НЕРІВНОСТІ на ЗНО з математики

Про матеріал
Розглянуто нерівності, які пропонувались на зовнішньому незалежному оцінюванні з математики: раціональні, ірраціональні, показникові, логарифмічні. Надано розв'язки до більшосьі з них.
Зміст слайдів
Номер слайду 1

НЕРІВНОСТІПри діленні (множенні) нерівності на від’ємне число – ВСІ знаки змінюються на протилежніЯкщо нерівність сторога (< або >), то для запису відповіді використовуємо «круглі» дужки «)» або «(«. Якщо нерівність нестрога (≤ або ≥), то для запису відповіді використовуємо «квадратні» дужки «[« або «]»  

Номер слайду 2

2010 Розв’яжіть нерівність: 10−3𝑥>4 −3𝑥>−6 Ділемо на −3. Знаки змінюються на протилежні𝑥<2(−∞;2) 

Номер слайду 3

2015. Розв’яжіть неівність: 0,2𝑥−54<0 Розв’яжіть неівність: 0,2𝑥−54<00,2𝑥<54 :0,2 𝑥<270(−∞;270)  Розв’яжіть нерівність: (𝑥−6)(𝑥+2)2𝑥−3≤0 {−2}∪(3;6] 

Номер слайду 4

2016. Укажіть число, що є розв’язком нерівності 5𝑥−3≥1−2 0 2 9 4 5𝑥−3≥1⇔5𝑥−3−1≥0⇔5−(𝑥−3)𝑥−3≥0⇔ ⇔8−𝑥𝑥−3≥0 ∙−1 𝑥−8𝑥−3≤0 𝑥∈(3;8] З наведених чисел знайденій множині належить лише число 4 

Номер слайду 5

2006 Розв’яжіть нерівність: 𝑎2>𝑎!!! НЕ МОЖНА ділити на 𝑎𝑎2−𝑎>0⇒𝑎𝑎−1>0 Відповідь: 𝑎∈(−∞;0)∪(1;∞)  

Номер слайду 6

2007 Розв’яжіть нерівність:𝑥>−2;𝑥≠3⇒𝑥∈(−2;3)∪(3;∞) Знайдіть область визначення функції: 𝑦=𝑥+9 𝑥+9≥0;𝑥≥−9; [−9;∞) 

Номер слайду 7

2009п. Розв’яжіть нерівність: 5𝑥≤1 5𝑥≤1⇒5𝑥−1≤0⇒5−𝑥𝑥≤0 ∙(−1)⇒ ⇒𝑥−5𝑥≥0 −∞;0∪[5;∞) 

Номер слайду 8

2010п Розв’яжіть нерівність: 1𝑥≤13 1𝑥≤13⇒1𝑥−13≤0⇔3−𝑥3𝑥≤0 ∙−1⇒ ⇒𝑥−3𝑥≥0 −∞;0∪[3;∞) 

Номер слайду 9

2008. Розв’яжіть нерівність: 𝑥2+64𝑥−5>0 Вираз 𝑥2+64>0 при всіх значеннях 𝑥 Це означає, що чисельник не впливає на знак нерівності.(5;∞) 2013. Розв’яжіть нерівність: 1𝑥−5<0 2017. Розв’яжіть нерівність: 𝑥2+64𝑥−5>0 

Номер слайду 10

2011. Розв’яжіть нерівність: 3𝑥𝑥+1<7𝑥+1  3𝑥𝑥+1−7𝑥+1<0; 3𝑥−7𝑥+1<0 :3 𝑥−73𝑥+1<0−1;73 

Номер слайду 11

2012. Розв’яжіть нерівність: 𝑥+4𝑥−7>3(𝑥−7) Помилка (!!!): скоротити на (𝑥−7)𝑥+4𝑥−7−3𝑥−7>0𝑥−7𝑥+4−3>0𝑥−7𝑥+1>0 (−∞;−1)∪(7;∞) 

Номер слайду 12

2014. Розв’яжіть нерівність (𝑥+4)2≤16 (𝑥+4)2−16≤0 (𝑥+4−4)(𝑥+4+4)≤0𝑥∙(𝑥+8)≤0−8;0 

Номер слайду 13

2006. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності 𝑥2+2𝑥−3|𝑥+2|<0 Корені чисельника 1 та −3 Нерівність 𝑥−1𝑥+3𝑥+2<0 еквівалентна даній. Якщо вираз в нерівності в парному степені або під знаком модуля, то при переході через цю точку знак не змінюється  

Номер слайду 14

2008. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності:!!! Не скорочуємо, бо НІЗЯ 𝑥2+8𝑥−9=0; 𝑥1=1;𝑥2=−9⇒⇒(𝑥−3)(𝑥+10)(𝑥−1)(𝑥+9)(𝑥−1)(𝑥+9)<0 

Номер слайду 15

2009. Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв’язків нерівності 𝑥2−𝑥−12(𝑥+1)2≤0. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.𝑥2−𝑥−12=0; 𝐷=(−1)2−4∙1∙−12=49𝑥1=1−72=−3;𝑥2=1=72=4(𝑥+3)(𝑥−4)(𝑥+1)2≤0 𝑥∈−3;−1∪(−1;4] Цілі числа: −3;−2;0;1;2;3;4 Кількість: 7  

Номер слайду 16

2013. Розв’яжіть нерівність 4𝑥+3+6𝑥≥1. У відповідь запишіть суму цілих розв’язків. 4𝑥+6(𝑥+3)𝑥(𝑥+3)−1≥04𝑥+6𝑥+18−𝑥2−3𝑥𝑥(𝑥+3)≥0−𝑥2+7𝑥+18𝑥(𝑥+3)≥0  ∙(−1) 𝑥2−7𝑥−18𝑥(𝑥+3)≤0 𝑥2−7𝑥−18=0𝐷=49−4∙−18=121𝑥1=7−112=−2𝑥2=7+112=9(𝑥+2)(𝑥−9)𝑥(𝑥+3)≤0 𝑥∈(−3;−2]∪(0;9]1+92∙9−2=43 43 

Номер слайду 17

2017. Знайдіть область визначення функції 𝑦=156−4𝑥 . У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції. 56−4𝑥>0⇔−4𝑥>−56 :(−4) 𝑥<14 13 

Номер слайду 18

Знайти кількість цілих розв’язків (7−3𝑥)3∙2𝑥−115∙(15−𝑥)101(6−𝑥)2019∙(13𝑥−172)2018≥0  Наступна нерівність еквівалентна даній𝑥−73∙𝑥−5,5∙(𝑥−15)(𝑥−6)∙(𝑥−14)2≤0 Вирази 𝑥−𝑎 та (𝑥−𝑎)𝑛 однаково впливають на зміну знака нерівності. Вирази 𝑎𝑥−𝑏 та 𝑥−𝑏𝑎 еквівалентні щодо знаку нерівності.𝑥∈213;5,5∪(6;14)∪14;15𝑥∈3;4;5;7;8;9;10;11;12;13;15 11 

Номер слайду 19

2008. Розв’яжіть систему нерівностей: Розв’язуємо першу нерівність. Розв’язуємо другу нерівність. Для неї ОДЗ: −3≤𝑥≤349−𝑥2≤14𝑥−3⇒49−𝑥2≤43−𝑥⇒9−𝑥2≤3−𝑥 𝑥∈−3;0∪{3} – розв’язок другої н нерівності Відповідь: 𝑥∈[−3;−1)∪{3}  

Номер слайду 20

2009. Розв’яжіть нерівність 2∙𝑥2−6𝑥+9−(𝑥−1)2+4𝑥≤𝑥  2(𝑥−3)2−𝑥2+2𝑥+1≤𝑥 ;2𝑥−3−|𝑥+1|≤𝑥 ;1) 𝑥<−1:23−𝑥−−𝑥−1−𝑥≤0;   −2𝑥+7≤0;−2𝑥≤−7;𝑥≥72 - розв’язків немає 2) −1≤𝑥<3:23−𝑥−𝑥+1−𝑥≤0;−4𝑥+5≤0; −4𝑥≤−5;𝑥≥1,25 . Розв’язок 𝑥∈[1,25;3) 3) 𝑥≥3:2𝑥−3−𝑥+1−𝑥≤0;−7≤0 . Розв’язок 𝑥∈[3; ∞)Відповідь: 𝑥∈114;∞)  

Номер слайду 21

2009 Розв’яжіть нерівність: 15𝑥≤125 Необхідно звести ліву та праву частину до однієї основи.15𝑥≤152 Якщо основа менша за 1, то при переході до нерівності відносно показників, треба поміняти знак на протилежний.𝑥≥2[2; ∞) 

Номер слайду 22

2012. Розв’яжіть нерівність: 𝜋4𝑥<4𝜋3 𝜋4𝑥<4𝜋3⇔𝜋4𝑥<𝜋4−3⇒ ⇒𝑥>−3 (знак нерівності змінюємо на протилежний, оскільки 𝜋4<1 ) (−3;∞) 

Номер слайду 23

Використовуючи зображені на малюнку графіки функцій, розв’яжіть нерівність: 2𝑥>−𝑥+3 (1;∞) 

Номер слайду 24

2015п Розв’яжіть нерівність: 2∙0,3𝑥<0,18(0,3)𝑥<0,09 (0,3)𝑥<(0,3)2⇒𝑥>2(2;∞) 

Номер слайду 25

2013. Розв’яжіть нерівність: 2𝑥≤3 Основна логарифмічна тотожність: 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=𝑏2𝑥≤2𝑙𝑜𝑔23 (−∞; 𝑙𝑜𝑔23] 

Номер слайду 26

2018. Розв’яжіть нерівність 2𝑥+2𝑥+3≥1442𝑥+2𝑥∙23=2𝑥+8∙2𝑥=9∙2𝑥 9∙2𝑥≥144 :9⇒2𝑥≥16⇔2𝑥≥24[4;∞) 

Номер слайду 27

2010. Розв’яжіть нерівність 12𝑥2−𝑥>8𝑥−5. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. 2−1𝑥2−𝑥>23𝑥−52−𝑥2+𝑥>23𝑥−15 (основа >1. Знак нерівності не міняємо)−𝑥2+𝑥>3𝑥−15;−𝑥2−2𝑥+15>0 ∙(−1)𝑥2+2𝑥−15<0 – розв’язок «між коренями» відповідного квадратного рівняння. 𝐷4=1+15=16; 𝑥1=−1−4=−5; 𝑥2=−1+4=3 𝑥∈(−5;3)ЦІЛІ розв’язки: −4;−3;−2;−1;0;1;2 Сума: −7 

Номер слайду 28

2014. Розв’яжіть нерівність: 10𝑥−16∙5𝑥𝑥+2≥0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку: [-3; 7]  5𝑥∙2𝑥−4𝑥+2≥0⇔𝑥−2𝑥+2≥0 −3+2+3+4+5+6+7=24 24 

Номер слайду 29

2011п Розв’яжіть нерівність: 3∙9𝑥−2∙15𝑥−52𝑥+1>0. Якщо нерівність має цілі розв’язки, то вкажіть найбільший з них. Якщо нерівність має цілі розв’язки, але вказати найбільший неможливо, то у відповідь запишіть число 50. Якщо нерівність не має цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.3∙32𝑥−2∙3𝑥∙5𝑥−5∙52𝑥>0 : 32𝑥>0−5∙532𝑥−2∙53𝑥+3>0 ∙(−1) 5∙532𝑥+2∙53𝑥−3<0 – нерівність квадратна відносно 53𝑥. Її розв’язки – «між коренями» відповідного квадратного рівняння: 5𝑡2+2𝑡−3=0; 𝐷4=1−5∙−3=16 𝑡1=−1−45=−1;𝑡2=−1+45=35⇒−1<53𝑥<53⇒𝑥<1 Відповідь: 0 

Номер слайду 30

2006 Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔143∙𝑙𝑜𝑔4𝑥>0 При розв’язанні логарифмічних нерівностей ЗАВЖДИ починаємо з ОДЗОДЗ: 𝑥>0𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏>0⇔𝑎>1,𝑏>10<𝑎<1,0<𝑏<1 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏<0⇔𝑎>1,0<𝑏<10<𝑎<1,𝑏>1 𝑙𝑜𝑔143<0⇒дана нерівність еквівалентна такій −𝑙𝑜𝑔4𝑥>0⇒𝑙𝑜𝑔4𝑥<0⇒𝑥<1(0;1)  

Номер слайду 31

2007 Розв’яжіть нерівність: При розв’язанні логарифмічних нерівностей ЗАВЖДИ починаємо з ОДЗОДЗ: 𝑥>0 Якщо основа логарифму менша за 1, то, «прибираючи» логарифми, знак нерівності змінюємо на протилежний10>𝑥;𝑥<10 (0;10) 

Номер слайду 32

2010п Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔15𝑥>2 ОДЗ: 𝑥>0 𝑥<152 0; 125 

Номер слайду 33

2011. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔0,5𝑥−1>2  ОДЗ: 𝑥−1>0;𝑥>1 𝑥−1<0,52; 𝑥<1,25 (1;1,25)  

Номер слайду 34

2013. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔0,4𝑥≥𝑙𝑜𝑔0,42  ОДЗ: 𝑥>0𝑥≤2 (0;2] 2016. Розв’яжіть нерівність: log3𝑥<−1 ОДЗ: 𝑥>0𝑥>3−1;𝑥>13 13;∞  

Номер слайду 35

2017. Розв’яжіть нерівність 𝑙𝑜𝑔2𝑥<𝑏 , використавши малюнок. 0;2𝑏 

Номер слайду 36

2010. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності. Якщо таких розв’язків безліч, то у відповідь запишіть число 100.𝑙𝑜𝑔14𝑥2+6𝑥≥−2  ОДЗ: 𝑥2+6𝑥>0;𝑥𝑥+6>0𝑥∈(−∞;−6)∪(0;∞) 𝑥2+6𝑥≤14−2 𝑥2+6𝑥−16≤0; 𝐷4=32+16=25;𝑥1=−3−5=−8;𝑥2=−3+5=2  Знак нерівності змінено, оскільки основа логарифма <1

Номер слайду 37

2009п Розв’яжіть нерівність 𝑙𝑜𝑔0,7𝑥+4+𝑙𝑜𝑔0,7(𝑥+6)≥𝑙𝑜𝑔0,735. У відповідь запишіть СУМУ всіх цілих розв’язків нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. ОДЗ: 𝑥>−4𝑥>−6⇒𝑥>−4 𝑙𝑜𝑔0,7𝑥2+4𝑥+6𝑥+24≥𝑙𝑜𝑔0,735 Якщо основа логарифму менша за 1, то, «прибираючи» логарифми, знак нерівності змінюємо на протилежний𝑥2+10𝑥+24≤35𝑥2+10𝑥−11≤0𝑥∈(−4;1]−3−2−1+0+1=−5−5 

Номер слайду 38

2015 пробне. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑔42𝑥−3≥0. У відповідь запишіть найбільший розв’язок цієї нерівності. ОДЗ: 42𝑥−3>0⇒1𝑥−1,5>0;𝑥>1,5 42𝑥−3≥1⇒42𝑥−3−1≥0⇒4−2𝑥+32𝑥−3≥0⇒⇒−2𝑥+72𝑥−3≥0; 𝑥−3,5𝑥−1,5≤0 3,5 

Номер слайду 39

2012 пробне{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}15𝑥−2>1 А (−∞ ;2)2−2𝑥+2>0 Б (−2 ;2)3𝑙𝑜𝑔2𝑥<1 В (0 ;2)4𝑥2<4 Г (−∞ ; −2) Д (2 ; ∞){5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}1 А2 Б3 В4 Г Д

Номер слайду 40

2013 пробне. Розв’яжіть систему нерівностей (0,5)1−2𝑥>0,58+𝑥4𝑥−5<0. У відповідь запишіть кількість усіх цілих розв’язків цієї системи. Якщо система має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.1−2𝑥<8+𝑥𝑥−5<0 ; −3𝑥<7𝑥<5; 𝑥>−37𝑥<5 𝑥∈−37;5 0; 1; 2; 3; 4 5 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Кісіль Ірина Василівна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
pptx
Додано
10 березня 2019
Переглядів
91354
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку