Практичне заняття на тему "Розв’язування задач на конус"

Інструкційна картка

до проведення практичного заняття  (2 год).

Тема заняття. Розв’язування задач на конус

Мета проведення заняття:

- навчальна: удосконалити вміння розв’язувати задачі , що передбачають застосування поняття конуса та його елементів;

- розвивальна: розвивати самостійність, увагу, пам'ять

- виховна: виробляти гнучкість та самостійність мислення, привітність, старанність;

- компетентності, що формуються:

∙ спілкування державною мовою – грамотно висловлюватися рідною мовою, аргументувати, доводити правильність тверджень;

∙ уміння вчитися впродовж життя - прагнути до вдосконалення результатів своєї діяльності.

Після виконаної роботи студент повинен:

∙ знати: формули бічної та повної поверхні конуса, формули площі осьового перерізу конуса;

∙ вміти: будувати конус  його осьовий переріз, перерізи конуса , знаходити елементи конуса, площі бічної та повної поверхні.

Матеріально-технічне оснащення заняття: таблиця «Конус. Перерізи конуса», опорні конспекти.

Тип практичного заняття: удосконалення поточних навиків та умінь Рекомендована література:

- основна: Мерзляк Ф.Г. Математика: алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту: підруч. для 11 кл. закладів  загальної  середньої  освіти / А.Г.Мерзляк, Д.А.Номіровський, В.Б.Полонський та їн. – Х. : Гімназія, 2019, - 208 с. : іл.             §5 , п.20. стр.128

- допоміжна: Бевз Г.П. Математика:11 кл.: підруч. для загальноосвіт. навч. закл.: рівень стандарту/  Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. 2-ге вид. – К.: Генеза,2012. – 320с.: іл.. – Бібліогр.: с.294

- Сучасна підготовка до ЗНО з математики / Ю.О.Захарійченко, О.В.Школьний, Л.І.Захарійченко, О.В.Школьна.- Кам’янець-Подільський

Хід заняття

1 Організаційна частина заняття

1.1 Повідомлення теми, мети заняття

Розв’язування задач на конус

1.2 Актуалізація опорних знань студентів

Відповісти на запитання

- Що називається конусом?

- Що є основою конуса?

- Дайте означення радіуса і висоти конуса.

- Що називається осьовим перерізом конуса?

- Запишіть формули бічної та повної поверхні конуса.

- Сформулюйте правила співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

1.3 Мотивація навчальної діяльності

  Вміння будувати просторові фігури на площині,  перерізи фігур, визначати їх елементи дає можливість вам у подальшому застосувати свої знання при вивчені спеціальних предметів, а саме в інженерній графіці, техніки промислового рибальства та інших.

1.4 Коротке теоретичне обґрунтування до роботи

Конус та його властивості

Конус

Твірні конуса рівні SA = SB

1.4.1 При обертанні прямокутного трикутника

навколо його катета як осі утворюється  конус

, пряма SO – вісь конуса

1.4.2 Площа бічної поверхні конуса    

1.4.3  Площа повної поверхні конуса                                  

S_п.п.= π∙R∙L + π

R – радіус основи,  L – твірна, Н – висота конуса.

1.4.4  ΔSAB – осьовий переріз конуса

ΔSAB – рівнобедрений

SA = SB (SA i  SB - твірні)

2 Формування вмінь і навичок студентів. Зміст основної частини заняття

2.1 Розв’язування типових прикладів (ознайомитися)

 Приклад 1. Розв’язати задачу

Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник, периметр якого дорівнює 36см. Обчисліть площу основи конуса.

Розв’язання

Трикутник АSВ рівносторонній.

Р=3а = 36 см.

36 = 3∙а

                                                                                                                                                 а = 12см

АВ=12см,            R=АО= AB = 6см

S_осн.= πR² = 36πсм²                                                         Відповідь: 36πсм²

Приклад 2 Розв’язати задачу

Площа основи конуса дорівнює 36πсм². Знайдіть площу осьового перерізу конуса, якщо відомо, що цей переріз – прямокутний трикутник.

(Див. рисунок до попередньої задачі)

Розв’язання

S_осн.= πR² = 36πсм²                                

R² = 36

R =6 см

АВ=2 R= 12 см

Трикутник АSВ рівнобедрений, ˂ ASB = 90^°, АS = SВ , SО – висота, медіана, бісектриса. SО=АО∙sin45°= 6· =3cм.

S_ABC=                 Відповідь:

Приклад 3 Розв’язати задачу

Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює 60^° проведено площину. Ця площина перетинає основу конуса по хорді завдовжки 8см, що стягує дугу, градусна міра якої дорівнює 90^°. Знайдіть площу бічної поверхні конуса.

Дано: Конус, (АВС) – переріз,

,, AB=8cм.

Знайти : S_б.п.

Розв’язання

S_{б.п .=} π∙R∙L

Трикутник АВ рівнобедрений, , – висота, медіана, бісектриса. КА= 4см, , КА= ∙sin30°,

                                  4 = SA∙

                                   SA = 8см.

 L=8см.

Трикутник ВОА,  , рівнобедрений, ОВ=ОА, ОК- висота, медіана, бісектриса.

Трикутник ОКА, ˂ОКА=90°, КА= ОА∙sin45°,  ОА=КА : sin45° =4  = 2см.

R=2

Маємо, S_{б.п .=} π∙R∙L= π∙2∙8 = 16π(см²)

Відповідь: 16π см²

2.2 Розв’язати задачі згідно свого варіанта

3 Узагальнення

3.1 Запишіть формули площ бічної та повної поверхні конуса.

3.2  Дайте означення прямокутного конуса. (осьовий переріз – прямокутний трикутник).

3.3 Сформулюйте правила співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника.

Підведення підсумків.

        Поточний контроль виконання роботи.

Оцінювання студентів.

Індивідуальне завдання до практичної роботи

Тема: Розв’язування  задач на конус.

Варіант №1

1. Укажіть фігуру, якою є осьовий переріз конуса, якщо кут між твірною і висотою конуса дорівнює 30°.                                                                                            (1 бал)

2. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Знайдіть висоту конуса, якщо радіус його основи дорівнює 6см.                                                           (2 бали)

3. Висота конуса дорівнює 6см, а довжина кола  його основи - 16π см. Чому дорівнює твірна конуса?                                                                              ( 2 бали)

4.Твірна зрізаного конуса дорівнює 5см, а радіус основи -3см і 6см. Обчисліть площу осьового перерізу цього конуса і площу повної поверхні конуса.               (2 бали)

5. Прямокутний трикутник з катетами 2 і 6 обертають навколо більшого катета. Для утвореного конуса знайдіть: твірну ; площу основи; площу бічної поверхні, площу повної поверхні.                                                                                                          (2 бали)

 6. Через дві твірні конуса проведено площину, що перетинає основу конуса по хорді, довжина якої дорівнює 10см. Твірна і висота конуса відповідно дорівнюють 13см і 5см. Знайдіть площу перерізу конуса.                                                                     (3 бали)

Варіант №2

1. Укажіть фігуру, якою є осьовий переріз конуса, якщо його твірна у два рази більша за радіус основи.                                                                       (1 бал)

2. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник. Знайдіть радіус основи конуса, якщо його висота дорівнює 3см.                                                       (2 бали)

3. Твірна конуса дорівнює 13см, а площа його основи – 25 см² . Чому дорівнює висота конуса?                                                                                                (2 бали)

4. Твірна зрізаного конуса дорівнює 15см, а радіус основи -26см і 35см. Знайдіть відстань від центра меншої основи до точки більшого кола.                             (2 бали)

5. Прямокутний трикутник з катетами 4 і 2 обертають навколо меншого катета. Для утвореного конуса знайдіть: твірну ; площу основи; площу бічної поверхні, площу повної поверхні .                                                                                                   ( 2бали)

6.Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює 60^°, проведено переріз, площа якого дорівнює 4 см². Знайдіть кут між площиною перерізу й площиною основи конуса, якщо переріз відтинає від кола дугу 90^°.                                                  (3 бали)

Варіант №3

1. Твірна і площа основи конуса відповідно дорівнюють 17см і 64 см². Чому дорівнює висота конуса?                                                                              (1 бал)

2. Висота конуса дорівнює 12см , а площа основи конуса дорівнює 25π  см². Знайдіть довжину твірної конуса.                                                                (2 бали)

3. Висота конуса 20см, а діаметр його основи – 40см. Знайдіть кут при вершині осьового перерізу конуса.                                                              (2 бали)

4. Площі основ зрізаного конуса дорівнюють 4π см² і 16π см². Через середину висоти проведено площину паралельно основі. Обчисліть площу перерізу.   (2 бали)

5. Рівнобедрений прямокутний трикутник обертають навколо одного з його катетів. У результаті обертання утворився конус. Визначте радіус основи і площу осьового перерізу цього конуса, якщо площа трикутника дорівнює 12,5.                         (2 бали)

6. Твірна конуса утворює з його основою кут 30°. Визначити повну поверхню конуса, якщо площа перерізу, що проходить через твірні, кут між якими 120°, дорівнює 4 см².                                                                                                                       (3 бали)

 Варіант №4

1. Висота конуса дорівнює см і утворює кут 30^° з його твірною. Чому дорівнює радіус основи конуса?                                                                                            (1 бал)

2. Площа основи конуса дорівнює 36π  см² . Знайдіть площу осьового перерізу конуса, якщо відомо, що цей переріз – прямокутний трикутник.              (2 бали)

3 . Висота конуса 30см, а його твірна – 60см. Знайдіть кут при вершині осьового перерізу конуса.                                                                                                ( 2 бали)

 4. Твірна зрізаного конуса дорівнює 20см, а радіус основи -12см і 28см. Обчисліть площу осьового перерізу конуса і площу поверхні зрізаного конуса.                      (2 бали)

5.  Рівнобедрений прямокутний трикутник обертають навколо одного з його катетів. У результаті обертання утворився конус. Визначте радіус основи і площу осьового перерізу цього конуса, якщо площа трикутника дорівнює 7.                    (2 бали)

6. Осьовим перерізом конуса є правильний трикутник зі стороною 2а см. Обчисліть площу перерізу, проведеного через дві твірні,кут між якими дорівнює 60^°.            (3 бали)