НЕРІВНОСТІ на ЗНО з математики

НЕРІВНОСТІПри діленні (множенні) нерівності на від’ємне число – ВСІ знаки змінюються на протилежніЯкщо нерівність сторога (< або >), то для запису відповіді використовуємо «круглі» дужки «)» або «(«. Якщо нерівність нестрога (≤ або ≥), то для запису відповіді використовуємо «квадратні» дужки «[« або «]»  

2010 Розв’яжіть нерівність: 10−3𝑥>4 −3𝑥>−6 Ділемо на −3. Знаки змінюються на протилежні𝑥<2(−∞;2) 

2015. Розв’яжіть неівність: 0,2𝑥−54<0 Розв’яжіть неівність: 0,2𝑥−54<00,2𝑥<54 :0,2 𝑥<270(−∞;270)  Розв’яжіть нерівність: (𝑥−6)(𝑥+2)2𝑥−3≤0 {−2}∪(3;6] 

2016. Укажіть число, що є розв’язком нерівності 5𝑥−3≥1−2 0 2 9 4 5𝑥−3≥1⇔5𝑥−3−1≥0⇔5−(𝑥−3)𝑥−3≥0⇔ ⇔8−𝑥𝑥−3≥0 ∙−1 𝑥−8𝑥−3≤0 𝑥∈(3;8] З наведених чисел знайденій множині належить лише число 4 

2006 Розв’яжіть нерівність: 𝑎2>𝑎!!! НЕ МОЖНА ділити на 𝑎𝑎2−𝑎>0⇒𝑎𝑎−1>0 Відповідь: 𝑎∈(−∞;0)∪(1;∞)  

2007 Розв’яжіть нерівність:𝑥>−2;𝑥≠3⇒𝑥∈(−2;3)∪(3;∞) Знайдіть область визначення функції: 𝑦=𝑥+9 𝑥+9≥0;𝑥≥−9; [−9;∞) 

2009п. Розв’яжіть нерівність: 5𝑥≤1 5𝑥≤1⇒5𝑥−1≤0⇒5−𝑥𝑥≤0 ∙(−1)⇒ ⇒𝑥−5𝑥≥0 −∞;0∪[5;∞) 

2010п Розв’яжіть нерівність: 1𝑥≤13 1𝑥≤13⇒1𝑥−13≤0⇔3−𝑥3𝑥≤0 ∙−1⇒ ⇒𝑥−3𝑥≥0 −∞;0∪[3;∞) 

2008. Розв’яжіть нерівність: 𝑥2+64𝑥−5>0 Вираз 𝑥2+64>0 при всіх значеннях 𝑥 Це означає, що чисельник не впливає на знак нерівності.(5;∞) 2013. Розв’яжіть нерівність: 1𝑥−5<0 2017. Розв’яжіть нерівність: 𝑥2+64𝑥−5>0 

2011. Розв’яжіть нерівність: 3𝑥𝑥+1<7𝑥+1  3𝑥𝑥+1−7𝑥+1<0; 3𝑥−7𝑥+1<0 :3 𝑥−73𝑥+1<0−1;73 

2012. Розв’яжіть нерівність: 𝑥+4𝑥−7>3(𝑥−7) Помилка (!!!): скоротити на (𝑥−7)𝑥+4𝑥−7−3𝑥−7>0𝑥−7𝑥+4−3>0𝑥−7𝑥+1>0 (−∞;−1)∪(7;∞) 

2014. Розв’яжіть нерівність (𝑥+4)2≤16 (𝑥+4)2−16≤0 (𝑥+4−4)(𝑥+4+4)≤0𝑥∙(𝑥+8)≤0−8;0 

2006. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності 𝑥2+2𝑥−3|𝑥+2|<0 Корені чисельника 1 та −3 Нерівність 𝑥−1𝑥+3𝑥+2<0 еквівалентна даній. Якщо вираз в нерівності в парному степені або під знаком модуля, то при переході через цю точку знак не змінюється  

2008. Укажіть найменше ціле число, яке є розв’язком нерівності:!!! Не скорочуємо, бо НІЗЯ 𝑥2+8𝑥−9=0; 𝑥1=1;𝑥2=−9⇒⇒(𝑥−3)(𝑥+10)(𝑥−1)(𝑥+9)(𝑥−1)(𝑥+9)<0 

2009. Знайдіть КІЛЬКІСТЬ усіх цілих розв’язків нерівності 𝑥2−𝑥−12(𝑥+1)2≤0. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.𝑥2−𝑥−12=0; 𝐷=(−1)2−4∙1∙−12=49𝑥1=1−72=−3;𝑥2=1=72=4(𝑥+3)(𝑥−4)(𝑥+1)2≤0 𝑥∈−3;−1∪(−1;4] Цілі числа: −3;−2;0;1;2;3;4 Кількість: 7  

2013. Розв’яжіть нерівність 4𝑥+3+6𝑥≥1. У відповідь запишіть суму цілих розв’язків. 4𝑥+6(𝑥+3)𝑥(𝑥+3)−1≥04𝑥+6𝑥+18−𝑥2−3𝑥𝑥(𝑥+3)≥0−𝑥2+7𝑥+18𝑥(𝑥+3)≥0  ∙(−1) 𝑥2−7𝑥−18𝑥(𝑥+3)≤0 𝑥2−7𝑥−18=0𝐷=49−4∙−18=121𝑥1=7−112=−2𝑥2=7+112=9(𝑥+2)(𝑥−9)𝑥(𝑥+3)≤0 𝑥∈(−3;−2]∪(0;9]1+92∙9−2=43 43 

2017. Знайдіть область визначення функції 𝑦=156−4𝑥 . У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції. 56−4𝑥>0⇔−4𝑥>−56 :(−4) 𝑥<14 13 

Знайти кількість цілих розв’язків (7−3𝑥)3∙2𝑥−115∙(15−𝑥)101(6−𝑥)2019∙(13𝑥−172)2018≥0  Наступна нерівність еквівалентна даній𝑥−73∙𝑥−5,5∙(𝑥−15)(𝑥−6)∙(𝑥−14)2≤0 Вирази 𝑥−𝑎 та (𝑥−𝑎)𝑛 однаково впливають на зміну знака нерівності. Вирази 𝑎𝑥−𝑏 та 𝑥−𝑏𝑎 еквівалентні щодо знаку нерівності.𝑥∈213;5,5∪(6;14)∪14;15𝑥∈3;4;5;7;8;9;10;11;12;13;15 11 

2008. Розв’яжіть систему нерівностей: Розв’язуємо першу нерівність. Розв’язуємо другу нерівність. Для неї ОДЗ: −3≤𝑥≤349−𝑥2≤14𝑥−3⇒49−𝑥2≤43−𝑥⇒9−𝑥2≤3−𝑥 𝑥∈−3;0∪{3} – розв’язок другої н нерівності Відповідь: 𝑥∈[−3;−1)∪{3}  

2009. Розв’яжіть нерівність 2∙𝑥2−6𝑥+9−(𝑥−1)2+4𝑥≤𝑥  2(𝑥−3)2−𝑥2+2𝑥+1≤𝑥 ;2𝑥−3−|𝑥+1|≤𝑥 ;1) 𝑥<−1:23−𝑥−−𝑥−1−𝑥≤0;   −2𝑥+7≤0;−2𝑥≤−7;𝑥≥72 - розв’язків немає 2) −1≤𝑥<3:23−𝑥−𝑥+1−𝑥≤0;−4𝑥+5≤0; −4𝑥≤−5;𝑥≥1,25 . Розв’язок 𝑥∈[1,25;3) 3) 𝑥≥3:2𝑥−3−𝑥+1−𝑥≤0;−7≤0 . Розв’язок 𝑥∈[3; ∞)Відповідь: 𝑥∈114;∞)  

2009 Розв’яжіть нерівність: 15𝑥≤125 Необхідно звести ліву та праву частину до однієї основи.15𝑥≤152 Якщо основа менша за 1, то при переході до нерівності відносно показників, треба поміняти знак на протилежний.𝑥≥2[2; ∞) 

2012. Розв’яжіть нерівність: 𝜋4𝑥<4𝜋3 𝜋4𝑥<4𝜋3⇔𝜋4𝑥<𝜋4−3⇒ ⇒𝑥>−3 (знак нерівності змінюємо на протилежний, оскільки 𝜋4<1 ) (−3;∞) 

Використовуючи зображені на малюнку графіки функцій, розв’яжіть нерівність: 2𝑥>−𝑥+3 (1;∞) 

2015п Розв’яжіть нерівність: 2∙0,3𝑥<0,18(0,3)𝑥<0,09 (0,3)𝑥<(0,3)2⇒𝑥>2(2;∞) 

2013. Розв’яжіть нерівність: 2𝑥≤3 Основна логарифмічна тотожність: 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏=𝑏2𝑥≤2𝑙𝑜𝑔23 (−∞; 𝑙𝑜𝑔23] 

2018. Розв’яжіть нерівність 2𝑥+2𝑥+3≥1442𝑥+2𝑥∙23=2𝑥+8∙2𝑥=9∙2𝑥 9∙2𝑥≥144 :9⇒2𝑥≥16⇔2𝑥≥24[4;∞) 

2010. Розв’яжіть нерівність 12𝑥2−𝑥>8𝑥−5. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. 2−1𝑥2−𝑥>23𝑥−52−𝑥2+𝑥>23𝑥−15 (основа >1. Знак нерівності не міняємо)−𝑥2+𝑥>3𝑥−15;−𝑥2−2𝑥+15>0 ∙(−1)𝑥2+2𝑥−15<0 – розв’язок «між коренями» відповідного квадратного рівняння. 𝐷4=1+15=16; 𝑥1=−1−4=−5; 𝑥2=−1+4=3 𝑥∈(−5;3)ЦІЛІ розв’язки: −4;−3;−2;−1;0;1;2 Сума: −7 

2014. Розв’яжіть нерівність: 10𝑥−16∙5𝑥𝑥+2≥0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку: [-3; 7]  5𝑥∙2𝑥−4𝑥+2≥0⇔𝑥−2𝑥+2≥0 −3+2+3+4+5+6+7=24 24 

2011п Розв’яжіть нерівність: 3∙9𝑥−2∙15𝑥−52𝑥+1>0. Якщо нерівність має цілі розв’язки, то вкажіть найбільший з них. Якщо нерівність має цілі розв’язки, але вказати найбільший неможливо, то у відповідь запишіть число 50. Якщо нерівність не має цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.3∙32𝑥−2∙3𝑥∙5𝑥−5∙52𝑥>0 : 32𝑥>0−5∙532𝑥−2∙53𝑥+3>0 ∙(−1) 5∙532𝑥+2∙53𝑥−3<0 – нерівність квадратна відносно 53𝑥. Її розв’язки – «між коренями» відповідного квадратного рівняння: 5𝑡2+2𝑡−3=0; 𝐷4=1−5∙−3=16 𝑡1=−1−45=−1;𝑡2=−1+45=35⇒−1<53𝑥<53⇒𝑥<1 Відповідь: 0 

2006 Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔143∙𝑙𝑜𝑔4𝑥>0 При розв’язанні логарифмічних нерівностей ЗАВЖДИ починаємо з ОДЗОДЗ: 𝑥>0𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏>0⇔𝑎>1,𝑏>10<𝑎<1,0<𝑏<1 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏<0⇔𝑎>1,0<𝑏<10<𝑎<1,𝑏>1 𝑙𝑜𝑔143<0⇒дана нерівність еквівалентна такій −𝑙𝑜𝑔4𝑥>0⇒𝑙𝑜𝑔4𝑥<0⇒𝑥<1(0;1)  

2007 Розв’яжіть нерівність: При розв’язанні логарифмічних нерівностей ЗАВЖДИ починаємо з ОДЗОДЗ: 𝑥>0 Якщо основа логарифму менша за 1, то, «прибираючи» логарифми, знак нерівності змінюємо на протилежний10>𝑥;𝑥<10 (0;10) 

2010п Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔15𝑥>2 ОДЗ: 𝑥>0 𝑥<152 0; 125 

2011. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔0,5𝑥−1>2  ОДЗ: 𝑥−1>0;𝑥>1 𝑥−1<0,52; 𝑥<1,25 (1;1,25)  

2013. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑜𝑔0,4𝑥≥𝑙𝑜𝑔0,42  ОДЗ: 𝑥>0𝑥≤2 (0;2] 2016. Розв’яжіть нерівність: log3𝑥<−1 ОДЗ: 𝑥>0𝑥>3−1;𝑥>13 13;∞  

2017. Розв’яжіть нерівність 𝑙𝑜𝑔2𝑥<𝑏 , використавши малюнок. 0;2𝑏 

2010. Знайдіть кількість цілих розв’язків нерівності. Якщо таких розв’язків безліч, то у відповідь запишіть число 100.𝑙𝑜𝑔14𝑥2+6𝑥≥−2  ОДЗ: 𝑥2+6𝑥>0;𝑥𝑥+6>0𝑥∈(−∞;−6)∪(0;∞) 𝑥2+6𝑥≤14−2 𝑥2+6𝑥−16≤0; 𝐷4=32+16=25;𝑥1=−3−5=−8;𝑥2=−3+5=2  Знак нерівності змінено, оскільки основа логарифма <1

2009п Розв’яжіть нерівність 𝑙𝑜𝑔0,7𝑥+4+𝑙𝑜𝑔0,7(𝑥+6)≥𝑙𝑜𝑔0,735. У відповідь запишіть СУМУ всіх цілих розв’язків нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100. ОДЗ: 𝑥>−4𝑥>−6⇒𝑥>−4 𝑙𝑜𝑔0,7𝑥2+4𝑥+6𝑥+24≥𝑙𝑜𝑔0,735 Якщо основа логарифму менша за 1, то, «прибираючи» логарифми, знак нерівності змінюємо на протилежний𝑥2+10𝑥+24≤35𝑥2+10𝑥−11≤0𝑥∈(−4;1]−3−2−1+0+1=−5−5 

2015 пробне. Розв’яжіть нерівність: 𝑙𝑔42𝑥−3≥0. У відповідь запишіть найбільший розв’язок цієї нерівності. ОДЗ: 42𝑥−3>0⇒1𝑥−1,5>0;𝑥>1,5 42𝑥−3≥1⇒42𝑥−3−1≥0⇒4−2𝑥+32𝑥−3≥0⇒⇒−2𝑥+72𝑥−3≥0; 𝑥−3,5𝑥−1,5≤0 3,5 

2012 пробне{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}15𝑥−2>1 А (−∞ ;2)2−2𝑥+2>0 Б (−2 ;2)3𝑙𝑜𝑔2𝑥<1 В (0 ;2)4𝑥2<4 Г (−∞ ; −2) Д (2 ; ∞){5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}1 А2 Б3 В4 Г Д

2013 пробне. Розв’яжіть систему нерівностей (0,5)1−2𝑥>0,58+𝑥4𝑥−5<0. У відповідь запишіть кількість усіх цілих розв’язків цієї системи. Якщо система має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.1−2𝑥<8+𝑥𝑥−5<0 ; −3𝑥<7𝑥<5; 𝑥>−37𝑥<5 𝑥∈−37;5 0; 1; 2; 3; 4 5