Правильні многогранники 11 клас

правильні многогранникис. Тоцька г. в., вчитель математики. Добровеличківський ззсо і-ііі ступенів № 2,кіровоградська область

“Правильних многогранників надзвичайно мало, але цей дуже скромний за кількістю загін зумів пробитись у найбільші глибини різних наук”. Л. Керролл. Епіграф:

Мета уроку: сформувати в учнів поняття про правильні многогранники; ознайомити з  видами правильних многогранників: тетраедром, кубом, октаедром, додекаедром, ікосаедром.

МногогранникиЇх створюють люди…Їх створює природа…

Многогранник - це тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості многокутників. Сторони граней називаються ребрами. Елементи многогранника: Многокутники, які обмежують многогранник, називають його гранями. Кінці ребер називаються його вершинами. Відрізок, який сполучає дві вершини, що не належать одній грані, - діагональ многогранника

Многогранники. НеопукліОпуклі

«Правильна призма»«Правильна піраміда»

Правильний многогранник — це опуклий многогранник, у якому всі грані — рівні правильні многокутники й у кожній вершині сходиться однакове число ребер. Куб (гексаедр)Тетраедр. Всі ребра правильного многогранника рівні між собою

Існує всього п’ять видів правильних многогранників. Доведення Евкліда

Таким чином, вершина правильного многогранника може бути вершиною:трьох, чотирьох або п’яти правильних трикутників;трьох квадратів;трьох правильних п’ятикутників. Отже, існує 5 видів правильних многогранників:

Правильний тетраедр. Складається з чотирьох правильних трикутників, в кожній вершині сходиться по 3 ребра. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 3•60° = 180° < 360°. Має 4 грані, 4 вершини і 6 ребер.

Складається з восьми правильних трикутників, в кожній вершині сходиться по 4 ребра. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 4•60° = 240° < 360°. Має 8 граней, 8 вершин і 12 ребер. Правильний октаедр

Складається з двадцяти правильних трикутників, в кожній вершині сходиться по 5 ребер. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 5•60° = 300° < 360°. Має 20 граней, 12 вершин і 30 ребер. Правильний ікосаедр

Складається з шести квадратів, в кожній вершині сходиться по 3 ребра. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 3•90° = 270° < 360°. Має 6 граней, 8 вершин і 12 ребер. Правильний гексаедр

Складається з дванадцяти правильних п‘ятикутників, в кожній вершині сходиться по 3 ребра. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 3•108° = 324° < 360°. Має 12 граней, 20 вершин і 30 ребер. Правильний додекаедр

ікосаедр двадцятигранник додекаедр дванадцятигранник октаедр восьмигранник гексаедр шестигранник тетраедр чотиригранник

Факт існування тільки п’яти видів правильних многогранників був встановлений ще в часи стародавніх греків.

Кубок Кеплера

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Правильний многогранник. Число. Вершин. Граней. Ребер. Тетраедр446 Куб6812 Октаедр8612 Додекаедр122030Ікосаедр201230 Таблиця 1 Таблиця 2 Сума числа граней та вершин дорівнює числу ребер, збільшеному на 2 Г + В = Р + 2- формула Ейлера

Репродукції ілюстрацій Леонардо да Винчи для книги Луки Пачолі «Про божествену пропорцію»

 Сальвадор Далі

Мауріц Корнеліс Ешер(1898-1972р)Голандський художник

На гравюрі "Чотири тіла» Ешер зобразив перетин основних правильних многогранників

Альберхт Дюрер(1471-1528р)Гравюра«Меланхолія»

Многогранники в природі

Кристалічна решітка соліКристали соліАлмаз

Молекула метану має форму тетраедра

Атом бору має форму ікосаедра

Віруси. Природа в формах правильних многогранників упоралась з карколомною задачею: знайти тіло, яке за заданого об'єму має найменшу поверхню і утворена з однакових найпростіших фігур. Цим досягається максимальна економія генетичної інформації. Вірус імунодефіциту людини. Віруси

Феодарія. Скелет одноклітинного організму феодарії по формі нагадує ікосаедр. Ікосаедр має найбільший об΄єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму витримувати тиск води.

Архімедові тіла — опуклі многогранники, у яких всі грані є правильними многокутниками двох чи більше типів. Для довільної пари вершин існує симетрія многогранника, що переводить одну вершину в іншу.

Зірчастою формою многогранника називається многогранник, отриманий шляхом продовження граней даного многогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями по новим ребрам.

Розгортки правильних многогранників