ПРАВИЛЬНІ ТА НЕПРАВИЛЬНІ ДРОБИ

Очікувані    результати: учні повинні розрізняти правильні та неправильні дроби; розв’язувати задачі, що передбачають застосування цих понять; уміти виконувати порівняння правильного й неправильного дробу з одиницею та між собою.

Мотивація навчальної діяльності

Створити відповідну мотивацію можна, запропонувавши для обговорення задачі.

Задача 1

На день народження Іванка спекли пиріг, який порівну поділили між десятьма запрошеними. Але один із запрошених повідомив, що приїхати не зможе. Яку частину пирога отримав кожний з дев’яти прибулих гостей? Яка частина пирога залишилася? Яку частину пирога з’їли всі присутні, якщо ніхто не відмовився та не просив добавки?

(Кожний отримав  частину; залишилася  частина; з’їли  частин.)

Задача 2

На день народження Іванка спекли пиріг, який порівну поділили між десятьма гостями. Яку частину пирога з’їв кожний? Яку частину пирога з’їли, якщо ніхто не відмовлявся від частування?

(Кожний отримав  частину, а всього з’їли  пирога, тобто 1 пиріг.)

Задача 3

На день народження Іванка спекли два однакових пироги, обидва поділили порівну на 10 рівних частин за кількістю запрошених. Гості з’їли по одному шматочку, а потім двоє з них попросили ще по одному шматочку від другого пирога. Яку частину пирогів з’їли всі гості разом?

(Гості з’їли  частин пирогів, бо кількість частин ділення — 10, а кількість узятих таких частин — 12.)

Висновки:

1)    існують звичайні дроби, чисельник яких може бути меншим від знаменника ⎛⎜⎝109 ⎞⎟⎠ , якщо кількість узятих частин менша від кількості частин ділення, — правильні дроби;

2)    існують звичайні дроби, чисельник яких може дорівнювати знаменнику ⎝⎛⎜1010⎞⎟⎠ , якщо взято всі частини ділення, тому =1 — неправильні дроби;

3)    існують звичайні дроби, чисельник яких може бути більшим за знаменник (якщо взято не один, а декілька однакових предметів, які поділено на рівну кількість частин, і взята кількість частин, більших за ту, що складають цілий предмет), — неправильні дроби.

Найближчим часом ми вивчимо означення правильних і неправильних дробів, навчимося порівнювати їх з одиницею та між собою.

Із метою розширення знань учнів можна запропонувати коротку довідку про походження термінів правильний і неправильний дріб (див. «Корисні цікавинки»).

Актуалізація опорних знань

¾ Фронтальна робота

1.    Як називають записи:  ,  ,  ?

2.    Як називають число, записане над рискою дробу? під рискою дробу?

3.    Що показує знаменник дробу? чисельник дробу?

4.    Прочитайте дроби  ,  ,  ,  ,  . Укажіть чисельник і знаменник кожного з дробів.

5.    Серед дробів  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  виберіть ті, у яких:

1)     чисельник менший від знаменника;

2)     чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

6.    Яблуко розрізали на 5 рівних частин і з’їли 2 таких частини. Яку частину яблука з’їли?

7.    Зібрали  усього врожаю пшениці. Що це означає?

8.    Довжина відрізка дорівнює  метра. Виразіть довжину відрізка в сантиметрах.

План вивчення нового матеріалу

1.    Означення правильного дробу.

2.    Означення неправильного дробу.

3.    Порівняння правильного дробу з одиницею.

4.    Порівняння неправильного дробу з одиницею у випадку, якщо: y чисельник і знаменник неправильного дробу рівні між собою; y чисельник неправильного дробу більший за знаменник.

5.    Порівняння правильного й неправильного дробів між собою.

Приклади завдань, що сприяють засвоєнню нового матеріалу

¾ Усні вправи

1.    З-поміж дробів ; ; ; ; ; ; ;  виберіть:

1)     правильні;

2)     неправильні.

2.    Назвіть усі правильні дроби зі знаменником 8.

3.    Назвіть усі неправильні дроби з чисельником 8.

4.    Назвіть 3 правильних дроби, чисельник яких більший за 100.

5.    Назвіть 3 неправильних дроби, знаменник яких більший за 200.

6.    З-поміж дробів , , , ,  виберіть ті, які менші від одиниці.

5. З-поміж дробів , , , ,  виберіть ті, які більші за одиницю.

7.    З-поміж дробів ; , , ,  виберіть ті, які дорівнюють одиниці.

8.    Ліворуч чи праворуч від одиниці на координатному промені розміщений дріб:

1) ;                                                          2) ;                                                              3)

Відповідь обґрунтуйте.

¾ Письмові вправи

n

1.        Запишіть усі натуральні значення n, при яких дріб  буде правильним.

11

10

2.        Запишіть усі натуральні значення m, при яких дріб                  буде неправильним.

m

3.        Готуючись до контрольної роботи, Тарас запланував розв’язати 10 задач. Тарас любив математику, тому розв’язав  запланованих задач. Скільки задач розв’язав Тарас? На скільки задач він перевиконав план?

4.        Турист першого дня пройшов 18 км, що становить  шляху, який він має подолати другого дня. Скільки кілометрів має пройти турист другого дня?

5.        Туристи протягом двох днів мали подолати певну відстань. Першого дня вони планували подолати  усієї відстані, але подолали  усієї відстані. Більшу чи меншу відстань, ніж планували, подолали туристи?

6.        Оксана зліпила декілька вареників, а Марійка —  кількості вареників, зліплених

Оксаною. Хто з них більше зліпив вареників? Скільки вареників зліпила Оксана, якщо Марійка зліпила 18 вареників?

7.        Порівняйте числа:

1)                        і 1;           3)  і 1;               5)  і ;

2)                        і 1;           4)  і ;           6)  і

5

8.        При яких натуральних значеннях x дріб        більший за одиницю? x x

9.        При яких натуральних значеннях x дріб        менший від одиниці?

8

10.    Накресліть координатний промінь, узявши за одиничний відрізок 5 клітинок зошита.

Позначте на цьому координатному промені точки з координатами:  ;  ;  ;  ;  ;  .

11.    При якому значенні x дорівнює одиниці дріб:

                  x +5                                                                                                    12

1)                       ;    2)            ?

                     9                                                                                                     x −4

12.    При яких натуральних значеннях m дріб  буде неправильним?

¾ Завдання для учнів, які мають підвищений інтерес до вивчення математики

                                                                                                                           x             6                                                             8

1.    При яких натуральних значеннях x дроби і — правильні, а дріб  — неправильний? ^{10 x x}

Відповідь: 7 і 8.

2.    При якому значенні a виконується рівність =?

Відповідь: при a = 9.

3.    Для натуральних чисел a, b, c і d виконуються нерівності a < <b           c < d. Порівняйте дроби a             c  і

d    b

                    a     c

Відповідь: <

                    d     b

Приклади завдань для підбиття підсумків уроку, перевірки домашнього завдання

¾Бліцопитування

1.    Який дріб називають правильним? Наведіть приклади.

2.    Який дріб називають неправильним? Наведіть приклади.

a

3.    З-поміж чисел 6, 19, 13, 7, 15, 21, 10, 1, 14 виберіть ті, при яких дріб     буде правильним.

13

16

4.    З-поміж чисел 8, 10, 17, 23, 18, 16, 1, 5, 15 виберіть ті, при яких дріб     буде b неправильним.

5.    У яких випадках дріб:

1)     менший від одиниці;

2)     більший за одиницю;

3)     дорівнює одиниці? Наведіть приклади.

6.    Який із дробів більший — правильний чи неправильний? z

7.    Чи існує таке значення             z, при якому дріб                           буде одночасно і правильним,

5 і неправильним?

¾Математичний диктант

1.    Дріб називають правильним, якщо...

2.    Якщо знаменник дробу менший від чисельника, то дріб називають...

3.    Якщо чисельник і знаменник дробу рівні, то дріб називають…

4.    Із дробів  ,  ,  ,  ,  (записаних на дошці) випишіть правильні.

5.    Запишіть три неправильних дроби з чисельником 9. x

6.    Дріб                  є правильним при таких натуральних значеннях x :... 6

7

7.    Дріб                  — неправильний. Отже, x може набувати таких натуральних значень...

x

8.    При y =5 дріб ^y є ... (правильним / неправильним).

5

3x

9.    Дріб                  є правильним при таких натуральних значеннях x :… 12

Тестові завдання Варіант 1

Укажіть букву, що відповідає правильній відповіді.

1. Який із наведених дробів неправильний?

А	Б	В	Г
2. Скільки серед дробів  ,  ,  ,  правильних?
А	Б	В	Г
Один	Два	Три	Чотири
Варіант 2 Укажіть букву, що відповідає правильній відповіді. 1. Який із наведених дробів правильний?
А	Б	В	Г
2. Скільки серед дробів  ,  ,  ,  неправильних?
А	Б	В	Г
Один	Два	Три	Чотири

Відповіді

           Варіант 1: 1. В. 2. Б.                                                                  Варіант 2: 1. Б. 2. В.

¾ Робота на картках із друкованою основою

Кожний із дробів ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;  запишіть у відповідну ко- мірку таблиці. У дужках запишіть назву дробів (правильні чи неправильні) у кожному зі стовпчиків таблиці. Дроби, що менші від 1          (                                                                                                                                                                                                 ) Дроби, що більші за 1          (                                                                                                                                                                                                 ) Дроби, що дорівнюють 1          (                                                                                                                                                                                                 )

Тестові завдання з подальшою самоперевіркою і самооцінюванням

Укажіть букву, що відповідає правильній відповіді. x

1.    При якому з наведених значень x дріб            менший від одиниці? 12

А	Б	В	Г
14	13	12	11

14

2.    При якому з наведених значень x дріб            дорівнює одиниці? x

А	Б	В	Г
4	14	15	Таких значень x не існує
3. Яка з наведених нерівностей неправильна?
А	Б	В	Г
1>	1<	>	>

4. Чисельник деякого дробу менший від його знаменника. Який із наведених висновків щодо цього дробу є правильним?

А	Б	В	Г
Дріб більший за одиницю	Дріб менший від одиниці	Дріб дорівнює одиниці	Дріб більший або дорівнює одиниці

Відповіді

1. Г. 2. Б. 3. В. 4. Б.

¾Робота в парах y Обговоріть план виконання завдань. y Розподіліть, хто виконуватиме завдання варіанта 1, а хто — варіанта 2. y Виконайте завдання та здійсніть взаємоперевірку. y Здайте роботу вчителеві / учительці для оцінювання.

Варіант 1

Порівняйте значення величин:

1)  км і 2500 м;                                      2)  доби і 30 год;                                    3)  кг і 1400 г.

Варіант 2

Порівняйте значення величин:

1)  год і 100 хв;                                       2)  м і 102 см;                                        3)  року і 20 міс.

¾ Робота в групах (дослідницька робота)

Мета: переконатися, що правильний дріб менший від одиниці, а неправильний — більше або дорівнює одиниці.

y   Оберіть серед членів групи того, хто координуватиме роботу й відповідатиме за її кінцевий результат. y Складіть план роботи.

y   Розподіліть, хто який пункт плану виконуватиме. y Виконайте завдання. y Зробіть висновки. y Здайте роботи вчителеві / учительці для оцінювання.

Кожному учневі потрібно видати по дві паперові моделі круга й запропонувати розділити (розрізати) кожну з них на чотири рівні частини. Далі учні виконують завдання, відповідають на запитання, доходять необхідних висновків.

Завдання 1

Складіть фігуру з трьох частин, на які ви розрізали круги. Дайте відповіді на запитання.

1.    Яку частину цілого ви використали?

2.    Правильним чи неправильним є цей дріб?

3.    Чи вистачило частин одного круга, щоб скласти таку фігуру?

4.    Чи всі частини одного круга були використані? Зробіть висновок.

Завдання 2

Складіть фігуру з п’яти частин, на які ви розрізали круги. Дайте відповіді на запитання.

1.    Яку частину цілого ви використали?

2.    Правильним чи неправильним є цей дріб?

3.    Чи вистачило частин одного круга, щоб скласти таку фігуру? Зробіть висновок.

Завдання 3

Складіть фігуру з чотирьох частин, на які ви розрізали круги. Дайте відповіді на запитання.

1.    Яку частину цілого ви використали?

2.    Правильним чи неправильним є цей дріб?

3.    Чи вистачило частин одного круга, щоб скласти таку фігуру?

4.    Чи всі частини одного круга були використані?

Зробіть висновок.

¾ Методична гра «Естафета»

Учитель / учителька об’єднує всіх учнів класу у 2–3 команди (залежно від кількості учнів у класі). На вчительському столі розкладають картки (за кількістю учнів у класі), на оборотній стороні яких написано дроби. На дошці окремо для кожної команди прикріплюють таблички з написами «Менші від одиниці», «Дорівнюють одиниці», «Більші за одиницю». Члени команд по черзі підбігають до столу, беруть картку та прикріплюють її під відповідною табличкою. Перемагає команда, яка першою впорається із завданням — дасть більше правильних відповідей.

¾ Самостійна робота

Варіант 1

1.    При яких натуральних значеннях a дріб:

                 9                                                                                                             a

1)      неправильний;            2)             правильний? a            12

2.    Марічка й Оленка збирали гриби. Кількість грибів, зібраних Оленкою, становить  кількості грибів, зібраних Марічкою. Хто з дівчат зібрав більше грибів?

Варіант 2

1.    При яких натуральних значеннях b дріб:

b

1)        правильний;

8

11

2)        неправильний? b

2.    Олег і Максим ловили рибу. Кількість рибин, які зловив Максим, становить  кількості рибин, які зловив Олег. Хто з хлопчиків виловив більше риби?

Відповіді

Варіант 1:                                                                                     Варіант 2:

1.    1) при a =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;           1. 1) при b =1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7;

2) при a =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.                                        2) при b =1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

2.    Оленка.        2. Максим.

Корисні цікавинки

ХТО ЗАПРОВАДИВ ТЕРМІНИ  «ПРАВИЛЬНИЙ ДРІБ» І «НЕПРАВИЛЬНИЙ ДРІБ»?

Терміни «правильний дріб» і «неправильний дріб» 1747 року ввів у вжиток математик Сегнер.

Янош Андраш Сегнер, або Іоганн Андреас фон Зегнер, (1704–1777) — угорський і німецький математик, механік і медик. Його дослідження стосуються різних галузей математики, фізики й техніки. Зокрема 1750 року Сегнер винайшов одну з перших у світі реактивних гідравлічних турбін (сегнерове колесо). Сегнер написав декілька підручників із математики, найвідомішим із яких є «Курс математики» (1756 р.).

ПЕРЕДМОВА

Посібник містить матеріали до уроків, що відповідають вимогам нового Державного стандарту базової середньої освіти (30 вересня 2020 року), типової освітньої програми для 5–9 класів закладів загальної середньої освіти (наказ МОН № 235 від 19.02.2021 року), а також вимогам модельних навчальних програм «Математика. 5–6 класи» для закладів загальної  середньої освіти авторів: y Беденко М. В., Клочко І. Я., Кордиш Т. Г., Тадеєв В. О. y Бурда М. І., Васильєва Д. В. y Василишин М. С., Миляник А. І., Працьовитий М. В., Простакова Ю. С., Школьний О. В. y Істер О. С. y Мерзляк А. Г., Номіровський Д. А., Пихтар М. П., Рубльов Б. В., Семенов В. В., Якір М. С. y Радченко С. С., Зайцева К. С. y Скворцова С. О., Тарасенкова Н. А.

Теми, що пропонують для вивчення автори окремих модельних програм, позначені зірочкою, і до них подано виноски з переліком відповідних програм.

До кожної теми посібника наведені очікувані результати роботи над темою, де перераховані знання й уміння, які учні мають набути в результаті вивчення теми. Авторка також пропонує способи мотивації навчальної діяльності учнів, спираючись на практичний досвід учнів і завдання практичного змісту, наводить орієнтовний план вивчення теми з короткими методичними коментарями до деяких питань.

Для перевірки домашнього завдання та підбиття підсумків уроку запропоновано різноманітні види робіт, серед яких усне бліцопитування, робота на картках із друкованою основою, тестове завдання, завдання на встановлення відповідності, робота в парах і групах, самостійна робота тощо. Серед прикладів завдань, що сприяють засвоєнню нового матеріалу, є усні та письмові вправи, які вчитель / учителька може використовувати як додаткові завдання або як завдання, альтернативні тим, що наведені в підручнику. До тем, що традиційно викликають утруднення учнів, наведено картки-підказки. Для учнів, які мають підвищений інтерес до вивчення математики, підібрані додаткові завдання на творче застосування знань. Майже в кожній темі наведено дидактичну гру відповідно до віку п’ятикласників, що сприяє підвищенню інтересу до вивчення математики, а отже, й кращому засвоєнню знань. Учитель / учителька на власний розсуд (залежно від наявності часу та рівня підготовленості учнів) обирає види робіт і їх кількість. Із метою підвищення інтересу учнів до вивчення математики, розширення їхнього кругозору до деяких тем наведено додаткові матеріали, де розглянуто історію виникнення термінів, розвиток понять, інші корисні цікавинки.

Відповідно до модельної навчальної програми, вибраної вчителем / учителькою, і власного календарного планування вчитель / учителька може змінювати порядок тем, наведений у посібнику.

Матеріали до уроку складені з урахуванням вимог до обов’язкових результатів навчання учнів у математичній освітній галузі (додаток 8 до Державного стандарту) і сприяють формуванню предметної математичної компетентності, що передбачає здатність застосовувати математичні знання до розв’язування проблем у повсякденному житті, усвідомлення ролі математичних знань в особистому та суспільному житті людини.