Тема уроку. Основні задачі на розв'язування трикутників.
Мета уроку: ознайомити учнів з основними задачами розв'язування трикутників.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця «Співвідношення між сторонами і кутами трикутника» [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: описують основні випадки розв'язування трикутників та алгоритми їх розв'язування.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Фронтальне опитування
Правильність виконання задачі з домашнього завдання перевірити за записами на дошці, зробленими до початку уроку.
Розв'язання
a2 = b2 + c2 – 2bccosA; 49 = 4 + 64 – 2 ∙ 2 ∙ 8 ∙ cosA; 49 = 68 – 32cosA;
32cosA = 19; cosA = 0,594;
A
54°.
b2 = a2 + c2 – 2accosB; 4 = 49 + 64 – 2 ∙ 7 ∙ 8 ∙ cosB; 4 = 113 – 112cosB;
112cosB = 109; cosB = 0,973;
B
13°.
C = 180° -
A -
B
180° - 54° - 13° = 113°.
Відповідь. A
54°,
B
13°,
C
113°.
ІІ. Аналіз самостійної роботи
ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Визначення трикутника за трьома основними елементами
З ознак рівності трикутників випливає, що трикутник визначається трьома основними елементами, серед яких хоча б один лінійний. Розв'язати трикутник означає за його трьома даними основними елементами знайти три інші елементи.
Із шести основних елементів трикутника по три елементи можуть сполучатися такі:
Чотири випадки розв'язування трикутників
Відповідно до цього розглянемо чотири випадки розв'язування трикутників.
1-й випадок
Нехай задано сторону а і кути А і В трикутника ABC. Треба знайти кут С і сторони b і с трикутника ABC.
С = 180° - (
A +
В).
За теоремою синусів , знайдемо
.
За теоремою синусів , знайдемо
=
=
.
Колективне розв'язування задач
Дано сторону а = 5 і два кути трикутника β = 30°, γ = 45°. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника.
Розв'язання
α = 180° - β - γ = 180° - 30° - 45° = 105°.
;
;
; b
2,59.
;
;
; с
3,66.
Відповідь, α = 105°, b 2,59, с
3,66.
Самостійне розв'язування задач
Дано сторону і два кути трикутника. Знайдіть третій кут та інші дві сторони трикутника, якщо:
варіант 1: а = 20, α = 75°, β = 60°;
варіант 2: а = 35, β = 40°, γ = 120°.
Варіант 1
Розв'язання
γ = 180° - α - β = 180° - 75° - 60° = 45°.
;
;
; b
17,9.
;
;
; с
14,6.
Відповідь. γ = 45°, b 17,9, с
14,6.
Варіант 2
Розв'язання
α = 180° - β - γ = 180° - 40° - 120° = 20°.
;
;
; b
65,8.
;
;
; c
88,6.
Відповідь, α = 20°, b 65,8, c
88,6.
2-й випадок
Нехай задано сторони а і b та кут між ними С. Треба знайти сторону с та кути В і А. Сторону с знайдемо за теоремою косинусів: с2 = a2 + b2 – 2abcosC, c = .
Кут А можна знайти за теоремою косинусів:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA, звідси .
Кут А можна знайти за теоремою синусів:
, звідси
.
Тоді B = 180° -
A -
C.
Колективне розв'язування задач
Дано дві сторони трикутника b = 14, с = 10 і кут між ними α = 145°. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутника.
Розв'язання
a2 = b2 + c2 – 2bccosα; a2 = 196 + 100 – 2 ∙ 14 ∙ 10 ∙ cos145° 296 + 280 ∙ 0,8192
296 + 229,36 = 525,36; а
22,9.
;
; sinβ
0,3507; β
21°.
γ = 180° - α - β 180° - 145° - 21° = 14°.
Відповідь, а 22,9, β
21°, γ
14°.
Самостійне розв'язування задач
Дано дві сторони трикутника і кут між ними. Знайдіть інші два кути та третю сторону трикутника, якщо:
варіант 1: а = 7, b = 23, γ = 130°;
варіант 2: b = 9, с = 17, α = 95°.
Варіант 1
Розв'язання
с2 = а2 + b2 – 2abcosγ = 72 + 232 – 2 ∙ 7 ∙ 23 ∙ cos130°49 + 529 – 322 ∙ (-0,64) = = 578 + 206,08 = 784,08; с
28.
a2 = b2 + c2 – 2bccosα; 72 = 232 + 282 – 2 ∙ 23 ∙ 28 ∙ cosα;
49 = 529 + 784 – 1288cosα; 1288cosα = 1264; cosα 0,98; α
11°.
Тоді β = 180° - α - γ 180° - 130° - 11° = 39°.
Відповідь. с 28, α
11°, β
39°.
Варіант 2
Розв'язання
a2 = b2 + c2 – 2bccosα = 92 + 172 – 2 ∙ 9 ∙ 17 ∙ cos95° 81 + 289 – 306 ∙ (-0,09) = = 370 + 27,54 = 397,54; a
19,9.
b2 = a2 + c2 – 2accosβ; 92 = 397,54 + 172 – 2 ∙ 19,9 ∙ 17 ∙ cosβ;
81 = 686,54 – 676,6cosβ; 676,6cosβ = 605,54; cosβ 0,895; β
26°.
Тоді γ = 180° - α - β = 180° - 26° - 95° = 59°.
Відповідь, а 19,9, β
26°, γ
59°.
3-й випадок
Нехай задано три сторони а, b, с трикутника ABC. Треба знайти кути А, В, С. За теоремою косинусів знайдемо кут А:
а2 = b2 + с2 – 2bccosA , звідси .
Тоді за теоремою синусів знайдемо кут В: , звідси
. І, нарешті, С = 180° - (A + В).
Колективне розв'язування задач
Дано три сторони трикутника a = 1, b = 3, с = 4. Знайдіть його кути.
Розв'язання
а2 = b2 + с2 – 2bccosα; 4 = 9 + 16 – 24cosα; 24cosα = 21; cosα = = 0,875;
α 29°.
;
; sinβ
0,7272; β
47°.
γ = 180° - α - β 180° - 29° - 47o = 104°.
Відповідь, α 29°, β
47°, γ
104°.
Самостійне розв'язування задач
Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо:
варіант 1: a = 15, b = 24, с = 18;
варіант 2: a = 23, b = 17, с = 39.
Варіант 1
Розв’язання
a2 = b2 + c2 – 2bccosα; 225 = 576 + 324 – 864cosα; cosα =
0,7813;
α 38,62
39°.
;
;
;
;
β 87°.
γ = 180° - α - β 180° - 39° - 87° = 54°.
Відповідь. α 39°, β
87°, γ
54°.
Варіант 2
Розв'язання
a2 = b2 + c2 – 2bccosα; 529 = 289 + 1521 – 1326cosα;
0,9661; α
15°.
;
;
; sinβ
0,1913; β
11°.
γ = 180° – α – β 180° – 15° - 11° = 154°.
Відповідь, α 15°, β
11°, γ
154°.
4-й випадок
Нехай задано дві сторони а і b та кут А трикутника ABC. Треба знайти кути В і С та сторону с.
За теоремою синусів маємо
.
Якщо bsinA > a, то задача не має розв'язків (оскільки sinβ > 1, що неможливо).
Якщо bsinA = a, то B = 90°, тоді
C = 90° -
A, c = bcosA.
Якщо bsinA < a, тоді існують два кути, синуси яких дорівнюють : один із цих кутів гострий, а другий — тупий.
Якщо a > b, то A >
B. A, оскільки, у трикутника не може бути два тупих кути, то кут В гострий і розв'язок єдиний.
Якщо а < b, то існують два кути В1 і В2 (B2 = 180° -
B1), синуси яких дорівнюють
. У цьому випадку задача має два розв'язки:
C1 = 180° -
A -
B1,
;
C2 = 180° -
A -
B2,
.
Колективне розв'язування задач
Розв'язання
;
; sinβ =
= 2sin60° = 2 ∙
=
> 1.
Задача розв'язків не має.
Відповідь. Розв'язків немає.
Розв'язання
;
; sinβ =
0,6667;
β 42° або β
180° - 42° = 138°.
Якщо β 42°, тоді γ = 180° - α - β
180° - 30° - 42° = 108° і
;
;
.
Якщо β = 138°, тоді γ = 180° - α - β 180° - 30° - 138° = 12° і
;
;
.
Відповідь. β 42°, γ
108°, с
11,4 або β
138°, γ
12°, с
2,5.
IV. Домашнє завдання
Розв'язати трикутники:
а) с = 14, α = 64°, β = 48°;
б) а = 24, с = 18, β = 15°;
в) а = 55, b = 21, с = 38;
г) а = 32, с = 23, β = 152°.
V. Підбиття підсумків уроку
Запитання до класу