"Періодичність тригонометричних функцій"

Урок №1

Тема: Періодичність тригонометричних функцій.

Мета: Сформувати в учнів поняття періоду та періодичної функції;

           формування вміння знаходити періоди функції.

Хід уроку

І.Актуалізація опорних знань

  Запитання до класу:

1. Обчислити :cos 330º

2. Чи правильно, що sin 405º =

3. Серед кутів повороту -420º; 770º; 690º; 310º; -50º. Знайдіть такі, при яких початковий радіус займає таке саме положення, як і при повороті на =50º.

ІІ. Формування теми та завдань уроку

(мотивація навчальної діяльності)

У нашому житті повсякчас зустрічаються природні явища, які повторюються, тобто через рівні проміжки часу. Наприклад, якщо сьогодні понеділок, то через сім днів знову  він настане; планета Земля за 1 рік робить один оберт навколо Сонця, за 2 роки -  2 оберти і т.д; робота серця….

Тому на сьогоднішньому уроці ми будемо вивчати періодичні функції, за допомогою яких можна описати закономірності періодичних явищ.

ІІІ. Засвоєння нових знань

1. Функція у=f(x) називається періодичною, якщо для будь-якого х з області визначення існує таке число Т0, що виконуються рівності

f(x-T)=f(x)=f(x+t)

 

 

 

 

Число Т – період функції.

2.Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих при повороті точок Р₀(1;0) на кути , n є Z.

sin              cos            ;  

                                                                             

                                                                           

                                                                           

Надаватимемо n різних значень

n=0,

n=1,

n=2,

n=-1,

n=-2,

Зробимо висновок, що якого б значення n ми не надавали (n є Z), точка Р весь час буде переходить сама в себе.

Отже, періодом функції у=sin х і у=cos х є число 2n, а найменшим додатнім періодом – 2.

 

- найменший додатній період синуса і косинуса.

 

 

3.З попередніх уроків Вам відомо, що для будь-яких х з області  визначення функцій

y = tg x,   y = ctg x  виконуються рівності

tg (х-)  = tg х = tg (х+)

ctg (х-) = ctg x  = ctg (х+).

Отже, тангенс і котангенс періодичні функції з найменшим періодом .

 

- найменший додатній період тангенса і котангенса.

 

 

4. Властивості періодичних функцій.

Т-1: Якщо число Т є періодом функції f, то і число –Т також є періодом функції  f.

Т-2: Якщо числа Т₁ і Т₂ – періоди функції f(Т₁+Т₂=0), то  число Т₁ і Т₂  є також періодом функції f.

Наслідок: Якщо число Т є періодом функції f, то будь-яке число виду nТ (n є Z, n) також є її періодом.

Тобто, якщо перефразувати наслідок, то можна сказати, що кожна періодична функція має безліч періодів.

Т-3: Якщо число Т є періодом функції у=f(x), то число () є періодом функції

y = f(kx + b).

Наприклад,   y = sin(kx+b)

                      y = cos (kx+b)              Т = - період функції.

 і Т = - найменший додатній період.

y = tg (kx+b)

y = ctg (kx+b)      

  Т =    - найменший додатний період.

 

IV. Формування навичок і вмінь

1. Знайдіть значення виразу:

    а) sin 390º

    б) cos 420º

    в) tg 1860º

    г) sin 1470º

    д) ctg 1125º

2. Знайдіть головний період функції:

    а) f(x) =  cos  (5х+1)          в) f(x )= cos

          Т =                               Т =  =

  б) f(x) = sin х              г) f(x) = tg (4х-3)

          Т =                         Т =

3. На рисунку зображено частину графіка періодичної функції, період якої Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V. Підсумок уроку

Графічний диктант (1 учень за відкидною дошкою, решта  в зошитах)

1.Найменший додатній період синуса π?

2. Найменший додатній період косинуса 2π?

3. Найменший додатній період  f(x) = tg (2х+1)?

4. Найменший додатній період  f(x) =  cos  ?

5. Найменший додатній період тангенса π ?

6. Значення виразу cos 300º ?

 

Правильна відповідь:      

 

 

 

 

VІ. Домашнє завдання

1. (Середній рівень)

Знайдіть найменший додатній період функції

   а) f(x) =  cos 4х;    б) f(x) = tg (3х+ )

2. (Достатній рівень)

Знайдіть найменший додатній період функції

   а) f(x) =  sin 2х ;    б) f(x) = 5tg (3х+)

3. (Високий рівень)

Побудуйте графік функції у = -х² на проміжку і  продублюйте цей графік  на проміжку

4. Повторити перетворення графіків функції