Повторення АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ

Арифметична прогресія. Повторення: властивості, формули, приклади та задачі7–9 клас • узагальнення знань. Формули → властивості → застосування → тест1

1. Що таке арифметична прогресія?Послідовність (aₙ) називається арифметичною прогресією, якщо різниця між двома сусідніми членами стала. Цю сталу величину називають різницею прогресії та позначають d. Умова: aₙ₊₁ − aₙ = d.aₙ₊₁ = aₙ + d. Щоб отримати наступний член, додаємо d.d = aₙ₊₁ − aₙРізниця двох сусідніх членів.2

2. Як розпізнати арифметичну прогресію?1) Обчисліть різниці сусідніх членів.2) Якщо всі різниці однакові — це арифметична прогресія.3) Якщо різниці різні — послідовність не є арифметичною прогресією.2; 5; 8; 11; …d = 3 → арифметична прогресія.1; 2; 4; 8; …Різниці 1, 2, 4 → не арифметична.3

3. Основна формула n-го членаaₙ = a₁ + (n − 1)d. Знаходимо будь-який член прогресії, якщо відомі a₁, d і n. Приклад: a₁ = 4, d = 3. Знайдемо a₇.a₇ = 4 + (7 − 1)·3 = 4 + 18 = 22. Відповідь: a₇ = 22.4

4. Властивість середнього членаaₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2 Кожний член, крім першого й останнього, є середнім арифметичним сусідніх. Приклад: 7, x, 19 — три послідовні члени арифметичної прогресії.x = (7 + 19) / 2 = 13. Отже, x = 13.5

5. Формула суми перших n членів. Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 Зручно, коли відомі перший і n-й члени. Sₙ = n(2a₁ + (n − 1)d) / 2 Формула через a₁, d та n. Приклад: a₁ = 3, a₁₀ = 30. Тоді S₁₀ = 10(3 + 30)/2 = 165. Відповідь: S₁₀ = 165.6

6. Приклад: знайти a₁ і d. Дано: a₄ = 14, a₉ = 34. Знайти a₁ та d.a₄ = a₁ + 3d = 14.a₉ = a₁ + 8d = 34. Віднімемо перше рівняння від другого: 5d = 20, тому d = 4.a₁ + 3·4 = 14 ⇒ a₁ = 2. Відповідь: a₁ = 2, d = 4.7

7. Задача на знаходження номера члена. Дано: a₁ = 5, d = 3. Для якого n виконується aₙ = 41?aₙ = a₁ + (n − 1)d.41 = 5 + 3(n − 1).36 = 3(n − 1) ⇒ n − 1 = 12 ⇒ n = 13. Відповідь: 13-й член.8

8. Задача на суму. Знайти суму перших 20 членів прогресії: 4; 7; 10; …a₁ = 4, d = 3, n = 20.a₂₀ = 4 + 19·3 = 61. S₂₀ = 20(4 + 61)/2 = 10·65 = 650. Відповідь: 650.9

9. Практична задача. У першому ряду 12 місць, а в кожному наступному на 2 місця більше. Усього 10 рядів. Скільки місць?a₁ = 12, d = 2, n = 10.a₁₀ = 12 + 9·2 = 30. S₁₀ = 10(12 + 30)/2 = 210. Відповідь: 210 місць.10

10. Важливі властивості — пам’ятка. Якщо d > 0 — прогресія зростає; якщо d < 0 — спадає; якщо d = 0 — стала. Для трьох послідовних членів: aₙ₋₁, aₙ, aₙ₊₁ маємо 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Сума перших n членів: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1)d.11

11. Алгоритм розв’язування задач① Виписати відомі величини: a₁, aₙ, d, n, Sₙ.② Вибрати формулу відповідно до умови.③ Підставити дані та виконати обчислення.④ Перевірити, чи відповідає результат умові задачі.⑤ Записати відповідь з одиницями вимірювання, якщо вони є.12

12. Тест — перевір себе1. Яка різниця прогресії 5; 9; 13; …?А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 92. Якщо a₁ = 7, d = 2, то a₆ дорівнює: А) 15 Б) 17 В) 19 Г) 213. Три послідовні члени: 8, x, 20. Знайдіть x. А) 12 Б) 14 В) 16 Г) 1813

13. Тест — продовження4. Знайдіть S₁₀ для прогресії 2; 5; 8; …А) 145 Б) 150 В) 155 Г) 1605. a₁ = 10, d = −2. Який член дорівнює −8?А) 8-й Б) 9-й В) 10-й Г) 11-й6. Якщо a₄ = 11, a₈ = 23, то d дорівнює: А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 514

14. Тест — ще кілька завдань7. Формула n-го члена арифметичної прогресії: А) aₙ = a₁ + nd Б) aₙ = a₁ + (n − 1)d В) aₙ = a₁dⁿ Г) aₙ = nd − a₁8. Знайдіть a₁₅, якщо a₁ = −2, d = 4. А) 50 Б) 52 В) 54 Г) 569. Якщо d = 0, то прогресія: А) зростає Б) спадає В) стала Г) не визначена15

15. Тест — фінальні завдання10. Знайдіть S₈, якщо a₁ = 6, a₈ = 27. А) 120 Б) 132 В) 144 Г) 15611. Для прогресії a₁ = 3, d = 5 знайдіть a₁₂. А) 53 Б) 58 В) 63 Г) 6812. Яка послідовність є арифметичною прогресією?А) 2; 4; 8; 16 Б) 1; 4; 7; 10 В) 3; 6; 12; 24 Г) 5; 10; 20; 4016

Підсумок. Згадай три ключові формули: aₙ = a₁ + (n − 1)d; Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2; aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2. Під час розв’язування задач уважно визначай, які величини дано. Не поспішай: формула → підстановка → обчислення → перевірка.17