Позакласний захід до математичного тижня. Слідство ведуть колобки: "Математичні софізми і парадокси"

Про матеріал

По-перше, розбір софізмів, насамперед, розвиває навички логічного мислення, тобто прищеплює навички правильного мислення.

Зрозуміло! Якщо дитина доторкнеться до гарячого предмету, вона намагатиметься більш цього не робити. Так і учень, який усвідомив помилку, буде проявляти обережність у математичних міркуваннях.

Ну, а по-друге? По–друге, що особливо важливо, розбір софізмів допомагає свідомому засвоєнню математики, розвиває спостережливість, критичне відношення до того, що вивчається. І, нарешті, це просто цікаво!

Зміст слайдів
Номер слайду 1

Слідство ведуть колобки

Номер слайду 2

Як стати мільйонером(2 грн)2 = (200 коп)2 Піднесення до квадрату величин не має змісту2 грн. = 200 коп. Піднесемо ліву та праву частину рівності до квадрату:4 грн = 40000 коп. Отримаємо Де помилка?= 400грн.

Номер слайду 3

Так як 1:1=1, то 2∙2=5 Помилка зроблена при винесенні спільних множників 4 з лівої частини і 5 з правої. Насправді, 4:4=1:1, але 4:4≠4(1:1). Напишемо вираз 4:4=5:5. Винесемо з кожної частини рівності спільний множник за дужки, отримаємо:4(1:1)=5(1:1) або(2·2)(1:1)=5(1:1)Де помилка?2·2=5

Номер слайду 4

або2a = 2b, і остаточно a = b, т.б. ВСІ числа рівні між собою. Вилучаючи з обох частин рівності (a - b)2 = (b - a)2 квадратні корені, насправді отримаємо |a – b | = |b - a|, а розкриваючи знак модуля отримаємо: a - b = a – b. Візьмемо два довільних нерівних між собою числа a і b і запишемо для них очевидну тотожність:a2 - 2ab + b2 = b2 - 2ab + a2зліва та справа стоять повні квадрати, т.б. можемо записати(a - b)2 = (b - a)2 Вилучаючи з обох частин останньої рівності квадратні корені, отримаємо:a - b = b - a. Де помилка?всі числа рівні між собою.

Номер слайду 5

вага слона дорівнює вазі комаря

Номер слайду 6

І остаточно х=у, т.б. вага слона дорівнювати вазі комара. Нехай х – вага слона, у – вага комара. Позначимо їх суму через 2а:х+у=2а. З цієї рівності можна дістати ще дві:х-2а=-у та х=-у+2а. Перемножимо почленно останні дві рівності:(х-2а)х=-у(-у+2а)х2-2ах=у2-2ау. Додамо до останньої рівності а2 , отримаємох2-2ах+ а2=у2-2ау+ а2або(х - а)2 = (у - a)2а значить, х-а=у-а

Номер слайду 7

Помилка у міркуваннях аналогічна до помилки у попередньому прикладі, коли беручи квадратний корінь з виразів, повинні отримати модулі цих виразів. Де помилка?

Номер слайду 8

Три друга вирішили зупинитися на ніч в готелі і скинулися по 10 доларів на номер. Один з них пішов платити і з'ясував, що номер коштує 25 доларів. Не знаючи, як розподілити решту 5 доларів, він вирішив повернути кожному по долару, а два залишити собі. Питання з самого початку задано невірно! Долар нікуди не подівся, рахувати просто треба вміти.30-3=27 і при чому тут ще плюс 2, якщо пацан 2 узяв з цих 27?Задача про зо доларів. Де помилка?Виходить, кожен з них заплатив по 9 доларів і ще залишилося 2, в сумі 9x3 + 2 = 27 + 2 = 29. Куди зник ще один долар?

Номер слайду 9

64=65 або 8∙8=65𝑆=8∙8=64кв.од. S=12∙10∙13=65кв.од. 𝑆=5∙13=65кв.од. 

Номер слайду 10

У Стародавній Греції були філософи, які займалися навчанням учнів складанню софізмів. СОФІЗМ – це хибне міркування, яке видається за правильне. СОФІЗМ – грецького оходження (sophisma) і означає видумка, хитрість.

Номер слайду 11

Безмежні сходинки

Номер слайду 12

 «Краса – велика сила»«Краса потребує жертв»«Краса врятує світ» Парадокс про красуЄ три твердження: Як велика сила, що потребує жертв, може врятувати світ?

Номер слайду 13

Накреслимо на прямокутному аркуші 10 вертикальних ліній однакової довжини. Проведемо діагональ. Розріжемо прямокутник по діагоналі і зсунемо нижню частину вниз, як показано на малюнку. Порахуємо кількість вертикальних ліній.Їх стало 9! Парадокс з лініями

Перегляд файлу

”Математичні софізми і парадокси”

Мета заходу: формування критичного мислення, вміння уважно слухати та розуміти розв’язання математичних задач, чітко та аргументовано

висловлювати свої думки, розвивати спостережливість, навички логічного мислення

 

Вчитель.

 Доброго дня! Я і учні 11 класу раді вітати вас на нашому незвичайному заході, бо сьогодні у вас є унікальна можливість взнати, Як стати мільйонером... або зробити з мухи слона ... І довідатися, що двічі по два не завжди чотири.

Для цього нам треба провести розслідування. За нашим розслідуванням, щоб ми все зробили правильно,   невидимо для нас будуть спостерігати брати детективи - колобки. (1 слайд)

 

Учень1.

Я знаю спосіб швидко збільшити свій капітал та стати мільйонером.

2 грн. = 200 коп.

Піднесемо ліву та праву частину рівності до квадрату:

(2 грн)2 = (200 коп)2

 Отримаємо

4 грн = 40000 коп. =400грн.

Де помилка?

Піднесення до квадрату величин не має змісту

 

Учень2.

А я можу довести, що 2· 2=5

Напишемо вираз

4:4=5:5.

  Винесемо з кожної частини рівності спільний множник за дужки, отримаємо:

4(1:1)=5(1:1)

або

(2· 2)(1:1)=5(1:1)

   Так як 1:1=1, то 2· 2=5

 

Де помилка?

Помилка зроблена при винесенні спільних множників 4 з лівої частини і 5 з правої. Насправді, 4:4=1:1, але 4:4≠4(1:1).

 

Учень3.

А чи знаєте ви, що всі числа рівні між собою. Хочете доведу?

Візьмемо два довільних нерівних між собою числа a і b і запишемо для них очевидну тотожність:

a2 - 2ab + b2 = b2 - 2ab + a2

зліва та справа стоять повні квадрати, т.б. можемо записати

(a - b)2 = (b - a)2

Вилучаючи з обох частин останньої рівності квадратні корені, отримаємо:

a - b = b - a

або

2a = 2b, і остаточно a = b, т.б. всі числа рівні між собою.

 

 

Де помилка?

Вилучаючи з обох частин рівності (a - b)2 = (b - a)2 квадратні корені, насправді отримаємо |a – b | = |b - a|, а розкриваючи знак модуля отримаємо: a - b = a – b.

 

Учень4.

Чи може вага вага слона дорівнювати вазі комара?

Давайте розберемо це питання.

Нехай х – вага слона, у – вага комара. Позначимо їх суму через 2а:

х+у=2а

З цієї рівності можна дістати ще дві:

х-2а=-у та х=-у+2а

Перемножимо почленно останні дві рівності:

(х-2а)х=-у(-у+2а)

х2-2ах=у2-2ау

Додамо до останньої рівності а2 , отримаємо

х2-2ах+ а22-2ау+ а2

або

(х - а)2 = (у - a)2

а значить, х-а=у-а

І остаточно х=у, т.б. вага слона дорівнювати вазі комара.

Де помилка?

Помилка у міркуваннях аналогічна до помилки у попередньому прикладі, коли беручи квадратний корінь з виразів, отримаємо модулі цих виразів.

 

Учень5.

Класична задача про гроші.

Задача про 30 доларів: Три друга вирішили зупинитися на ніч в готелі і скинулися по 10 доларів на номер. Один з них пішов платити і з'ясував, що номер коштує 25 доларів. Не знаючи, як розподілити решту 5 доларів, він вирішив повернути кожному по долару, а два залишити собі. Виходить, кожен з них заплатив по 9 доларів і ще залишилося 2, в сумі 9x3 + 2 = 27 + 2 = 29. Куди зник ще один долар?

Де помилка?

Питання з самого початку задано невірно! Долар нікуди не подівся, рахувати просто треба вміти.

30-3=27 і при чому тут ще плюс 2,  якщо пацан 2 узяв з цих 27?

 

Учень 6.

Розглянемо квадрат зі стороною 8 одиниць. Його площа відповідно дорівнює 64 кв.од.

Розріжемо його, як показано на малюнку і складемо з цих частин нову фігуру – трикутник.

Не важко побачити, що площа цього трикутника дорівнює

J:\тиждень математики\949b4c65acb3.gif10∙13:2=65 кв.од.

Або складемо прямокутник. І знову бачимо, що його площа дорівнює 5∙13=65 кв.од.

Можемо зробити такі висновки: або 64=65, або 8∙8=65.

 

В чому помилка?

Втрати і прирости площі пояснюються невеликими перекриттями або просвітами уздовж розрізів.

Вчитель.

Ви дуже цікаво розповідаєте, але все ж таки  всі міркування, викладені вами, в математиці називаються одним словом – софізм.

СОФІЗМ  (від грецького sophistes – той хто вміє мудрувати, дотепно вигадувати) – логічно недостатній умовивід, в якому хибні посилки видаються за істинні або робиться висновок з порушенням законів логики.

Софізм заснований на навмисному, свідомому порушення правил логіки. Яким би не був софізм, він завжди містить одну або кілька замаскованих помилок. Математичний софізм – дивовижне твердження, доведення якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки.

Софізми з'явилися ще в Стародавній Греції. Вони тісно пов'язані з філософської діяльністю софістів — платних учителів мудрості, що учили всіх бажаючих філософії, логіки і, особливо, риторики (науці і мистецтву красномовства).

Одне з основних завдань софістів полягало у тому, щоб навчити людину доводити (підтверджувати або спростовувати) все, що завгодно, виходити переможцем з будь-якого інтелектуального змагання. Для цього вони розробляли різноманітні логічні, риторичні і психологічні прийоми.

До логічних прийомів нечесного, але вдалого ведення дискусії і відносяться софізми.

Але крім софізмів у математиці і не тільки, використовують і парадокси.

ПАРАДОКС  (грецьке paradoxos – дивний, несподіваний) – несподівані явища або висловлювання, які формою або змістом суперечать нашим знанням і уявленням. У парадоксах можуть висловлюватись істинні думки, які дуже розходяться з нашими уявленнями або форма висловлювання яких несподівана. Здебільшого в парадоксах висловлюють неправильні твердження в зовнішньо переконливій формі.

Наприклад:

Безмежні сходинки. Вони представляють головний мотив цієї картини. Прямокутник внутрішнього дворика замкнутий стінами будівлі, у якої замість даху - нескінченні сходинки.

Або парадокс «Про красу».

 

Є три твердження:

 

«Краса – велика сила»

«Краса потребує жертв»

«Краса врятує світ»

 

Як велика сила, що потребує жертв, може врятувати світ?

    Парадокс!

 


 

Спробуємо практично розібрати ще один математичний парадокс.

Парадокс з лініями

12354 копия.pngНакреслимо на прямокутному аркуші 10 вертикальних ліній однакової довжини. Проведемо діагональ. Розріжемо прямокутник по діагоналі і зсунемо нижню частину вниз, як показано на малюнку. Порахуємо кількість вертикальних ліній.

Їх стало 9!

 

 

 

 

 

А зараз ви самостійно зробите парадокс. «Об’ємна рука».

K:\576853_html_2589e18c.png

І на самий останок. Проведемо ще один експеримент. «Множення двозначних і тризначних чисел методом прямих».

 

Підсумок.

А чим корисні софізми для тих, хто вивчає математику?

По-перше, розбір софізмів, насамперед, розвиває навички логічного мислення, тобто прищеплює навички правильного мислення.

Зрозуміло! Якщо дитина доторкнеться до гарячого предмету, вона намагатиметься більш цього не робити. Так і учень, який усвідомив помилку, буде проявляти обережність у математичних міркуваннях.

12354 копия.png12354 копия.png12354 копия.png12354 копия.pngНу, а по-друге? По–друге, що особливо важливо, розбір софізмів допомагає свідомому засвоєнню математики, розвиває спостережливість, критичне відношення до того, що вивчається. І, нарешті, це просто цікаво!

1

 

zip
Додано
23 жовтня 2018
Переглядів
229
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку