Посібник-співбесідник 5

У 5-му класі ви зустрічались з числовими та буквеними виразами. Пригадаймо, як утворюються числові вирази.

Числові вирази утворюються з чисел за допомогою знаків дій і дужок.

Вірно. Наведіть приклади числових виразів.

; ; .

Вірно. Як знайти значення числового виразу?

Виконати дії.

Вірно. Як називають число, яке дістають у результаті виконання дій у числовому виразі?

Значенням виразу.

Вірно. У якому випадку числовий вираз не має смислу (змісту)?

Якщо числовий вираз містить дію, яку не можна виконати.

Вірно. Наведіть приклад такого виразу.

Важко навести такий приклад.

А я знаю. Наприклад, вираз не має смислу, бо і наступна дія не виконується.

Вірно. Вкажіть послідовність виконання дій при знаходженні значення числового виразу

.

 

.

Так. Ви вчили, що у виразах без дужок спочатку виконують множення і ділення, а потім додавання і віднімання.

Як утворюються буквені вирази?

Буквені вирази утворюються з чисел, букв за допомогою знаків дій і дужок.

Вірно. Наведіть приклади буквених виразів.

; ; ; .

Вірно. Якщо в буквеному виразі підставити замість букв певні числа, то, який вираз ми отримаємо?

Числовий вираз.

Вірно. Підставте у вираз замість число . Який числовий вираз отримаємо? Знайдіть його значення.

Отримаємо числовий вираз , його значення .

Вірно. Число називається значенням виразу при . Букві можна надавати різні значення, може дорівнювати ; ; ; ; тощо, тобто значення можна змінювати. Тому називають змінною, а вираз — виразом зі змінною.

А чи існують вирази, які містять більше, ніж одну змінну?

Звісно ж існують. Щоб переконатись в цьому, розглянемо задачу.

Задача. Майстер за одну годину виготовляє деталей, а його учень — деталей. Запишіть у вигляді виразу, скільки деталей вони виготовили разом, якщо майстер працював год, а учень — год.

Скільки деталей виготовив майстер за год?

Майстер за год виготовив деталей.

Вірно. Скільки деталей виготовив учень за год?

Учень за год виготовив деталей.

Вірно. Скільки деталей майстер та учень виготовили разом?

Майстер та учень виготовили разом деталей.

Вірно. Букви і також можуть набувати різних значень, тому і — змінні, а вираз — вираз із двома змінними.

Наведіть приклади виразів із змінними.

; ; ; .

Вірно. Назвіть змінні в даних виразах.

; ; ; ; ; ; ; ; ; — змінні.

Вірно.

 

Вирази зі змінними утворюються з чисел та змінних за допомогою знаків дій і дужок.

Виразом зі змінною вважають й окремо взяту змінну.

Якщо у вираз зі змінними підставити замість змінних певні числа, то дістанемо числовий вираз. Значення цього числового виразу називають числовим значенням виразу для вибраних значень змінних.

Порівняйте вирази

; ; ; ;

з виразами

; ; ; ; .

Це вирази зі змінними.

Вірно. Але, що є відмінного між цими виразами?

Вирази першої групи не містять дії ділення на вираз зі змінними. Вирази другої групи містять дію ділення на вираз зі змінними.

Вірно. Вирази першої групи — цілі вирази, а другої — дробові вирази.

Дробові вирази ми вивчатимемо більш детально у 8 класі.

 

Цілі вирази — це вирази, які не містять дії ділення на вираз зі змінними. Дробові вирази — це вирази, які містять дію ділення на вираз зі змінними.

Вирази зі змінними використовують для запису формул. Наведіть приклади формул.

— формула для обчислення периметра прямокутника;

— формула для обчислення площі прямокутника;

— формула для обчислення об’єму прямокутного паралелепіпеда;

— формула для обчислення шляху.

Вірно.

А я знаю ще такі формули:

— формула для обчислення площі трикутника;

— формула для обчислення довжини кола з радіусом ;

— формула для обчислення площі круга з радіусом ;

(де — ціле число) — формула парного числа;

(де — ціле число) — формула непарного числа;

(де — ціле число) — формула числа, кратного .

Вірно.

 

Додаткові відомості

Раніше ви розрізняли числові вирази і буквені вирази, однак у сучасній математиці буквами позначають не тільки невідомі числа. Наприклад, буква позначає відношення довжини кола до його діаметра; його наближене значення дорівнює . Тому вираз , хоч і містить букву , є числовим виразом. Тому далі ті букви, замість яких можна підставляти різні числа, ми називатимемо змінними, розуміючи, що їх значення можуть змінюватися. А вирази, які містять такі змінні, називатимемо виразами зі змінними.

Аналогічно, як і числовий вираз, вираз зі змінною може не мати змісту при деякому значенні змінної. Наприклад, значення виразу можна знайти для будь-якого значення , крім . Якщо , то дільник (знаменник) дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Кажуть, що для вираз  має зміст, а для він не має змісту.

Словом вираз в українській мові часто називають і висловлення (наприклад, крилатий вираз), і вияв настрою (вираз обличчя) тощо. У математиці цим словом коротко називають математичний вираз. А математичний вираз — це написані в якому-небудь зрозумілому порядку математичні символи, включаючи числа, букви, знаки дій, дужки, знаки відсотків, модуля тощо.

 

Перевірте себе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконаємо разом

Приклад 1.

Знайдіть значення виразу:

а) добуток числа b і різницю чисел a та d;

б) частку суми чисел a та b і числа 9;

в) суму числа а і добуток чисел m та n.

а) b∙a – d;

Неправильно. Потрібно так записати: b(a – d);  

б) (a + b):9;          в) a + mn.

Зауваження.

Читаючи словами числові вирази чи вирази зі змінними, першою називають останню по порядку виконання дію, далі передостанню і так далі.

Приклад 2.

Знайдіть значення виразу (5+b):4, b = –2; b = 0.

Якщо b = –2, то (5+b):4 = (5 + (– 2)):4 = 3:4 = 0,75; якщо b = 0, то (5+b):4 = (5+0):4 = 5:4 = 1,25.

Приклад 3.

Записати у вигляді виразу число, яке має 7 сотень, d десятків, k одиниць.

7∙100+d∙10+k=700+10c+d.

Усно

83. Серед записів вкажіть числові вирази, вирази зі змінними:

а) 5+m – a;       б) (12 – 3):4;     в) ;     г) (0 – 8)∙5 – 13;         д) .

84. Прочитайте словами вирази зі змінними:

а) x + 7;                              б) m – a;                               в) 5сb.          

г) ;                             д) ;                           е) z:3;                    

85. Складіть три вирази із числа 9 та змінних n і m.

86. Складіть два вирази із чисел 7 і 15 та змінної  z.

Рівень А

Запишіть у вигляді виразу.

87. а) суму чисел 32 і а;                          б) добуток чисел  – z і 2;

      в) куб числа с;                                   г) різницю чисел а і b.

88. а) добуток числа 6 і суму чисел a і c;

 б) потроєний добуток чисел n і m;

 в) різницю числа d і квадрат числа 5;

 г) подвоєну частку чисел f і k.

89. а) різницю чисел b і c;                       б) добуток чисел 4 і – v;

в) квадрат числа h;                             г) півсуму чисел x та z;

д) добуток різниці чисел 6 та d і числа 9;

е) подвоєну частку чисел m і f.

 

 

Приклад:

Знайдіть значення виразу , якщо a=17; c=5.

Тут буде важче, бо є дві змінних.

Нічого тут важкого, змінні в нас відомі потрібно їх тільки підставити.

Якщо a  = 17, c = – 5, то

Знайдіть значення виразу:

90. а) 2a + 5, якщо а = 2;                          б) 0,17 – 3c, якщо c = 0,5;

в) 7x – z, якщо х = –7, z = 12;                     г) xy –3z, якщо х= – 0,7, у=4, z=0,14.

91.  а) 3,5 +, якщо z = 6;                   б) , якщо k = –3.

92.  а) – 2,3 - 3m, якщо m = 8;                 б)  (1 - 7c), якщо с = 0;

в) 18(6z - 4), якщо z = 2,6;                       г) m - 5n, якщо m = 22; n = - 3,3;

д) 9(h - j) - 8f, якщо h = 4,2; j = - 5,5; f = 3,4.

Заповніть таблицю:

93.

K	- 6	- 2	0	0,3	4	9
3-2k

 

94.

Z	7	- 5	0	3	2,5	4,2
4z-6

 

95.

A	3	4	5	6	7	8
B	0	1	- 1	2	- 2	3
2a + 5b

 

96.

X	- 1	0	6	7	8	9
х2 + 2
x2 + 2x

 

97. Запишіть у вигляді виразу час, який учень щоденно проводить у школі, якщо у нього k уроків по 45 хвилин.

98. В саду зірвали x мішків яблук по 25 кг у кожному. Запишіть у вигляді виразу масу всіх зірваних яблук. Знайдіть значення цього виразу, якщо х=24

99. Хлопчик за день проходить 16 км. Запишіть у вигляді виразу кількість кілометрів, які він проходить за m днів. Знайдіть значення цього виразу, якщо m = 4.

100. Запишіть у вигляді виразу час, який учень щоденно проводить у школі, якщо у нього а уроків по 45 хвилин, b перерв по 15 хвилин і c перерв по 10 хвилин. Обчисліть значення виразу, якщо a = 6; b = 2; c = 3.

101. В магазин привезли 30 шоколадок по х гривень кожна і 15 шоколадок по z гривень за кожну. Запишіть у вигляді виразу вартість кожної шоколадки.

Рівень Б

Знайдіть значення виразу:

102. а) 4,5∙(х – 7,85) + 3у, якщо х = 14,32, у = ;

б) (3 – h – k) ∙23, якщо h = – 15; k = 2.

103. а) (y – 7)∙z+1,5, якщо y = 14; z = 24

б) 0,9a + 4(b –1), якщо a = 5, b = 4.

104. За формулою S = vt знайдіть шлях (у кілометрах), якщо:

а) v = 120км/год; t = 0,8 год;            б) v = 120км/год; t = 10 год;

в) v = 15м/с; t = 4 год;                       г) v = 700м/хв; t = 23 с.

105. За формулою S = vt знайдіть шлях (у метрах), якщо:

а) v = 6м/с; t = 9 хв;                           б) v = 17км/год; t = 4 хв.

106. Для яких значень х значення виразу 5х – 8 дорівнює  – 13?

107. Для яких значень х значення виразу 6 – 3х дорівнює 12?

108. Для яких значень х  значення виразів дорівнюють одне одному:

а) 2х + 5х і 2(х + 5);

б) 1 + 3(0,5х + 5) і – 0,5х?

109. При деяких значеннях a і b значення виразу a – b дорівнює 2,25. Якого значення при таких самих а і b набуває вираз:

а) 4(a – b);             б) b – a;               в) ;                  г).

110. Запишіть формули цілих чисел, які при діленні на 3 дають остачу 1.

111. Запишіть формули цілих чисел, які при діленні на 7 дають остачу 2.

Запишіть у вигляді виразу число, яке має:

112. а) x десятків, та у одиниць;                  б) a сотень, та b одиниць;

в) v сотень, 3 десятка, w одиниць;               г) a тисяч, b сотень, c одиниць.

113. а) a сотень та b одиниць;                     б) 5 сотень, 2 десятка та 3 одиниці.

114. Запишіть у вигляді виразу площу поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами a см, b см, c см.

115. Запишіть у вигляді виразу площу поверхні куба з ребром b.

116. Порівняйте суму a + b та добуток ab, якщо:

а) a = 0; b = 2;                      б) a = – 3; b = 2.

117. При якому значенні х значення виразів 3х – 4 і – 2х + 7 рівні?

118. Запишіть у вигляді виразу суми грошей, в якій х монет номіналом а к., у монет номіналом 25 к. і z монет номіналом 50 к. Обчисліть цю суму, якщо х = 8; у = 5; z = 2.

119. Марічка купила n олівців по 25 к. і 4 зошити по m к., заплативши за зошити більше, ніж за олівці. На скільки більше заплатила Марічка за зошити, ніж за олівці? Запишіть результати у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 3, m = 65.

120. Із двох населених пунктів  одночасно на зустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 3 години. Один рухався зі швидкістю 120км/год, а інший зі швидкістю v км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами.

 

 

Рівень В

121. Число f  є добутком k натуральних чисел: f =1∙2∙3∙…∙k. Знайдіть f , якщо k = 5, k = 7. Скількома нулями закінчується запис числа f, якщо k =10; k=100.

122. Знайдіть найменше значення виразу: z² + 5; |z| – 3.

123. Знайдіть найбільше значення виразу: 1 – z²; 3 – |z|.

124. Запишіть формули цілих чисел, які при діленні на 7 дають остачу 2.

Знайдіть кількість таких чисел у межах від 50 до 200.

125. Запишіть формули цілих чисел, які при діленні на 3 дають в остачі 1, а при діленні на 4 дають в остачі 2.