Множини навколо нас. Розв'язування практичних задач.

МНОЖИНИ навколо нас. Розв’язування практичних задач.

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Задача. Що перевіряємо. Мій смартфон. Належність елемента, підмножина, операції над множинами. Маршрут містом. Переклад практичної умови мовою множин. Розумний пошук. Переклад фільтрів пошуку в математичні вирази. Екскурсія: кого посадити в автобус. Розуміння перетину та об'єднання; підрахунок елементів. Тестування нового застосунку. Кількість елементів об'єднання, уникнення подвійного підрахунку. Підписки геймера. Робота з трьома множинами, діаграма Венна. Що дивиться 10 клас?Аналіз реальних даних за допомогою множин. Планування покупок. Послідовне застосування кількох операцій. Організація шкільного фестивалю. Комплексна робота з трьома множинами. Зломай код. Робота зі складними виразами над множинами. Кого запросити на стажування. Комплексна задача з трьома множинами. Фінальний виклик — спробуй сам. Самостійне створення математичної моделі

Задача №1. “Мій смартфон”У смартфоні є такі функції: U = {камера, GPS, Bluetooth, Wi-Fi, NFC, ліхтарик, будильник, диктофон, калькулятор}. Відомо: A = {Bluetooth, Wi-Fi} — функції, які використовують для спілкування ,B = {камера, GPS, Wi-Fi, диктофон, калькулятор} — функції, які використовують для роботи з інформацією. Завдання:1) Знайдіть A ∩ B. 2) Знайдіть A ∖ B. 3) Знайдіть B ∖ A. 4) Чи є A підмножиною U? 5) Чи є B підмножиною U?6) Чи є A ⊂ B?

Розв’язання: 1) Спільний елемент A і B — Wi-Fi: A ∩ B = {Wi-Fi}​. 2) У A, але не в B, є Bluetooth: A ∖ B = {Bluetooth}. 3) У B, але не в A: B ∖ A = {камера, GPS, диктофон, калькулятор}.4) Усі елементи A є елементами U, тому: A ⊂ U.5) Аналогічно: B ⊂ U.6) Чи всі елементи A належать B? Ні, адже Bluetooth не належить B. Отже: A ⊄ B​. NFCWi-Fi. Будильник. Bluetooth. Камера. GPSДиктофон. Калькулятор. Ліхтарик

Задача №2. “Маршрут містом”Турист планує маршрут містом. A = {Площа, Театральна, Університет, Центр, Вокзальна} — станції, біля яких є торговий центр; B = {Університет, Центр,  Парк, Вокзальна} — станції, біля яких є спортивний комплекс. Турист хоче знайти станції, де є торговий центр, але немає спортивного комплексу. Завдання:1) Знайдіть станції, де є обидва об'єкти.2) Знайдіть станції, де є хоча б один із двох об'єктів. 3) Яку операцію треба виконати, щоб допомогти туристу знайти необхідні станції? 4) Знайдіть множину станцій, які цікавлять туриста.

Розв'язання:1) Обидва об’єкти є на станціях: A ∩ B = {Університет, Центр, Вокзальна}​.2) Хоча б один об'єкт: A ∪ B, A ∪ B = {Площа, Театральна, Університет, Центр, Парк, Вокзальна}.3) «Є торговий центр, але немає спортивного комплексу» можна записати за допомогою операції різниці двох множин: A ∖ B. 4) A ∖ B = {Площа, Театральна}. 4)Підказка:«і» → ∩ «або» → ∪«але не» → ∖Університет. Центр. Вокзальна. Площа. Театральна. Парк

Задача № 3. “Розумний пошук”Уявімо, що ти налаштовуєш пошук товарів в інтернет-магазині. Нехай: A — смартфони; B — товари до 15 000 грн; C — товари з рейтингом не нижче 4,5; D — товари з доставкою завтра. Завдання: Запишіть математично:1) смартфони до 15 000 грн;2) смартфони з рейтингом не нижче 4,5;3) смартфони до 15 000 грн з рейтингом не нижче 4,5;4) смартфони до 15 000 грн з рейтингом не нижче 4,5 і доставкою завтра;5) смартфони до 15 000 грн, але без доставки завтра.

Розв'язання:1) множина смартфонів вартістю до 15 000 грн A ∩ B;2) множина самртфонів з рейтингом не нижче 4.5 A ∩ C;3) множина смартфонів до 15 000 грн з рейтингом не нижче 4,5 A ∩ B ∩ C;4) множина смартфонів до 15 000 грн з рейтингом не нижче 4,5 і доставкою завтра A ∩ B ∩ C ∩ D;5) смартфони до 15 000 грн, але без доставки завтра. (A ∩ B) ∖ D. Підказка. Кожен додатковий фільтр означає:«і ще ця умова»,отже, додаємо перетин.

Задача №4. “Екскурсія: кого посадити в автобус?”На екскурсію їдуть 30 учнів. Для поїздки необхідні учнівський квиток та згода батьків. Відомо: 18 учнів мають учнівський квиток; 21 – згоду батьків; 16 учнів мають і квиток, і згоду. Завдання:1) Скільки учнів уже повністю готові до поїздки? 2) Скільки мають тільки квиток? 3) Скільки мають тільки згоду? 4) Скільки учнів ще не відповідають хоча б одній із вимог? 5) Яку операцію потрібно використати, щоб визначити тих, хто готовий їхати?

Розв'язання:1) Готові до поїздки, тобто мають і квиток, і згоду: A ∩ B. За умовою: | A ∩ B | = 16 (уч).2) Мають тільки квиток: A \ B, | A \ B | = 18 − 16 = 2 (уч). 3) Мають тільки згоду: B \ A | B \ A | = 21 − 16 = 5 (уч). 4) Кількість учнів, які не відповідають хоча б одній із вимог: | U ∖ (A ∪ B )|= 30 – 16 – 2 – 5 = 7 (уч).5) Множина учнів, які готові їхати визначається за допомогою операції ∩.16752

Задача №5. “Тестування нового застосунку”Перед запуском нового застосунку його протестували на 50 смартфонах. За результатами тестування, виявили, що:32 смартфони підтримують функцію A; 28 підтримують функцію B; 20 підтримують обидві функції. Завдання: Визначте:1) скільки смартфонів підтримують хоча б одну функцію; 2) скільки підтримують тільки функцію A; 3) скільки підтримують тільки фунуцію B; 4) скільки не підтримують жодної.

Розв'язання:1) Хоча б одну функцію підтримують смартфони, які належать A ∪ B : | A ∪ B | = |A | + | B | − | A ∩ B | = 32 + 28 – 20 = 40 (смарт);2) тільки функцію A підтримують смартфони із множини A ∖ B: | A ∖ B | = |A | − | A ∩ B | = 32 – 20 = 12 (смарт);3) тільки фунуцію B підтримують: | B ∖ A | = | B | − | A ∩ B | = 28 – 20 = 8 (смарт);4) не підтримують жодної функції: | U ∖ (B ∪ A )| = 50 – 40 = 10 (смарт).2012810

Задача №6. “Підписки геймера”15 учнів класу опитали, якими ігровими платформами вони користуються: 9 користуються Steam; 8 — Play. Station; 6 — Xbox; 4 користуються Steam і Play. Station; 3 — Steam і Xbox; 2 — Play. Station і Xbox; 1 учень користується всіма трьома платформами. Завдання:1) Побудуйте діаграму Венна.2) Скільки учнів користуються лише Steam?3) Скільки — лише Play. Station? 4) Скільки — лише Xbox? 5) Скільки користуються рівно двома платформами? 6) Скільки користуються хоча б однією? 7) Скільки не користуються жодною?

Розв’язання: Спочатку поміщаємо в центр учня, який користується всіма трьома платформами: 1 учень. Далі знаходимо частини, які належать рівно двома множинам: Steam і Play. Station: 4 − 1 = 3 (уч.); Steam і Xbox: 3 − 1 = 2 (уч.); Play. Station і Xbox: 2 − 1 = 1 (уч.). Тепер лише Steam: 9 − 3 − 2 − 1 = 3 (уч.); Лише Play. Station: 8 − 3 − 1 − 1 = 3 (уч.); Лише Xbox: 6 – 2 – 1 – 1 = 2 (уч.). Отже, рівно двома платформами користуються: 3 + 2 + 1 = 6 (уч.);хоча б однію: 3 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 1 = 15 (уч.);жодною: 15 – 15 = 0 (уч.).1333221

Задача №7. “Що дивиться 10 клас” На основі соціологічного опитування, 15 учнів відповіли, які платформи вони використовують щодня. Завдання 1) Скільки учнів користуються You. Tube? 2) Скільки Tik. Tok? 3) Скільки Netflix? 4) Скільки користуються всіма трьома? 5) Скільки користуються You. Tube і Tik. Tok, але не Netflix? 6) Скільки користуються хоча б однією платформою? 7) Яку платформу доцільніше обрати для реклами шкільного заходу?

Розв'язання1) You. Tube використовують учні: Y = {1; 2; 3; 5; 6; 8; 9; 11; 12; 14}, | Y | = 10 (уч).2) Tik. Tok: T = {1; 3; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; 14}, | T | = 10 (уч).3) Netflix: N = {2; 3; 4; 8; 9; 10; 12; 15}, | N | = 8 (уч).4) Усі три платформи використовують учні : Y ∩ T ∩ N = {3; 8; 14}, | Y ∩ T ∩ N | = 3 (уч).5) You. Tube і Tik. Tok, але не Netflix:(Y ∩ T) ∖ N = {1,5,11}, | (Y ∩ T) ∖ N | = 3 (уч).6) Хоча б однією платформою користуються: Y ∪ T ∪ N = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15}, | Y ∪ T ∪ N | = 15 (уч).7) Для реклами доцільніше обрати You. Tube, або Tik. Tok.2233113 Математика допомагає приймати рішення на основі даних

Задача №8. “Планування покупок”Тобі потрібно спланувати список продуктів для сніданку (A). Деякі з них є вдома (B), деякі потрібно купити в магазині (C). В магазині деякі продукти продаються зі знижкою. A = {молоко, яйця, сир, хліб, масло} — продукти, які потрібні для сніданку. B = {молоко, сир} — продукти, які вже є вдома. C = {яйця, хліб, яблука} — продукти зі знижкою. Завдання: Запишіть мовою множин:1) Які продукти потрібно купити? 2) Які з них продаються зі знижкою?

Розв'язання: Товари необхідні для сніданку, які є вдома: B = {молоко, сир}. Потрібно купити те, що необхідне, але немає вдома: A ∖ B = {яйця, хліб, масло}. Тепер серед них шукаємо товари зі знижкою: (A ∖ B) ∩ C = {яйця, хліб}. молоко сиряйця хлібмаслояблука

Задача №9. “Організація шкільного фестивалю”На шкільний фестиваль зареєструвалися 20 учнів, з них: 12 беруть участь у спортивних змаганнях; 9 — у музичному конкурсі; 7 — у оформленні фотозони; 5 — у спортивних змаганнях і музичному конкурсі; 4 — у спортивних змаганнях і фотозоні; 3 — у музичному конкурсі і фотозоні; 2 беруть участь у всіх трьох. Завдання:1) Побудуйте діаграму Венна.2) Скільки учнів беруть участь лише у спортивних змаганнях? 3) Скільки лише в музичному конкурсі? 4) Скільки лише у фотозоні? 5) Скільки беруть участь рівно в одній активності? 6) Скільки беруть участь хоча б в одній? 7) Скільки не зареєструвалися на жодну активність?

Розв'язання: У всіх трьох активностях беруть участь 2 учні – A ∩ B ∩ C. Тільки спортивні + музичний конкурс – 5 учнів ( A ∩ B \ C): | A ∩ B \ C | = 5 − 2 = 3 (уч). Тільки спорт + фотозона – 4 учні, тому | A ∩ C \ B | = 4 − 2 = 2 (уч). Тільки музика + фотозона – 3 учні тому | B ∩ C \ A | = 3 – 2 = 1 (уч). Тільки спорт: | A \ B \ C | = 12 − 3 − 2 − 2 = 5 (уч). Тільки музика: | B \ A \ C | = 9 − 3 − 1 − 2 = 3 (уч). Тільки фотозона: | C \ A \ B | = 7 − 2 − 1 − 2 = 2 (уч). Рівно одна активність: 5 + 3 + 2 = 10 (уч)Хоча б одна: 5 + 3 + 2 + 3 + 2 + 1 + 2 = 18 (уч)Не зареєструвалися: 20−18=2 (уч).5321322 Підказка. При перетині трьох множин, рухайся від центру до країв.

Задача №10. “Зломай код”Для того, щоб увійти в обліковий запис, потрібно ввести код. Відомо, що він складається з чисел, які належать множині А і множині В, або множині С, де. A — множина парних чисел, менших за 20; B — множина чисел, кратних 3, менших за 20; C — множина простих чисел, менших за 20. Завдання: Знайдіть:1) A ∩ B;2) A ∪ C;3) A ∖ B;4) U ∖ C;5) Визначте код входу в обліковий запис, якщо він складається з чисел множини (A ∩ B) ∪ C.

Розв'язання: U = {1; 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20},А = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20},B = {3; 6; 9; 12; 15; 18},C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}.1) A ∩ B = {6; 12; 18} – парні і кратні 3;2) A ∪ C = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 16; 17; 18; 19; 20} – парні, або прості числа;3) A ∖ B = {2; 4; 8; 10; 14; 16; 20}​ – парні, але не кратні 3;4) U ∖ C = {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20} – усі числа від 1 до 20, окрім простих:5) Визначимо код для входу в обліковий запис: (A ∩ B) ∪ C = {2; 3; 5; 6; 7; 11; 12; 13; 17; 18; 19}​.4; 8; 10;14; 16; 2029; 155; 7; 11;13; 17; 1936; 12; 18∅

Задача №11. “Кого запросити на стажування”IT - компанія має 30 кандидатів на вакантні посади, які повинні задавільняти наступним вимогам:добре знають математику; мають високий рівень з програмування; володіють англійською мовою. Відомо:18 кандидатів знають математику; 16 – програмують; 12 – знають англійську; 8 кандидатів знають математику і програмування; 7 — математику й англійську; 6 — програмування й англійську;4 мають усі три навички. Завдання:1) Побудуйте діаграму Венна. 2) Скільки кандидатів мають усі три навички? 3) Скільки кандидатів мають хоча б одну з трьох навичок? 4) Скільки не мають жодної? 5) Скільки володіють математикою і програмуванням, але не англійською?

Розв'язання:2) За умовою, усіма трьома навичками володіють 4 кандидати: | A ∩ B ∩ C |.3) 8 кандидатів знають математику і програмування: |(A ∩ B ) ∖ C | = 8 – 4 = 4 (к);7 кандидатів – математику й англійську мову: |(A ∩ С ) ∖ В | = 7 – 4 = 3 (к);6 — програмування й англійську: |(В ∩ С ) ∖ А | = 6 – 4 = 2 (к);18 кандидатів знають математику, тому:|А ∖ В ∖ С | = 18 – 4 – 4 – 3 = 7 (к);16 – програмують , тому: | В ∖ А ∖ С | = 16 – 4 – 4 – 2 = 6 (к);12 – знають англійську, тому: | С ∖ А ∖ В | = 12 – 4 – 3 – 2 = 3 (к);Мають хоча б одну навичку:| A ∪ B ∪ C | = |A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | = = 18 + 16 + 12 − 8 − 7 −6 + 4 = 29 (к).4) Не мають жодної навички: 30 – 29 = 1 (к).47343126

Задача № 12. “Фінальний виклик – спробуй сам!”Мобільний застосунок пропонує кожному користувачеві персональну добірку товарів. Щоб показати рекламну пропозицію нового спортиного гаджета, потрібно відібрати користувачів за кількома ознаками. цікавляться спортом; користуються смартфоном; дивляться відео не менше 3 години на тиждень; мають платну підписку. Завдання1) Побудуйте діаграму Венна;2) Визначте універсальну множину U. 3) Запишіть математичний вираз для множини користувачів, яким надходитимуть рекомендації.

Розв'язання: Нехай: A — множина користувачів, які цікавляться спортом; B — множина користувачів, які мають смартфон; C — множина користувачів, які дивляться відео не менше 3 години на тиждень; D — множина користувачів з платною підпискою. Множина користувачів, які отримають рекламу: A ∩ B ∩ C ∩ D

Множини — це не тема, яку треба просто вивчити, це інструмент, за допомогою якого можна впорядкувати інформацію, знайти потрібну групу й прийняти рішення. Я вмію:1. Побачити множини в умові: Хто? Що? Які об'єкти об'єднує певна ознака?2. Перекласти слова математично: і ∩ або ∪ але не Ā усі, крім Ū усі елементи входять ⊂3. Побудувати діаграму Венна центр → перетини → окремі частини → поза множинами.4. Працювати з кількістю елементів: ∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ∩ B ∣5. Використати множини для реального рішення: дані → множини → операції → висновок. Міні-фінал уроку

Підготовка до НМТ/ЗНО. Розв’язування типових задач. Наступний урок: