Презентація "Формула суми геометричної прогресії"

Формула суми геометричної прогресії9 клас. Вчитель математики. Криворучко Тетяна Вікторівна. Базаліївський ліцей

Мета уроку. Формування компетентностейматематичної-ввести поняття геометричної прогресії, розглянути її властивості та формули для знаходження n-го члена прогресії; розвивати прийоми розумової діяльності (узагальнення, аналіз); вміння зрозуміло висловлювати власну думку;ключових – інформаційно-цифрової, соціальної і громадської, спілкування державною мовою, уміння вчитися впродовж життя.

Девізуроку

Жан-Жак Руссо1722 - 1778 Тисячі шляхів ведуть до помилки, до істини – тільки одна

4 Серед наведених послідовностей виберіть «зайві»:1) 1, 2, 3, 4, … 2) 2, 4, 8, 16… 3) 3, 7, 7, 11…123 Скарбничка знань. Знаменник геометричної прогресії – це …Формула n –го члена геометричної прогресії Геометрична прогресія це…

Геометрична прогресія – це числова послідовність (bn), кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число q, що називається знаменником геометричної прогресії.q – знаменник геометричної прогресії; b1 – перший член; bn – n- й член; n – число членів Ми знаємо … 1 Приклад: 2; 6; 18; 54 b1, b1q, b1q ², b1q³,… -геометрична прогресія.

Яка послідовність є геометричною прогресією?1234

Знайти знаменник прогресії123420,14-2

Властивість геометричної прогресії: Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи з другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів. Приклад: 62=2·18 182=6·542

Формула n-го члена геометричної прогресіїПриклад.  Знайдемо шостий член геометричної прогре­сії (b1): 1; 5; … . Розв’язання b1 = 1;  q =  = 5;  b6 = b1 ∙ q5 = 1 ∙ 55 = 3125. Відповідь: 3125. 3

Історична задача. Задача із папірусу Рінда “Є 7 будинків, в кожному будинку по 7 котів, кожен кіт з’їдає 7 мишей, кожна миша з’їдає по 7 колосків ячменю, кожен колосок, якщо посіяти зерно з нього, дає 7 мір ячменю. Знайти суму загального числа будинків, котів, мишей, колосків і мір”. Ця стародавня задача на геометричну прогресію не раз зустрічається в різних народів з дещо зміненим текстом.

Умова математичною мовою: Дано: геометрична прогресія 𝒃𝒏:𝒃𝟏=𝟕;𝒒=𝟕. Знайти :𝑺𝟓. 

Розв'язання: Знайдемо всі необхідні елементи: 𝑏2=𝑏1∙𝑞=7∙7=49; 𝑏3=𝑏2∙𝑞=49∙7=343; 𝑏4=𝑏3∙𝑞=343∙7=2401; 𝑏5=𝑏3∙𝑞=2401∙7=16807. 𝑆5=7+49+343+2401+16807=19607. 

Виникає питання: Чи обов'язкове визначати всі елементи прогресії, суму яких треба знайти ?Чи є формула, яка дозволяє виконати це раціональним способом?

Формула суми n перших елементів:

Дано: (bn)= b1; b2; b3;…; bn- геометрична прогресія. Sn= b1+ b2+ b3+…+ bnq. Sn=b1q+b2q+b3q+…+bn-1q+bnq· qq. Sn- Sn= bnq- b1 Sn·(q-1) = bnq- b1 Знайти: SРозв’язування:

Умова математичною мовою: Дано: геометрична прогресія 𝑏𝑛:𝑏1=7;𝑞=7. Знайти :𝑆5. 

Розв'язання: Знайдемо  шукану суму за відповідною формулою: 

Типові задачі на визначення суми геометричної прогресіїРозвиваємо практичне вміння розв'язування задач .

Працюємо разом!Завдання № 1 Знайти суму п членів геометричної прогресії, якщо  𝑏1=5, 𝑞=2, 𝑛=4,  𝑆4−? Розв’язування: Записати формулу суми чотирьох перших членів 𝑺𝟒=𝒃𝟏(𝒒𝟒−𝟏)𝒒−𝟏 Підстав в дану формулу замість 𝑏1число 5,а замість  𝑞 число 2 𝑺𝟒=𝟓(𝟐𝟒−𝟏)𝟐−𝟏 Виконай обчислення і отримай результат а) 𝟐𝟒=16-1.  𝑺𝟒=𝟓(𝟏𝟔−𝟏)𝟏=𝟓∗𝟏𝟓=𝟕𝟓 

Завдання № 2 Дано: (bn) - геометрична прогресія. b1= -32, b2= -16 Знайти: S6 Розв’язування: Відповідь: S6= - 63

Завдання № 3. Дано: (bn)- геометрична прогресія, q=3, S4=560 Знайти: b1 Розв’язування: Відповідь: b1=14

Завдання № 4

Прикладні задачі на геометричну прогресію. Математика безумовно має прикладне значення. Яку б тему ми не вивчали, існують задачі економічного, екологічного, хімічного, фізичного змісту, які розв'язуються за допомогою математичного апарату.

В посудині є 50 л 80% спирту. Скільки літрів чистого спирту буде в посудині, якщо з неї відливати 20 раз по 1 л рідини і щоразу доливати по 1 л чистої води (відповідь округлити до десятих частин)?№ 1 Розв’язання: Знайдемо початкову кількість спирту: 50⋅ 0,8=40(л). Концентрація спирту у розчині постійно зменшується за правилом спадної геометричної прогресії.

Нехай прогресія (сn ), тоді її перший член с1 =0,8, а останній с21 ( так як 20 раз проводився певний цикл переливання). Об’єм рідини постійний (50 л),бо доливали і відливали одну й ту саму кількість літрів ( 1 л ). Кількість спирту наприкінці циклу 50⋅ с21 ,А за крок до цього ця ж сама кількість спирту (50-1)⋅ с20 , тоді 50⋅ с21 = (50-1)⋅ с20 .

Так як знаменник прогресії 𝒒=𝒄𝟐𝟏𝒄𝟐𝟎,  тоді  q=𝟒𝟗𝟓𝟎=𝟎,𝟗𝟖. За формулою геометричної прогресії: с21 =с𝟏∙𝒒𝟐𝟎=0,8⋅𝟎,𝟗𝟖𝟐𝟎  . Кількість спирту: 𝟓𝟎⋅𝟎,𝟖⋅𝟎,𝟗𝟖𝟐𝟎  ≈𝟐𝟔,𝟕л. Відповідь: 26,7 л.  

Інтенсивність розмноження бактерій використовується в…в харчової промисловості для виготовлення кисломолочних Продуктівпри квашении, заквасці та засолці.в фармацевтичній промисловості (для створення ліків та вакцин)в сільському господарстві: для виготовлення силосу кормів для тварин

Доведено, щопри підвищенні температури швидкість деяких хімічних реакцій зростає у геометричній прогресії.

Біологія. Відомо , що бактерії розмножуються за законом: одна бактерія ділиться на дві. Саме тому їх кількість швидко зростає, якщо їх помістити в сприятливе середовище. В повсякденному житті, коли хочуть підкреслити швидке зростання якоїсь величини, кажуть: “зростає в геометричній прогресії ”.

32 Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20-ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу?№2 Розв’язання:1 доба=24год=1440хв Введемо геометричну прогресію: Кількість поділу: 1440:20=72.

(𝑏𝑛):1;2;4;8… За умовою: q=2;𝑛=72. Знайти:𝑆72. Розв'язання:𝑆72=𝑏1(𝑞72−1)𝑞−1. 𝑆72=1∙ (272−1)2−1=272−1. Відповідь : в організмі 272−1 бактерій. 

Рефлексія Завдання: Позначте свій настрій на шкалі в кінці уроку.