ПІДГОТОВКА ЗНО. Задачі на сумісну роботу.

Задачі на сумісну роботу

Задачі на сумісну роботу, як правило, мають таке формулювання:

Деяку роботу, об’єм якої може бути не вказано і не є шуканим (наприклад, друк рукопису, заповнення резервуара, обробка поля тощо) виконує декілька осіб або механізмів, що працюють рівномірно (тобто з постійною для кожного продуктивністю).

В цих задачах об’єм всієї роботи, яку треба виконати, умовно приймається за одиницю. Час t, що необхідний для виконання всієї роботи, та v – продуктивність праці (швидкість), тобто кількість роботи, виконана за одиницю часу, пов’язані співвідношенням  .

При розв’язуванні подібних задач іноді доцільно умову розписувати у вигляді таблиці 1:

Таблиця 1

У виконанні певної роботи беруть участь два об’єкти: І-й та ІІ-й. Якщо   І-й об’єкт виконує всю роботу за х годин (хвилин, секунд тощо) то за 1 годину він виконає роботи – це є швидкість роботи І-го об’єкта. Аналогічно, якщо ІІ-й виконує всю роботу за у годин, то його швидкість -роб/год. Для знаходження сумісної швидкості роботи двох об’єктів слід:

-додати їхні окремі швидкості, якщо об’єкти допомагають один одному виконувати роботу;

-відняти, якщо заважають.

Для знаходження часу, за який два об’єкти впораються з роботою разом (t_{сумісний)}  необхідно об’єм виконаної роботи V поділити на їхню сумісну швидкість v_{сумісна}. Якщо V = 1, то    .

Задача 1. Перший оператор може набрати весь текст за 6 днів, а другий – за 12 днів. За який час оператори наберуть увесь текст, працюючи разом?

Задача 2. Два трактори зорали поле за 6 годин спільної роботи. Перший з них міг би, працюючи окремо, виконати цю роботу за 10 годин. За скільки годин другий тракторист може зорати все поле, працюючи окремо?

Таблиця 7

Задача 3. Через І трубу порожній басейн заповнюється за 10 годин, через ІІ трубу повний басейн спустошується за 15 годин. Чи буде заповнений порожній басейн, якщо відкрити разом обидва отвори? За скільки годин?

Басейн дійсно повільно заповнюватиметься водою при одночасній роботі обох труб, оскільки продуктивність роботи першої труби, що працює на наповнення, більша за продуктивність роботи другої, яка працює на виливання. В цьому випадку друга труба «заважатиме» першій наповнювати басейн. Тому їх сумісна продуктивність роботи .

,    тоді час, за який заповниться басейн годин.

Відповідь: 30 годин.

Задача 4. Дві бригади, працюючи разом, зорали поле за 8 год. За скільки годин може зорати поле кожна бригада, працюючи самостійно, якщо другій бригаді на це потрібно на 12 год більше, ніж першій?

;         ;       ;   

- не задовольняє умову задачі;   . Отже, годин, години.

Відповідь: 12 год;  24 год.

 Задача 5. Через одну трубу можна наповнити басейн на 9 годин швидше, ніж через другу опорожнити цей басейн. Якщо одночасно відкрити обидві труби, то басейн наповниться за 40 год. За скільки годин перша труба може наповнити, а друга – опорожнити басейн?

Таблиця 10

;     , -не задовольняє умову задачі;   годин, години. (слайд 9)

Відповідь: 15 год, 24 год.

Задачі на спільну роботу, які пропонувалися на ЗНО

Задача1. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години, а через другу – за 6 годин. Яку частину басейну залишиться наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин?

Розв’язання.

1/4 - частина басейну, яку заповнить І труба за 1год;

1/6 - частина басейну, яку заповнить ІІ труба за 1год;
 - частина басейну, яку наповнять обидві труби за 1 год, працюючи разом.
 - частина басейну, яку наповнять обидві труби за 2 год, працюючи разом.
 - частину басейну залишиться заповнити.

Відповідь:

Задача 2. Басейн заповнюють водою через першу трубу за a години, а через другу – за b годин.
Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох труб разом?

Розв’язання.

Нехай 1/a - частина басейну, яку заповнить І труба за 1год;
1/b - частина басейну, яку заповнить ІІ труба за 1год;
 - частина басейну, яку наповнять обидві труби за 1 год, працюючи разом.
 год – це час, за який можна заповнити басейн при використанні обох труб разом.

Відповідь:

Задача 3.

Майстер виготовляє одну деталь за 5 хв, а через другу, а його учень таку ж деталь – за 9 хв. Працюючи разом вони виготовили 42 деталі. Скільки деталей виготовив майстер?

Розв’язання.

Визначимо, швидкість майстрів за хвилину.
За умовою 1/5 - частина деталі, що виготовляє майстер за 1 хв;
1/9 - частина деталі виготовляє учень за 1хв;
 - частина деталей, яку виготовлять майстер та учень за 1 хв, працюючи разом.
 хв – час роботи майстра та учня.
135:5=27 дет. – виготовив майстер

Відповідь: 27 деталей.