Мода і медіана.Середні значення :середнє арифметичне, середнє квадратичне.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДПТНЗ «АНАНЬЇВСЬКИЙ ПРОФЕСІЙНИЙ АГРАРНИЙ ЛІЦЕЙ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВІДКРИТИЙ УРОК

З АЛГЕБРИ

 

ТЕМА УРОКУ:                                                                                          

Мода і медіана. Середні значення :середнє арифметичне, середнє квадратичне. Завдання математичної статистики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВИКЛАДАЧ          МАТЕМАТИКИ         С. Д. ШИБИНСЬКИЙ

 

УРОК   45                                                                                       16.02.2009

 

ТЕМА УРОКУ:

 Мода і медіана. Середні значення : середнє арифметичне, середнє квадратичне. Завдання математичної статистики.

 

МЕТА УРОКУ:

Навчальна – ознайомити учнів з модою, медіаною і середніми значеннями, якими оперує статистика: середнє арифметичне, середнє квадратичне, а також із завданнями математичної статистики.

 

Розвиваюча – на основі знань, вмінь та навичок учнів формувати в них самостійність при розв’язуванні вправ, а також розвивати пізнавальні інтереси учнів.

 

Виховна – виховувати в учнів увагу при розв’язуванні вправ, акуратність, наполегливість в досягненні мети, любов до математики.

 

Тип уроку: засвоєння нових знань.

 

 

ХІД УРОКУ:

І. Організаційна частина.

 

1.1. Перевірка наявності учнів на уроці;

1.2. Перевірка готовності учнів до уроку;

 

ІІ. Перевірка домашнього завдання:

 

Фронтальна бесіда за запитаннями:

 

1. Що вивчає математична статистика?

2. Як виникла статистика?

3. Які дисципліни її широко застосовують?

4. Що таке статистичне спостереження?

5. Перелічіть види статистичного спостереження.

6. Поясніть, що таке вибіркове спостереження.

7. Що називають вибіркою?

8. Що називають генеральною сукупністю?

9. Як відбувається відбір об’єктів у вибірку?

10. Що таке варіанти?

11. Що називають варіаційним рядом?

12. Що називають статистичним розподілом?

13. Як побудувати полігон? Гістограму?

 

ІІІ. Самостійна робота.

 

1. Для вибірки, заданої статистичним розподілом побудувати полігон:

 

хі	2	4	5	6
nі	8	9	10	3

 

2. Для вибірки, заданої статистичним розподілом побудувати гістограму:

 

хі	0	2	3	4
nі	20	15	10	5

 

IV. Повідомлення теми та мети уроку.

 

V. Вивчення нового матеріалу.

 

Вибірка характеризується центральними тенденціями: модою, медіаною і середнім значенням.

Мода вибірки – те її значення, яке трапляється найчастіше. Позначається Мо.

Медіана вибірки – це число, яке поділяє навпіл упорядковану сукупність усіх значень вибірки, тобто середня величина змінюваної ознаки, яка міститься в середині ряду, розміщеного в порядку зростання або спадання ознаки. Позначається Ме.

Середнім значенням (арифметичним) називають таке число х¯, яке дістають діленням суми всіх даних вибірки на число цих даних.

 

Приклад 1. Нехай дано вибірку 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Знайти центральні тенденції вибірки.

Розв’язання.

Мода даної вибірки Мо = 6, бо число 6 зустрічається найчастіше.

Медіана даної вибірки Ме = 6, бо вибірка має парне число значень і її медіана дорівнює півсумі двох її середніх значень:

Ме = (6 + 6) ÷ 2 = 6.

Середнє значення вибірки:

х¯ = (2+3+4+4+6+6+6+7+7+8) ÷ 10 = 53 ÷ 10 = 5,3.

 

Розглянемо вибірку 0, 0, 1, 1, 3, 3, 3, 5; n = 8, х¯ = 2.

Знайдемо відхилення х – х¯ кожного значення х_і від середнього значення х¯.

Результати занесемо в таблицю:

 

Значення х	Середнє значення х¯	Відхилення х – х¯
0	2	-2
0	2	-2
1	2	-1
1	2	-1
3	2	1
3	2	1
3	2	1
5	2	3
∑ хі = 16	∑ хі = 16	∑(х – х¯) = 0

 

Сума всіх відхилень дорівнює 0.

Для будь – якої вибірки сума всіх відхилень дорівнює 0, тому в статистиці користуються іншим показником – середнім квадратичним відхиленням, який знаходять так: усі відхилення підносять до квадрата; знаходять середнє арифметичне цих квадратів, із знайденого середнього арифметичного добувають квадратний корінь.

Середнє квадратичне відхилення позначають грецькою буквою σ («сигма» мала):

σ = √ ∑(х – х¯)2 ÷n

σ² в статистиці називають дисперсією.

 

Приклад 2. Знайдемо середнє квадратичне відхилення значень вибірки: 5, 8, 10, 12, 17, 20.

Розв’язання.

Знаходження середнього квадратичного подано в таблиці нижче:

 

Значення х	Середнє арифметичне х¯	Відхилення х – х¯	Квадрат відхилення (х – х¯)2	Квадратичне відхилення σ
5		-7	49
8		-4	16
10		-2	4
12		0	0
17		5	25
20		8	64
∑ хі = 72	х¯=72 ÷6 = 12	∑(х – х¯) = 0	∑(х – х¯)2= =158	σ = √158 ÷6 ≈ ≈5,13

 

Завдання математичної статистики полягає в тому, щоб на основі деяких властивостей сукупності елементів, узятих з генеральної сукупності, зробити певні висновки про властивості всієї генеральної сукупності.

 

VI. Виконання вправ. (Закріплення нових знань і вмінь учнів):

 

1. Знайти центральні тенденції вибірки: 12, 17, 11, 13, 14, 15, 15, 16, 13, 13.

Розв’язання.

Упорядкуємо дану вибірку: 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 15, 16, 17.

Мода даної вибірки: Мо = 13.

Медіана даної вибірки: Ме = (13 +14) ÷ 2 = 27 ÷ 2 = 13,5.

Середнє значення:

х¯ = (11 + 12 + 13 + 13 + 13 + 14 + 15 + 15 + 16 + 17) ÷ 10 = 139/10 = 13,9.

 

2. Для статистичного ряду

 

хі	- 1	0	3	5	8
nі	2	1	4	2	1

 знайти х¯ та σ.

Розв’язання.

 

Обсяг вибірки n = 10.

Середнє значення вибірки:

х¯ = (2×(-1) + 4×3 + 2×5 + 1×8) ÷ 10 = 2,8.

Середнє квадратичне відхилення значень:

σ = √((-1-2,8)² + (0-2,8)² + (3-2,8)² + (5-2,8)² + (8-2,8)²) ÷ 10 =

√(14,44 + 7,84 + 0,04 + 4,84 + 27,04) ÷ 10 = √54,2 ÷10 = √5,42.

 

3. Знайти центральні тенденції вибірки: 5, 8, 6, 6, 2, 7, 7, 7, 4, 4, 1. (108, 99, 112, 111, 108).

 

4. Для статистичного ряду

 

хі	2	4	5	6
nі	8	9	10	3

знайти х¯ та σ.

 

VIІ. Підсумок уроку.

 

1.           Відповісти на питання учнів;
2.           Підкреслити, що є завданням математичної статистики.
3.           Виставити учням оцінки.

 

VIIІ. Домашнє завдання: Конспект.

 

Розв’язати вправи:

1. Знайти центральні тенденції вибірки: 64, 66, 65, 61, 57, 61, 67.

2.Для вибірки, заданої статистичним рядом

хі	125	127	130	140
nі	2	4	3	1

знайти х¯ та σ.

 

Викладач         математики:________        С. Д. Шибинський