Презентація до уроку "Геометрична прогресія"

Геометрична прогресія. Формула суми n перших членів геометричної прогресії Алгебра 9 клас. Дмитрохіна В.І., учитель математики Маріупольської гімназії № 2

Мета уроку: Розглянути: Означення геометричної прогресії, як послідовності чисел;Формули n-го члена та суми n перших членів геометричної прогресії;Властивості геометричної прогресії. Формувати: Вміння виразити будь-який член геометричної прогресії через 𝑏1 і q;Знаходити суму n перших членів геометричної прогресії. Застосовувати набуті знання до розв’язання типових задач. 

Означення геометричної прогресіїГеометричною прогресією називають послідовність з відмінним від нуля першим членом, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те саме відмінне від нуля число. 𝒃𝒏+𝟏 = 𝒃𝒏۰ q q – знаменник геометричної прогресії 

Формула n-го члена геометричної прогресії 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏 ۰ 𝒒𝒏−𝟏 Наприклад: с𝟕 = с𝟏 ۰ 𝒒𝟔,  або  с𝟕 = с𝟐 ۰ 𝒒𝟓 або с𝟕 = с𝟒 ۰ 𝒒𝟑 Властивість геометричної прогресії: 𝒃𝒏𝟐 = 𝒃𝒏−𝟏 ۰ 𝒃𝒏+𝟏 𝒃𝒏 = 𝒃𝒏−𝟏 ۰ 𝒃𝒏+𝟏 Наприклад: 𝒃𝟓 = 𝒃𝟒 ۰ 𝒃𝟔 або 𝒃𝟓 = 𝒃𝟑 ۰ 𝒃𝟕 

Формула суми n перших членів геометричної прогресії 𝑺𝒏 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝒏     −𝟏)𝒒 −𝟏 , 𝒒 ≠𝟏 Наприклад: 𝑺𝟓 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟓     −𝟏)𝒒 −𝟏 ,   𝑺𝟕 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟕     −𝟏)𝒒 −𝟏 

Завдання № 18.29 Які два числа треба вставити між числами 6 і 750, щоб вони разом із даними числами утворювали геометричну прогресію? Розв’язання: Нехай послідовність ( с𝒏 ) – дана геометрична прогресія, де с𝟏 = 6, а с𝟒 = 750. Знайдемо с𝟐  і  с𝟑. Маємо с𝟒 = с𝟏 ۰ 𝒒𝟑 , тоді 𝒒𝟑 = с𝟒 : с𝟏, 𝒒𝟑 = 750 : 6 = 125 , отже 𝒒 = 𝟑𝟏𝟐𝟓 = 5, тоді с𝟐 = с𝟏 ۰ 𝒒, с𝟐 = 6 ۰ 5 = 30, а  с𝟑 = с𝟐 ۰ 𝒒,  с𝟑 = 30 ۰ 5 = 150. Відповідь: 30; 150  

Завдання № 18.34 При якому значенні х числа х; 3х і 18 будуть послідовними членами геометричної прогресії? Роз’язання: Нехай послідовність ( 𝒃𝒏 ) – дана геометрична прогресія, де 𝒃𝟏 = x, 𝒃𝟐 = 3x, 𝒃𝟑 = 18. За властивістю геометричної прогресії маємо: 𝒃𝟐𝟐 = 𝒃𝟏 ۰ 𝒃𝟑 , отже Маємо рівняння: ( 3х )² = 18 х 9 х ² = 18 х 9 х ² - 18 х = 0 9 х ( х – 2 ) = 0 х𝟏 = 0 – не підходить , х𝟐 = 2 Отже, 𝒃𝟏 = 2,  𝒃𝟐 = 6, а 𝒃𝟑 = 18. Відповідь: 2  

Завдання № 19.1 Знайти суму n перших членів геометричної прогресії ( 𝒃𝒏 ), якщо: 𝒃𝟏 = 10, q = 3, n = 4 Розв’язання: За формулою 𝑺𝒏 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝒏     −𝟏)𝒒 −𝟏, знайдемо 𝑺𝟒 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟒     −𝟏)𝒒 −𝟏 𝑺𝟒 = 𝟏𝟎 (  𝟑𝟒     − 𝟏)𝟑 −𝟏 = 𝟏𝟎 ( 𝟖𝟏 −𝟏)𝟐 = 𝟏𝟎 ۰ 𝟖𝟎𝟐 = 400 Відповідь: 400 

Завдання № 19.3 Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії 2) 𝟏𝟏𝟔  ; - 𝟏𝟖 ; 𝟏𝟒 ; … Розв’язання: 𝒃𝟏  = 𝟏𝟏𝟔  , 𝒃𝟐 = - 𝟏𝟖 , тоді q = 𝒃𝟐 : 𝒃𝟏 , q = - 𝟏𝟖 : 𝟏𝟏𝟔  = - 2 Маємо: 𝑺𝟓 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟓     −𝟏)𝒒 −𝟏 або 𝑺𝟓 = 𝟏𝟏𝟔  ۰ ( ( -2) ⁵ - 1) : ( - 2 – 1) 𝑺𝟓 = 𝟏𝟏𝟔  ۰ ( - 32 - 1) : ( - 2 – 1) = 𝟏𝟏𝟔  ۰ ( - 33 ) : ( - 3) = 𝟏𝟏𝟔  ۰ 11 = 𝟏𝟏𝟏𝟔 Відповідь: 𝟏𝟏𝟏𝟔 

Завдання № 19.7 Геометричну прогресію ( 𝒃𝒏 ) задано формулою n-го члена 𝒃𝒏 = 10 ۰ 𝟑𝒏−𝟏 . Знайдіть суму п’яти перших членів геометричної прогресії. Розв’язання: Знайдемо перший, другий члени і знаменник геометричної прогресії: 𝒃𝟏 = 10 ۰ 𝟑𝟏−𝟏 = 10 ۰ 𝟑𝟎 = 10 ۰ 1 = 10, 𝒃𝟐 = 10 ۰ 𝟑𝟐−𝟏 = 10 ۰ 𝟑𝟏 = 10 ۰ 3 = 30, тоді q = 𝒃𝟐 : 𝒃𝟏 = 30 : 10 = 3 Маємо : 𝑺𝟓 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟓     −𝟏)𝒒 −𝟏 , або 𝑺𝟓 = 𝟏𝟎 (  𝟑𝟓     −𝟏)𝟑 −𝟏 = 𝟏𝟎 (  𝟐𝟒𝟑     −𝟏)𝟑 −𝟏 = 𝟏𝟎 ۰𝟐𝟒𝟐𝟐 𝑺𝟓 = 5 ۰ 242 = 1210 Відповідь: 1210 

Завдання № 19.10 Сума трьох членів геометричної прогресії дорівнює 516, а перший член прогресії дорівнює 12. Знайдіть знаменник геометричної прогресії. Розв’язання: Маємо: 𝑺𝟑 = 𝒃𝟏   (  𝒒𝟑     −𝟏)𝒒 −𝟏 , або 516 = 𝟏𝟐 (  𝒒𝟑     −𝟏)𝒒 −𝟏 ( розділимо на 12 ) тоді 43 =  (  𝒒𝟑     −𝟏)𝒒 −𝟏 , або 43 =   𝒒 −𝟏 (  𝒒𝟐     + 𝒒 +𝟏)𝒒 −𝟏 , маємо рівняння: 43 = 𝒒𝟐     + 𝒒 + 𝟏 𝒒𝟐     + 𝒒 +𝟏 – 43 = 0 𝒒𝟐     + 𝒒  −  42 = 0 𝒒𝟏  = - 7 , 𝒒𝟐 = 6 Відповідь: - 7; 6  

Підсумки уроку. Яка послідовність чисел є геометричною прогресією?Що таке знаменник геометричної прогресії?Назвати властивість геометричної прогресії. Як виразити сьомий член геометричної прогресії через 𝒃𝟏 і q ? А через 𝒃𝟑 і q ?Як знайти суму перших n членів геометричної прогресії ? 

Домашнє завдання. Повторити: § 18 Формула n-го члена геометричної прогресіїВивчити: § 19 Сума n перших членів геометричної прогресіїВиконати письмово завдання: № 18.53, 19.4, 19.6, 19.9 із підручника Алгебра, 9 клас автори: А. Г. Мерзляк та іншіПройти тест «Сума n перших членів арифметичної прогресії» на сайті «На урок» за посиланням.