо відомі три його сторони.
8.10 Наслідки із теореми косинусів
Завданням теми є показати використання теореми косинусів для визначення виду трикутників за довжиною його сторін, встановлення зв’язку між діагоналями та сторонами паралелограма.
Формула для обчислення косинуса кута трикутника через його сторони дозволяє визначити вид трикутника (гострокутний, прямокутний чи тупокутний). Для цього учні мають пригадати, які значення набуває косинус у першій і другій чверті тригонометричного кола. Зверніть увагу, що для гострих кутів косинус додатний, для прямих — нуль, а для тупих — від’ємний.
Теорема про зв’язок діагоналей і сторін паралелограма є класичною задачею на використання теореми косинусів. Виведення формули може стати завданням для самостійної роботи учнів. Важливо пригадати, що косинуси кутів, які доповнюють один одного до 180°, пов’язані співвідношенням 𝑐𝑜𝑠(180° − 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼.
При розв’язуванні задачі на обчислення довжини медіани, використовується продуктивна ідея добудови трикутника до паралелограма. Завдяки цьому завдання зводиться до застосування уже знайомих формул для паралелограмів. Це дозволяє учням розвивати навички аналітичного мислення та знаходити нові шляхи розв’язання задач.
8.11 Координатна форма скалярного добутку
Координатна форма скалярного добутку створює сприятливі умови для встановлення зв’язку між векторною алгеброю та методом координат. Завданням теми є не лише ознайомлення учнів зі новою формою представлення скалярного добутку, але й опанування основних формул векторної алгебри у координатній формі.
Основна ідея теми — це розклад вектора за базисом та використання властивостей дій над векторами. Оскільки ці властивості подібні до дій над числами, учні легко можуть виконувати відповідні обчислення самостійно. Роль учителя полягає у спрямуванні цієї діяльності та допомозі у формулюванні правильних висновків.
На початку уроку вчитель пропонує два вектори, задані своїми координатами. Учні виконують розклад цих векторів за базисом і обчислюють їх скалярний добуток.
Далі нагадуємо, що квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля, а скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю. Це допомагає представити скалярний добутку у координатній формі.
Наступним кроком є представлення модуля вектора у координатній формі та формули для обчислення кута між векторами.
На завершення учням пропонується знайти відстань між двома точками 𝐴 та 𝐵, заданими своїми координатами та координати середини відрізка. Вчитель може пояснити цю ідею у вигляді двох основних кроків:
− обчислити координати вектора ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ; − знайти модуль цього вектора.
Виконуючи ці дії, учні отримують формулу відстані між двома точками. Далі пропонуємо побудувати вектор 
⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ .
Виконавши завдання учні повинні дійти висновку, що якщо початок вектора 
⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ знаходиться у точці 𝐴, то його кінець буле знаходитись на середині відрізка 𝐴𝐵.
Тому, для виконання завдання необхідно:
− знайти координати вектор 
⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ;
− знаючи координати вектора, та координати його початку, обчислити координати його кінця.
В результаті учні отримають координати середини відрізка AB.
У процесі виконання завдань учні самостійно формулюють висновки щодо зручності координатної форми скалярного добутку для розв’язування практичних задач.
8.12 Рівняння прямої і кола
Завдяки середовищу GeoGebra учні вже з перших уроків бачать, що прямі в цьому середовищі представлені лінійними рівняннями. Оскільки в курсі алгебри учні вже вивчали лінійну функцію та будували її графік, це дає додаткову мотивацію до вивчення теми. Тому вчитель може повідомити, що завдяки інструментам векторної алгебри учні можуть самостійно записати рівняння прямої.
При записі рівняння фігури використовуються поняття «біжучої точки», яка «переміщується» по фігурі. Тобто – це будь-яка точка, що належить фігурі, або ГМТ, які утворюють дану фігуру.
У випадку прямої, вибираємо довільний вектор 𝑢⃗ (𝑚; 𝑛) та точку 𝑋0(𝑥0; 𝑦0), за межами вектора. Поведемо через цю точку пряму, паралельну даному вектору. Оскільки така пряма є єдиною, вибираємо на прямій біжучу точку 𝑀(𝑥; 𝑦). Тоді вектори ⃗𝑋⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗ і 𝑢⃗ будуть колінеарними.
Обчисливши координати вектора ⃗𝑋⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗ і використавши умову колінеарності, отримуємо канонічне рівняння прямої. Якщо, провести пряму через дві токи 𝐴 і 𝐵, то вектором напрямку буде вектор ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ . Що дозволяє одержати ще одне рівняння прямої.
Використовуючи властивості пропорцій та виконуючи відповідні перетворення, обидва рівняння можна привести до лінійної форми.
Так само, як і з рівнянням прямої, учні вже знайомилися з рівнянням кола в середовищі GeoGebra. Якщо побудувати коло сталого радіуса із центром у точці з цілими координатами та відкрити панель Алгебра, учні можуть легко зрозуміти зміст параметрів рівняння. Для цього достатньо перенести центр кола в іншу точку або змінити радіус, спостерігаючи, як це впливає на рівняння.
Для запису рівняння кола пригадуємо, що всі точки на колі рівновіддалені від його центра. Виберемо біжучу точку 𝑀(𝑥; 𝑦) і позначимо центр кола координатами 𝑂(𝑥0; 𝑦0). Обчисливши відстань від центра кола до біжучої точки за формулою відстані та піднісши обидві частини рівності до квадрату, одержимо рівняння кола.
Розділ 9. Многокутники і коло
9.1 Сума внутрішніх і зовнішніх кутів многокутника
Цим розділом завершується вивчення властивостей многокутників у курсі планіметрії. Завданням теми є виведення формул для обчислення суми внутрішніх і зовнішніх кутів многокутників.
Учні вже мають досвід вивчення відповідної теми для чотирикутників. Тут використовується той самий підхід, тому доречно застосувати метод аналогії та максимально залучити учнів до самостійного виведення відповідних формул.
Для виведення формули обчислення суми зовнішніх кутів можна використати симулятор, посилання на який подано в підручнику. Аналогічний симулятор учні можуть створити самостійно. Для цього потрібно:
1. Побудувати одиничний вектор, початок якого задається інструментом Точка на об’єкті.
2. За межами многокутника вибрати точку, через яку провести пряму, паралельну до вектора.
3. На цій прямій від вибраної точки відкласти одиничний відрізок.
4. Приховати пряму, а відрізку надати властивість Залишати слід.
Тепер, при обертанні вектора, відрізок буде також повертатися, зафарбовуючи сектор, кут якого дорівнює куту повороту вектора. Коли вектор завершить рух по контуру, відрізок опише коло. Це свідчить про те, що сума зовнішніх кутів будь-якого многокутника дорівнює 360°.
У підручнику запропоновано два способи обчислення суми внутрішніх кутів многокутника:
• Перший спосіб: розбити многокутник на трикутники діагоналями. Цей метод ілюструє зв’язок суми кутів многокутника із сумою кутів трикутника.
• Другий спосіб: з’єднати всі вершини многокутника із точкою, що належить його внутрішній області. Такий підхід дозволяє побачити обчислити суму внутрішніх кутів, використовуючи суму зовнішніх.
Для більшої активності учнів клас доцільно поділити на дві групи, кожна з яких отримає завдання дослідити один із способів. Потім разом обговорюються результати, робиться висновок про взаємозв’язок між обома підходами.
Важливо, щоб наприкінці уроку учні чітко зрозуміли:
− Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює (𝑛 − 2) ⋅ 180°.
− Сума зовнішніх кутів будь-якого многокутника завжди дорівнює 360°, незалежно від кількості сторін.
Додатково, варто звернути увагу на практичне застосування цих знань, наприклад, у проектуванні споруд, обчисленні кутів в астрономії або комп’ютерній графіці.
9.2 Многокутник, вписаний у коло, і описаний навколо кола
Завданням теми є сформулювати означення кола, вписаного в многокутник, і кола, описаного навколо многокутника, а також з’ясувати умови існування таких кіл. У цій темі використовується аналогія з відповідними властивостями для чотирикутників.
Розпочати можна з побудови многокутника, вписаного в коло. Для цього будуємо коло й обираємо кілька точок на ньому. З’єднуємо ці точки відрізками, утворюючи многокутник. Після цього формулюємо означення многокутника, вписаного в коло, та кола, описаного навколо многокутника.
Для встановлення положення центра цього кола згадуємо, де знаходиться центр описаного кола трикутника та чотирикутника. З’ясовуємо, що для многокутника центр також має знаходитися у точці перетину серединних перпендикулярів сторін.
Обговорюючи питання: «Чи завжди серединні перпендикуляри многокутника перетинаються в одній точці?» робимо висновок, що наявність такої точки є необхідною і достатньою умовою існування кола, описаного навколо многокутника.
Аналогічно виконуємо побудову многокутника, описаного навколо кола. Спочатку будуємо коло, обираємо кілька точок на ньому та проводимо через них дотичні. Точки перетину дотичних утворюють вершини многокутника.
Після побудови такого многокутника формулюємо означення многокутника, описаного навколо кола, і кола, вписаного у многокутник.
Далі визначаємо положення центра вписаного кола. Згадуємо, що для трикутника і чотирикутника центр вписаного кола знаходиться у точці перетину бісектрис. Аналогічно для многокутника центр вписаного кола буде у точці перетину бісектрис його внутрішніх кутів.
Обговорюючи питання: «Чи завжди бісектриси многокутника перетинаються в одній точці?» робимо висновок, що існування такої точки є необхідною та достатньою умовою існування кола, вписаного у многокутник. Урок завершується підсумком:
− Для многокутника, вписаного у коло, усі його вершини мають лежати на одному колі.
− Для многокутника, описаного навколо кола, усі його сторони мають бути дотичними до цього кола.
Цей матеріал дозволяє учням поглибити знання про многокутники та їхні властивості, а також формує навички логічного аналізу та доведення.
9.3 Правильні многокутники
Із правильними многокутниками учні знайомилися ще на початку курсу. Завданням цієї теми є пригадати означення та основні властивості правильних многокутників, а також вивести формули для обчислення радіусів вписаного і описаного кіл.
Розпочати варто з побудови правильних многокутників за допомогою відповідного інструмента GeoGebra. Після виконання побудови учні мають сформулювати означення правильного многокутника, звертаючи увагу на рівність його сторін і кутів.
Далі акцентуємо увагу на симетрії правильних многокутників:
− Кожен правильний 𝑛-кутник має 𝑛 осей симетрії.
− Усі осі симетрії перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного і описаного кіл.
Проблему обчислення радіусів цих тіл можна сформулювати у формі задачі для довільного 𝑛-кутника. Розглядаємо одну сторону многокутника і його центр. З’єднавши кінці цієї сторони з центром, утворюємо рівнобедрений трикутник:
− Бічні сторони трикутника є радіусами описаного кола.
− Висота, проведена до основи, є радіусом вписаного кола. Для обчислення радіусів необхідно:
1. Визначити кути рівнобедреного трикутника залежно від кількості сторін (n) многокутника.
2. Розв’язати трикутник, використовуючи відомі співвідношення між сторонами та кутами.
У результаті виведення отримуємо універсальні формули для радіусів вписаного та описаного кіл через кількість сторін (n) і довжину сторони многокутника.
Для закріплення учні підставляють значення n=3, 4, 5, 6 і отримують конкретні формули для відповідних правильних многокутників.
9.4 Довжина кола і дуги
Завданням теми є сформувати уявлення про довжину кола як границю послідовності периметрів вписаних правильних 𝑛-кутників при нескінченному зростанні 𝑛. Оскільки з поняттям границі учні не знайомі, відповідні уявлення формуються на інтуїтивній основі.
Для цього доцільно використати динамічну модель, яка демонструє процес перетворення правильного многокутника у круг. Модель дозволяє змінювати значення радіуса круга та кількість сторін многокутника. Також автоматично обчислює периметр многокутника і знаходить відношення цього периметра до діаметра кола. Учні мають можливість фіксувати ці значення у таблиці. Такий підхід дає змогу учням спостерігати, як зі зростанням кількості сторін правильного многокутника він практично перетворюється у круг. На основі цих спостережень вони роблять висновок про те, що периметр наближається до довжини кола. Крім того, учні мають можливість провести числовий експеримент, який переконує, що відношення периметра многокутника до діаметра наближається до деякого фіксованого числа. На основі експерименту робимо висновок, що відношення довжини кола до його діаметра є величина стала.
Після проведення числового експерименту знайомимо учнів із числом π.
Доцільно навести коротку історичну довідку про число π.
Число π (пi) відоме людству понад 4 тисячі років. Уперше його використовували вавилоняни, наближаючи значення до 3,125. Давньоєгипетський математик Ахмес, автор папірусу Рінда, визначав значення π приблизно як 3,16. У III столітті до н.е. Архімед із Сиракуз запропонував метод обчислення π через вписані та описані многокутники, отримавши значення між 3,1408 і 3,1429. У XVII столітті нідерландський математик Людовик ван Цейлен розрахував π з точністю до 35 знаків після коми, а сьогодні це число відоме з точністю до трильйонів знаків.
С
Із відношення = 𝜋, одержуємо формулу для обчислення довжини кола:
𝑑
𝐶 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑅.
Далі доцільно розглянути задачу на знаходження довжини дуги, якщо відома її градусна міра. Ця задача є класичною задачею на знаходження четвертого пропорційного. Учням пропонується розв’язати її самостійно, після чого перевірити результат. Згодом формулу для обчислення довжини дуги рекомендується запам’ятати для подальшого використання.
Такий підхід дозволяє сформувати уявлення про довжину кола, закріпити розуміння взаємозв’язків між геометричними величинами та вдосконалити навички роботи з математичними моделями.
9.5 Площа круга і сектора
У підручнику поняття площі круга пропонується ввести як границю послідовності площ правильних 𝑛-кутників, описаних навколо круга, при нескінченному збільшенні 𝑛.
Оскільки з поняттям границі учні не знайомі, відповідне уявлення формується інтуїтивно за допомогою динамічної моделі. Ця модель демонструє, як описаний многокутник із дедалі більшою кількістю сторін практично зливається з кругом. Завдяки цьому учні переконуються, що якщо многокутник перетворюється у круг, то площа круга дорівнює площі многокутника.
Для обчислення площі многокутника використовується відома формула:
𝑆𝑛 = 𝑝𝑛𝑟
де 𝑝𝑛 — півпериметр многокутника, а 𝑟 — радіус вписаного кола.
При нескінченному збільшенні кількості сторін многокутника його півпериметр 𝑝𝑛 наближається до довжини півкола, тобто 𝑝𝑛=πr. Тоді площа круга обчислюється за формулою:
𝑆к = π𝑟 ∙ 𝑟 = 𝜋𝑟2
У підручнику подано посилання на модель яка дозволяє розрізати круг на сектори і скласти з нею фігуру, схожу на паралелограм. При збільшенні числа 𝑛, одержана фігура наближається до прямокутника у якого ширина дорівнює радіусу, а довжина – довжині пів кола. Це ще одна ілюстрація, яка допомагає зрозуміти геометричну природу формули площі круга.
На завершення, учні знайомляться з формулою для обчислення площі сектора. Як і при знаходженні довжини дуги, відповідна задача є прикладом задачі на пропорційність. Учні виконують задачу самостійно, після чого разом із учителем перевіряють її розв’язання та виводять формулу для площі сектора круга.
Такий підхід дозволяє учням інтуїтивно зрозуміти зв'язок між многокутником і кругом, закріпити знання формул для обчислення площі та вдосконалити навички аналізу геометричних об’єктів.
Розділ 10. Геометричні перетворення
10.1 Поняття про геометричні перетворення
Уявлення про геометричні перетворення у дітей формуються поступово й вимагають попередньої підготовки. Для цього доцільно використовувати інструменти GeoGebra, що дозволяють зробити навчання наочним і зрозумілим.
Почати можна з демонстрації інструмента Переміщення, який дозволяє перетягувати фігуру або її частини на нове місце. Наприклад, створюємо довільний многокутник за допомогою інструмента Жорсткий многокутник та копіюємо його. Переміщення копії на нове місце допоможе учням усвідомити поняття геометричного перетворення. Важливо звернути увагу, що кожна вершина многокутника переходить у відповідну їй вершину, а інші точки фігури — у свої відповідні точки.
Для наочності можна вибрати кілька точок усередині многокутника, скопіювати їх разом із фігурою та переміщувати копію. Потім з’єднати відповідні точки відрізками, щоб учні побачили, як кожна точка вихідної фігури відповідає точці образу. Такий підхід наочно демонструє взаємозв’язок між точками вихідної фігури та її образу.
Для кращого розуміння матеріалу учні можуть навести приклади переміщень із повсякденного життя:
• пересування меблів у кімнаті (паралельне перенесення);
• відбиття об’єкта у воді чи дзеркалі (симетрія);
• збільшення чи зменшення зображення на екрані (гомотетія).
Такі приклади дозволять учням зрозуміти, що геометричні перетворення часто зустрічаються в реальному житті.
Для формування поняття взаємно однозначної відповідності можна запропонувати завдання: з’єднати вибрані точки многокутника та їхні образи відрізками. Учні повинні побачити, що кожна точка вихідної фігури переходить у відповідну точку образу, і жодна з точок не повторюється.
Щоб зрозуміти обернену відповідність, можна використати інструмент Вектор для зображення стрілок між точками. Якщо змінити напрям стрілок, учні побачать, як можна відновити вихідне положення фігури. Це допоможе засвоїти поняття оберненого перетворення.
На завершення доцільно пояснити, що геометричне перетворення – це правило, яке дозволяє для кожної точки площини визначити її образ. Важливо зазначити, що:
− кожна точка повинна мати лише один образ; − різні точки повинні переходити в різні образи.
Для кращого розуміння вказаних умов можна навести приклади, де ці умови не виконуються. Наприклад, якщо всі точки площини переходять в одну, то це не є геометричним перетворенням.
Крім того, доцільно обговорити приклади перетворень, з якими учні знайомились у неявному вигляді. Це перетворення симетрії, яке учні використовували, для «перевертання» фігури іншим боком. Пересування усіх точок на заданий вектор та «розтягування» фігури інструментом Гомотетія відносно точки. Усі наведені приклади допоможуть учням зрозуміти означення перетворення площини та засвоїти відповідну термінологію.
Учні мають зрозуміти, що ці інструменти задають конкретні правила, за якими будь-яка точка площини має відповідний образ. Це допоможе їм сформувати чітке уявлення про геометричні перетворення та їх властивості.
10.2 Поняття руху
Для введення поняття руху можна скористатися готовою моделлю в GeoGebra, яка демонструє композицію паралельного перенесення, повороту і симетрії. Ця модель допомагає учням вивчити закономірності руху фігури по площині. Учитель може також запропонувати виготовити аналогічну механічну модель. Для цього аркуш паперу складають удвічі, вирізають дві однакові фігури, одну з яких закріплюють на столі, а іншу пересувають по його поверхні.
Перевага комп’ютерної моделі полягає в тому, що вона дозволяє учням легше виявити «правило» перенесення. Це правило визначається значеннями повзунків: напрямок перенесення, відстань перенесення, повороту і осьову симетрію. Крім того, модель наочно показує збереження відстаней між відповідними точками під час руху.
Після введення означення руху, як особливого виду перетворення, важливо обговорити наслідки:
− перетворення, обернене до руху, є рухом; − композиція двох рухів також є рухом.
У підручнику подано загальний спосіб задання руху за допомогою трикутника. Основна ідея в тому, що переміщуючи трикутник будь-яким способом, ми задаємо рух. Для будь-якої точки площини можна однозначно побудувати її образ, оскільки відстані до всіх вершин трикутника зберігаються.
Далі важливо зосередитись на теоремах і наслідках, з яких випливає, що при русі фігура переходить у рівну їй фігуру. Зокрема:
− три точки, які лежать на одній прямій, переходять у точки однієї прямої із збереженням порядку їх розташування; − кут переходить у рівний йому кут.
На завершення потрібно сформулювати означення рівних фігур і властивості цього відношення, які випливають з властивостей руху. Також варто звернути увагу учнів, що суміщення фігур, яке використовувалося раніше при їх порівнянні, є окремим випадком руху.
10.3 Осьова симетрія
Із осьовою симетрією учні знайомі із 7 класу. У цей період вона розглядалася як властивість фігур, «половинки» яких можна сумістити при їх перегинанні по деякій прямій. Зараз осьова симетрія розглядається як геометричне перетворення площини. Аналізуючи процес «перегинання» площини, звертаємо увагу учнів на те, що точки осі залишаються нерухомими, а кожна точка переходить у симетричну їй точку, яка знаходиться у протилежній півплощині. Більше того, якщо точка 𝐴 переходить у точку 𝐴′, то точка 𝐴′ переходить у точку 𝐴.
При симетрії кожна фігура переходить у рівну їй фігуру, тобто осьова симетрія є рух. Цих фактів достатньо, щоб сформулювати означення осьової симетрії як руху, що задається прямою.
Зауважимо, що усі інші означення перетворень площини розпочинаються з того, що ми вказуємо правило побудови відповідних точок, а потім формулюємо означення перетворення. У випадку осьової симетрії спосіб побудови симетричних точок випливає з її означення. Такий підхід пов'язаний із тим, що у 7 класі учні вперше знайомляться із осьовою симетрією на емпіричному рівні як інструментом, що дозволяє «перевернути» фігуру іншим боком. При цьому симетричні точки – це ті, що співпадають при «перегинанні» площини. Оскільки у такий спосіб можна встановити взаємно однозначну відповідність між усіма точками площини, причому при цій відповідності природно зберігаються відстані, то одержуємо означення цього перетворення.
У середовищі GeoGebra симетричні точки учні будують за допомогою відповідного інструменту, а на папері знаходять спосіб за допомогою логічних міркувань. Побудувавши два кола з центрами на осі симетрії, які проходять через дану точку, одержуємо симетричну точку – другу точку перетину кіл. Оскільки вісь симетрії є серединним перпендикуляром до відрізка, що з’єднує відповідні точки, то встановлюємо ще один спосіб задання осьової симетрії парою відповідних точок.
Далі слід зосередитися на дослідженні симетричних фігур та способах побудови їхніх осей симетрії, використовуючи інструменти GeoGebra. Особливу увагу приділяємо обґрунтуванню теореми про симетрію перпендикулярних і паралельних прямих, а також прямих, що перетинаються. Для учнів цікавою є властивість зміни орієнтації фігур при симетрії, на яку варто звернути особливу увагу.
На завершення встановлюємо формули, які пов'язують симетрію відносно координатних осей. Для цього використовуємо як аналітичні методи, так і графічні побудови у GeoGebra. Такий підхід сприяє глибшому розумінню учнями властивостей осьової симетрії та її застосувань у геометрії.
10.4 Центральна симетрія
Використовуючи інструменти GeoGebra, ознайомлення з центральною симетрією, як і з усіма наступними перетвореннями, можна організувати так, щоб учні самостійно сформулювали відповідні означення і відкрили особливості перетворення.
Відкривши меню геометричних перетворень, звертаємо увагу на наявність ще одного виду симетрії. Вибравши відповідний інструмент і скориставшись інтерактивною довідкою, встановлюємо, що центральна симетрія задається єдиною точкою. Оскільки ми досліджуємо осьову симетрію площини, для цього достатньо вибрати одну точку. Змінюючи її положення, ми можемо побачити образ будь-якої точки.
Побудувавши центр симетрії і центральносиметричну точку для будьякої точки, ми бачимо, що центр симетрії — це середина відрізка, що з'єднує пару відповідних точок. Це дозволяє учням сформулювати визначення центральносиметричних точок і перетворення центральної симетрії площини. Зокрема, помістивши точку в центр симетрії, учні побачать, що при цьому перетворенні центр симетрії є єдиною нерухомою точкою.
Після цього доцільно розробити алгоритм побудови симетричної точки на папері. Варто також обговорити завдання побудови центра симетрії, якщо відома пара симетричних точок. Виконавши відповідну побудову, ми робимо висновок, що центральну симетрію, як і осьову, можна задати парою відповідних точок.
Якщо учні відразу не здогадаються, що центральна симетрія є рухом, можна запропонувати побудувати деякий многокутник і симетризувати його відносно вершини або будь-якої точки, що знаходиться за його межами. Це дозволить учням самостійно прийти до висновку, що центральна симетрія є рухом. Також можна обмежитись побудовою симетрії лише для двох точок і порівняти довжини відповідних відрізків.
Доведення теореми учні можуть знайти самостійно.
На завершення учні будують моделі, що демонструють властивості прямої та площини. На основі експериментів з ними учні роблять висновки, що будь-яка точка прямої є її центром симетрії. Так само, будь-яка точка площини є її центром симетрії. Крім того, встановлюємо, які правильні многокутники є центральносиметричними, і доводимо, що паралелограм також має центр симетрії.
Як і в разі з осьовою симетрією, розглядаємо координатну форму центральної симетрії відносно початку координат. Оскільки учні вже знайомі з формулами для визначення координат середини відрізка, то вони зможуть записати координатну форму центральної симетрії відносно будь-якого центру.
10.5 Паралельне перенесення
Вивчаючи тему векторів, учні розглядали зміщення точок площини, де вектор розглядався як модель переміщення точки від початку до кінця. Тепер ми будемо розглядати вектор як інструмент, що задає спосіб переміщення всіх точок площини. Для реалізації цього переміщення будемо використовувати інструмент Паралельне перенесення на вектор. Назва інструмента та його інтерактивна довідка вказують на те, що дане перетворення задається саме вектором.
Після побудови образів кількох точок, учні можуть сформулювати означення цього перетворення. Далі варто розглянути алгоритм відповідних побудов на папері; сформулювати та довести теорему про те, що паралельне перенесення є рухом.
На завершення уроку, використовуючи формули, які дозволяють обчислити координати вектора за його кінцями, учні можуть вивести формули для визначення координат образу точки за відомими її координатами та координатами вектора. Це дасть можливість учням не тільки зрозуміти геометричну суть паралельного перенесення, але й навчитися використовувати ці формули на практиці для обчислень.
Для кращого засвоєння матеріалу рекомендовано виконати декілька практичних завдань, де учні можуть самостійно застосовувати інструмент Паралельне перенесення на вектор в середовищі GeoGebra, спостерігаючи за результатами перенесення точок та координатами їх образів. Це дозволить учням сформувати чітке уявлення про властивості векторів та перетворень, а також закріпити навички роботи з координатами в площині.
10.6 Поворот навколо точки
З метою мотивації бажано звернути увагу, що під час вивчення паралельного перенесення ми моделювати переміщення об’єктів у просторі в одному напрямку і на одну і ту ж відстань. Проте в реальному житті об’єкти не завжди просто пересуваються — часто вони ще й обертаються навколо певної точки. Наприклад, двері обертаються навколо своєї осі, стрілки годинника рухаються по колу, а Земля обертається навколо своєї осі.
У геометрії подібні зміни положення об’єктів описуються за допомогою повороту. Це перетворення задається трьома параметрами: центром обертання, кутом повороту та напрямом обертання (за годинниковою стрілкою або проти).
Традиційно, для дослідження повороту використовуємо інструмент GeoGebra Поворот навколо точки. Розпочати доцільно із побудови повзунка для кута . За стандартними налаштуваннями, пропонує вибрати діапазон від 1 до 360. Але ми виберемо діапазон від -180 до 180 для того, щоб можна було ілюструвати повороти у обох напрямках.
Після виконання повороту у середовищі GeoGebra, важливо приділити належну увагу виконанню повороту у зошитах. Відповідний алгоритм поданий у підручнику. Він зводиться до відкладання кута рівного даному.
Бажано практично виконати принаймні дві побудови:
- коли задана величина кута;
- коли потрібний кут уже зображений.
У одному випадку слід запропонувати виконати поворот у додатному напрямку, у іншому – у від’ємному напрямку.
Побудувавши центр повороту та дві точки та їх образи, звертаємо увагу учнів, що відстані між точками та їх образами зберігаються. Відповідну теорему учні формулюють і доводять самостійно.
10.7 Гомотетія. Подібні фігури
Із інструментом Гомотетія відносно точки учні знайомилися під час вивчення подібності фігур. Тоді цей інструмент використовували для «розтягування» або «стискання» фігур. Завданням цієї теми є ввести поняття гомотетії як перетворення площини.
Звертаємо увагу, що процес стискання або розтягування пов’язаний зі зміною масштабу, при якому образи будь-яких двох точок зближуються або віддаляються. Для цього доцільно розглянути конкретні приклади, де відбувається таке стискання або розтягування. Наприклад, можна продемонструвати зміну масштабу полотна GeoGebra, використання лупи для розгляду малюнка, виготовлення технічних креслень чи моделей, використання планів місцевості або географічних карт, а також зміни, що спостерігаються у природі при рості рослин тощо.
Далі вчитель може повідомити, що зміни у розмірі геометричних фігур, при яких їхня форма залишається незмінною, описуються за допомогою перетворення, яке називається гомотетією. Гомотетія – це перетворення, яке збільшує або зменшує фігуру відносно певної точки (центру гомотетії), зберігаючи пропорції між усіма її частинами. Завдяки цьому перетворенню ми можемо не лише досліджувати властивості фігур, а й розуміти принципи масштабування у різних сферах життя.
Зміну масштабу доцільно проілюструвати, застосовуючи перетворення до геометричних фігур. Для цього будуємо многокутник довільної форми і створюємо повзунок для коефіцієнта 𝑘. Вибираємо точку поза многокутником і застосовуємо до нього перетворення гомотетії. Обираємо відповідний інструмент, клацаємо по фігурі, потім по точці , яка буде центром гомотетії, і у поле введення «Коефіцієнт» вводимо k.
Поки 𝑘 = 1, то фігура відображається сама на себе. Збільшуючи значення 𝑘, демонструємо, як многокутник відображається на многокутник такої самої форми, але більших розмірів. Наприклад, якщо 𝑘 = 2, то отримаємо многокутник, у якого кожна сторона вдвічі більша за відповідну сторону початкової фігури.
Щоб сформулювати означення гомотетії, будуємо вектори з початком у центрі гомотетії та кінцями у відповідних точках. Змінюючи значення коефіцієнта, включаючи від’ємні значення, встановлюємо зв’язок між цими векторами. На основі спостережень формулюємо означення гомотетії.
Далі звертаємо увагу, що при гомотетії отримуємо фігуру такої самої форми. Після цього вводимо поняття перетворення подібності. Демонструємо, використовуючи інструменти GeoGebra, що в результаті композиції гомотетії та руху отримуємо перетворення подібності.
10.8 Властивості гомотетії
Завданням теми є обґрунтувати, що гомотетія є перетворення подібності. Також встановлюємо, що при гомотетії пряма, переходить у пряму, а паралельні прямі у паралельні прямі. Як наслідок, при гомотетії зберігаються кути.
Крім того, необхідно показати, що гомотетія задається центром і парою відповідних точок та розробити алгоритм побудови гомотетичних точок на папері.
Для дослідження використовуємо модель, розроблену на попередньому уроці або завантажуємо готову модель. Використовуючи інструмент Відстань або довжина і вимірюємо відстані між будь якими точками та їхніми образами і перевіряємо, що їх відношення дорівнює коефіцієнту гомотетії.
Після цього пропонуємо строге доведення відповідної теореми. Для доведення знаходимо різницю векторів, з початком у центрі гомотетії і кінцями у двох точках та векторів, задають образи цих точок. Використовуючи означення гомотетії та властивості дій над векторами, показуємо, що відрізки, які з’єднують дві точки та їх образи є паралельні, а їх відношення дорівнює коефіцієнту гомотетії.
Далі, пригадуємо, що гомотетія задається центром і коефіцієнтом. Якщо маємо центр і пару відповідних точок, то можна обчислити коефіцієнт. Таким чином, гомотетію можна задати трьома точками, що лежать на одній прямій.
На завершення, слід розробити алгоритм побудови гомотетичних точок на папері. Для цього використовуємо означення гомотетії та властивість того, що при гомотетії пряма переходить у паралельну їй пряму.
10.9 Властивості подібних фігур
Завданням теми є сформулювати основні властивості подібності фігур, з яких випливає, що відношення подібності є рефлексивне, симетричне і транзитивне.
Очевидно, що рівні фігури мають однакову форму, тобто подібні з коефіцієнтом подібності 1.
Доведення тверджень про те, що дві фігури взаємно подібні одна одній і що дві фігури подібні до третьої, подібні між собою випливає із означення перетворення подібності. Вони наведені у підручнику і не повинні викликати труднощів в учнів.
10.10 Площі подібних фігур
Завданням теми є виявити і обґрунтувати теорему про площі подібних фігур.
Для виявлення даної властивості можна використати інструменти GeoGebra. У підручнику пропонується готова модель, де можна змінювати значення коефіцієнта гомотетії. Одночасно обчислюються площі двох многокутників і квадрат коефіцієнта.
Однак, учитель може побудувати одиничний квадрат і застосувати до нього гомотетію з цілочисельним коефіцієнтом. Така модель дозволить учням самостійно відкрити теорему. Модель, пропоновану у підручнику, можна використати для експериментальної перевірки теореми.
Ідея доведення є досить простою. Спочатку потрібно довести її істинність для трикутника, а потім розширити для довільного многокутника.
Для трикутника використовується формула для обчислення площі через дві сторони і кут між ними. Оскільки кути зберігаються, а відношення кожної пари сторін дорівнює коефіцієнту подібності, то відношення площ дорівнює квадрату цього коефіцієнта.
10.11 Розв’язування задач на побудову методом геометричних перетворень
Розв’язування задач на побудову за допомогою геометричних перетворень є одним із ефективних способів розкриття властивостей геометричних фігур та логіки побудови. Цей підхід дозволяє знаходити нестандартні рішення, пов’язуючи елементи задачі з використанням таких методів, як осьова симетрія, центральна симетрія, паралельне перенесення, поворот і гомотетія. Метою цієї теми є на конкретних прикладах показати основні ідеї та принципи застосування геометричних перетворень у процесі розв’язування задач.
У підручнику наведені типові задачі які розкривають основні підходи до розв’язування задач з використання перетворень.
Першою є оптимізаційна задача на знаходження довжини найкоротшої ламаної. Основною ідеєю є завдяки осьовій симетрії «випрямити» ламану. Відразу, найкоротшою відстанню стає відрізок.
У другій задачі вимагається побудувати відрізок, так, щоб його кінці належали куту, а середина – заданій точці. Основною ідеєю її розв’язання є добудова до паралелограма засобами центральної симетрії
Третьою є класична задача на визначення місця для побудови моста через річку. Оскільки міст має бути перпендикулярний до берегів, то весь шлях є ламаною. Основна ідея – виконати паралельне перенесення одного берега до іншого. В результаті шлях стає прямолінійним.
Четверта задача на побудову правильного трикутника вписаного у квадрат. Для визначення положення вершини трикутника, потрібно повернути квадрат на 60°. У такому випадку, точка перетину сторони квадрата і його образу, буде шуканою.
У п’ятій задачі вимагається вписати квадрат у трикутник. Основна ідея – вписати менший квадрат так, щоб усі вершини, крім однієї, задовольняли умову. Після цього «розтягуємо» квадрат спеціально підібравши центр і коефіцієнт гомотетії.
Метод геометричних перетворень дозволяє ефективно розв’язувати задачі на побудову, роблячи процес аналізу й виконання побудов інтуїтивно зрозумілим. Осьова симетрія, центральна симетрія, паралельне перенесення, поворот і гомотетія — це універсальні інструменти, які відкривають нові можливості у вивченні геометрії.
Використання цих методів сприяє розвитку просторового мислення, уміння аналізувати задачі та вибирати найоптимальніші способи їх розв’язання. Вчитель може використовувати наведені задачі як базу для формування компетентностей учнів у роботі з геометричними побудовами та підготовки до складніших тем у курсі геометрії.
-
-
Дуже корисний і дієвий посібник. Дякую. Завдяки Вашим натхненим прикладам і матеріалам GeoGebra стала невід`ємною частинкою моїх уроків! -
Дякую. Це хороша робота
про публікацію авторської розробки
Додати розробку