Презентація «История нумерации»

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ Елена Жук Днепропетровск 2011

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с помощью набора специальных символов, которые составляют некоторый алфавит и называются цифрами. Система счисления — это способ представления числа симво-лами некоторого алфавита.

Системы счисления Позиционные Непозиционные КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой, за-висит от места (позиции) цифры в числе. Позиции цифр носят название разрядов. Так в числе 222 цифра 2 встречается трижды. Но самая правая означает две единицы, вторая справа — два десятка (двадцать) и, наконец, третья — две сотни (двести). 222=2Ч102+2Ч101+2Ч100 Позиционные системы являются муль-типликативными (от лат. multiplicatio — умножение) В непозиционных системах счисления значение (величина) числа определяется как сумма или разность цифр в числе. В непозиционных системах счисления считать трудно. Древние греки построили геометрию, которую сегодня изучают в школе, доказали важные теоремы теории чисел, но считать они не умели. Примером непозиционной системы счис-ления является римская нумерация: XXXVIII = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 XIX = 10 + (-1) + 10 Непозиционные системы являются адди-тивными (от лат. additio — сложение).

Десятичная нумерация самая распространенная на сегодняшний день. Аль Хорезми России Индия Системы счисления анатомического происхождения Десятичная система счисления Язык чисел, как и любой другой, имеет свой алфавит. В том язы-ке чисел, которым мы обычно пользуемся, алфавитом служат десять цифр — от 0 до 9. Это десятичная система счисления. Причина, по которой десятичная система счисления стала обще-принятой, вовсе не математическая. Десять пальцев рук — вот аппарат для счета, которым человек пользуется с доисторичес- ких времен. Родина десятичной позиционной системы нумерации – Индия, в которой она получила широкое применение к середине VIII века. Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. В Европе оно было переведе-но на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии, с ХVII века – в России. Евро-пейцы, переняв нумерацию у арабов, назвали ее "арабской". Написание десятичных цифр со времени их возникновения пре-терпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуем-ся, установилась в XVI веке. Возникновение и развитие десятичной системы счисления яви-лось одним из важнейших достижений человеческой мысли.

Десятичной системой счисления люди пользовались не всегда. В разные исто-рические периоды многие народы использовали другие системы счисления. Системы счисления анатомического происхождения АЛФАВИТНЫЕ ПРОЧИЕ десятичная пятеричная двенадца- теричная двадцате- ричная древнегреческая (ионийская) древнегрузинская древнеармянская МАШИННЫЕ Единичная (унарная) древне- египетская вавилонская римская двоичная восьмеричная шестнадца- теричная славянская древнегреческая (аттическая) сорокаичная древнекитайская десятичная Кипу инков Группы систем счисления

1 4 2 5 3 Китае Китайские счеты Суан-пан и японские Серобян Системы счисления анатомического происхождения Пятеричная система счисления Очевидна связь этой системы счисления со строением че-ловеческой руки. Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Её создание относится к этой эпохе, когда че-ловек считал по пальцам одной руки. Эта система, как полагают, наибольшее распространение получила в Америке. Долгое время пользовались пятерич-ной системой в Китае и Японии. Следы пятеричной системы счисления сохранились у мно-гих племен и народов. В римской письменной нумерации цифры 6, 7, 8 имеют вид: VI = V + I VII = V + II VIII = V + III По свидетельству известного исследователя Африки Стенли, у ряда африканских племен была распростране-на пятеричная система счисления. До последнего времени у некоторых племен пятеричная нумерация еще сохранилась в чистом виде (например, у жителей Полинезии и Меланезии).

1 2 4 8 7 6 5 3 10 9 11 12 Двенадцатеричная система счисления Системы счисления анатомического происхождения Элементы двенадцатеричной системы сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам), в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). Числа в английском языке от одного до двенадцати имеют свое название, а последующие числа являются составными: 1 – one 2 – two 3 – three 4 – four 5 – five 6 – six 7 – seven 8 – eight 9 – nine 10 – ten 11 – eleven 12 – twelve. Для чисел от 13 до 19-ти окончание слов – teen. Например, 15 – fiveteen. Система имела широкое распространение, в том числе в XIX веке. Пере-ход на двенадцатеричную систему предлагался неоднократно, например во Франции в конце XVIII века. Происхождение еe тоже связано со счетом на пальцах. Большим пальцем руки считали фаланги остальных четырех пальцев: всего их 12. Двенадцатеричными дробями пользовались еще древ-ние римляне. Дробь 1/12 римляне называли унцией. Элементом двенадцатеричной системы может служить счёт дюжинами: 1 дюжина = 12 штук, 1 гросс = 12 дюжин, 1 масса = 12 гроссов. Многие столовые предметы: вилки, ложки, чашки, тарелки считают именно дюжинами, а вовсе не десятками.

Календари Майа майа “Камень Солнца” ацтеков Караколь в Чичен-Ице Астрономия и календарь майя ацтеки “Камень Солнца” ацтеков. Показать крупнее Тахин Стоунхендж - обсерватория древних кельтов Системы счисления анатомического происхождения Двадцатеричная система счисления У ацтеков и майя — народов, населявших в течение многих столетий обширные области Американского континента и создавших высочайшую культуру, в том числе и математическую, была принята двадцатеричная система счисления. Двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населяв-ших Западную Европу начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Основу для счета в этой системе счисления составляли пальцы рук и ног. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления кельтов сохра-нились во французской денежной системе: основная денежная единица, франк, делится на 20 (1 франк = 20 су).

| 1 || 2 ||| 3 |||| 4 и так далее = | Ископаемые кости с зарубками Единичная (унарная) система счисления Простейшая, но абсолютно неудобная система счисления. Основана на единственной цифре – единице (палочке). Позволяет записывать только натуральные числа. Чтобы представить число в этой системе счисления нужно записать столько палочек, како-во само число. Использовалась нецивилизованными племенами, потребности которых в счете, как правило, не выходили за рамки первого десятка. Люди рисо-вали палочки на стенах и делали зарубки на костях животных или вет-ках деревьев. Археологами найдены такие "записи" при раскопках куль-турных слоев, относящихся к периоду палеолита (10-11 тыс. лет до н. э.) Единичной системой счисления пользуются малыши, показывая свой возраст на пальцах, а счетные палочки используются для обучения сче-ту младших школьников.

Иллюстрация Примеры чисел Примеры иероглифов 1075036 115639 О дробях Древнеегипетская система счисления Древнеегипетская система счисления Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Это одна из древнейших систем записи чисел, известных человеку. Для обозначения чисел 1, 10, 10І, 10і, 104, 105, 106, 107 использо-вались специальные цифры. Числа в египетской системе счисле-ния записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.

Из украинской народной сказки: Я коза-дереза, за три копи куплена, півбока луплена. Счет шестидесятками дожил до наших дней. Еще несколько десятилетий тому назад на Украине яйца, яблоки, груши продавали на копы - кучи по 60 штук в каждой. Отсчитывали копу так: на одной руке загибали пальцы, пока не получали, что отсчитано пять штук, а на другой руке прикосновением большого пальца к суставам остальных четырех указывали количество этих пятерок. Поскольку число суставов на четырех пальцах равно 12, получа-лось 12 пятерок, то есть 60. Вавилон. 19 в. до н. э. Подробнее Шестидесятеричная система счисления Вавилонская клинописная система сочетала три основания – 1, 10 и 60. Для чисел от 1 до 9 использовались вертикальные клинья (палочки), как в единичной системе счисления. Для сокращения записи использовался угловой клин, заменявший 10 вертикальных. Этот клин можно было повто-рять до 5 раз, а вместо 6 угловых клиньев вновь писался вертикальный, но перед ними. Поэтому наборы от 1 до 9 вертикальных и от 1 до 5 угловых клиньев превращались в цифры (десятичные и шестидесятеричные). Еще один специальный символ, аналог нуля, использовался для указания пропуска пустых разрядов, но лишь в тех случаях, когда без него запись числа могла бы стать двусмысленной.

1000 500 100 50 10 5 1 CIX XC LX XL VI IV III 109 90 60 40 6 4 3 I V X L C D M + Записывались цифры числа, начиная с больших зна-чений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Меньшие цифры, поставленные справа от большей цифры, прибавлялись к ее значению. Нельзя записывать подряд четыре одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания: не ΙΙΙΙ, а IV. Римская система счисления Эта система счисления появилась в Древнем Риме. Запись чисел в римской системе счисления: Первые 12 натуральных чисел в римской нумерации записываются так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII. Примеры чисел: XXVIII = 28, MCMLXXXVI = 1986. Легко ли получать результат арифметических действий в римской системе счисления? XLIV XLIV MCMLXXXVI XLIV XLIV XLIV ? ? ? В наше время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нуме-рация глав, томов собраний сочинений), в оформлении документов, в декоративных целях – на циферблате ча-сов, в нумерации веков, в ряде других случаев.

Ϡ 900 800 700 600 500 400 300 200 100 Ϙ 90 80 70 60 50 40 30 20 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 аттическая нумерация ионийская нумерация глаголица кириллица Алфавитные системы счисления Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В них для запи-си чисел использовался буквенный алфавит. Примером алфавитной системы счисления является славянская. В одних славянских нумерациях числовые значения букв устанавливались в порядке следования букв славянского алфавита (глаголица), у других роль цифр играли не все буквы, а только те, которые имеются в греческом алфавите (кириллица). Над буквой, обозна-чающей цифру, ставился специальный знак — "титло". Алфавитные нумерации имели тот недостаток, что они были мало пригодны для работы с большими числами (например, при астрономических расчетах). Алфавитная система счисления была распространена у древних армян, гру-зин, греков (ионийская система счисления), арабов, евреев и других народов Ближнего Востока. Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена ионийской алфавитной системой счисления.

Запись числа аддитивная, т.е. в ней используется только сложение София Киевская Славянская алфавитная нумерация Славянская система счисления сохранилась в богослужебных книгах. Алфавитная нумерация на основе кириллицы была принята на Руси до XVII в., в ней было 27 цифр. Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак – титло. Это дела-лось для того, чтобы отличать их от обычных слов. Запишем в славянской системе число 444: Числа 1000, 2000 и т.д. записывались теми же буквами, что 1,2, и т.д., только слева внизу ставился специальный знак. Число 10000 обозначалось той же буквой, что и 1, только без титла, но его уже обводили кружком и называлось это число «тьмой». Отсюда между прочим, произошло выражение «тьма народу». 10 тем или 100 000 было единицей высшего разряда. Ее называли «легион». 10 легионов составляли новую единицу, которая называлась леодр. Эти обозначения можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в ней для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым добавлялись зна- ки для определения разряда.

Машинные системы счисления Перед математиками и конструкторами в 50-х гг. XX ст. встала проблема отыскания таких систем счисления, которые отвечали бы требованиям как разработчиков ЭВМ, так и создателей программного обеспечения. Одним из итогов этих исследований стало значитель- ное изменение представлений о системах счисления и о методах вычислений. Оказалось, что арифметический счет, которым человечество пользуется с древнейших времен, может совершенст-воваться, подчас весьма неожиданно и на удивление эффективно. Специалисты выделили так называемую "машинную" группу систем счисления и разработали способы преобразования чисел этой груп-пы: двоичная; восьмеричная; шестнадцатеричная. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Ранее широко использовалась в програм-мировании и вообще компьютерной документации, но в настоящее время ее потеснила шестнадцатеричная.

1 0 1 1 Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) немецкий философ, математик, физик, языковед подробнее Двоичная система счисления Двоичная нумерация, как самая простая, существовала, по-видимому, вначале у всех народов. Двоичная система счисления использует-ся в цифровых устройствах. В цифровой электронике одному двоичному разряду в двоичной системе счисления соответст-вует один двоичный разряд двоичного ре-гистра, то есть двоичный триггер с двумя состояниями (0,1). Официальное рождение двоичной ариф-метики связано с именем Г.В.Лейбница. Современная двоичная система была описана им в опубликованной в 1703 г. работе Explication de l’Arithmйtique Binaire, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными числами.

95 = XCV 96 = XCVI 97 = XCVII 98 = XCVIII 99 = XCIX 100 = C 101 = CI 102 = CII 103 = CIII 104 = CIV 105 = CV Вопросы Что такое система счисления? Назовите позиционные системы счисления. Назовите непозиционные системы счисления. Используя римскую систему счисления запишите числа от 95 до 105.

Системы счисления Позиционные Непозиционные двоичная восьмеричная десятичная шестнадцатеричная шестидесятеричная Единичная (унарная) древнеегипетская десятичная Аттическая древнегреческая римская Алфавитные греческая, славянская, финикийская и другие двадатеричная Майа Древнекитайская десятичная Выводы

Месоамерика (майя, ацтеки и др) Анды (инки и др) Дельта Нила (Египет) Месопотамия (Шумер, затем Вавилон) Долина реки Хуанхэ (Китай) Долина реки Инд (Индия: Хараппа и др.) Где возникли древние системы счисления:

До новых встреч! Тридевятое царство, тридесятое государство, или как считали наши предки. Сайт журнала «НАУКА И ЖИЗНЬ» ЦИФРЫ И СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. Академик. Система счисления. Викизнание. Система счисления. Википедия. Римские цифры. Википедия. Календарь майя. Википедия. Алфавитная запись чисел. Википедия. Двоичная система счисления. Википедия. Десятичная система счисления Википедия. Шестидесятеричная система счисления. Википедия. Египетские дроби. Все есть число. Позиционные системы. Pandia.ru Библиотека РГИУ. Мир чисел. Депман И. Я. 1966 И. Я. Депман. История арифметики. М., Просвещение, 1965 История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М., Наука. Том 1 С древнейших времен до начала Нового времени.

1 2 3 4 5 6 7 9 10 20 30 40 50 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 9000 Шота Руставели Древнегрузинская алфавитная нумерация Грузины пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнегрузинском алфавите было гораздо больше букв, чем в древ-негреческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения букв следовали порядку букв в грузинском алфавите. Алфавитная нумерация преобладала до 18 века, хотя "арабская" нумера-ция употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в грузинской литературе такие случаи восходят к 10 – 11 веку). В Грузии алфавитная нумерация вышла из употребления. Вот некоторые значения грузинских цифр:

Ք, ք 9000 Փ, փ 8000 Ւ, ւ 7000 Ց, ց 6000 Ր, ր 5000 Տ, տ 4000 Վ, վ 3000 Ս, ս 2000 Ռ, ռ 1000 Ջ, ջ 900 Պ, պ 800 Չ, չ 700 Ո, ո 600 Շ, շ 500 Ն, ն 400 Յ, յ 300 Մ, մ 200 Ճ, ճ 100 Ղ, ղ 90 Ձ, ձ 80 Հ, հ 70 Կ, կ 60 Ծ, ծ 50 Խ, խ 40 Լ, լ 30 Ի, ի 20 Ժ, ժ 10 Թ, թ 9 Ը, ը 8 Է, է 7 Զ, զ 6 Ե, ե 5 Դ , դ 4 Գ, գ 3 Բ, բ 2 Ա , ա 1 Армянская изопсефия Армяне пользовались алфавитным принципом нумерации. Но в древнеармянском алфавите было гораздо больше букв, чем в древне-греческом. Это позволило ввести особые обозначения для чисел 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000. Числовые значения букв следовали порядку букв в армянском алфавите. Алфавитная нумерация преобладала до 18 века, хотя арабская нумерация употреблялась в отдельных случаях гораздо раньше (в памятниках армянс-кой математической литературы они установлены пока только для 15 века). В Армении алфавитная нумерация употребляется и сейчас для обозначения глав в книгах, строф в стихотворениях и тому подобное. Армянская алфавитная нумерация

Сорокаичная система счисления Одно милое существо называют по-русски и «сороконожка», и «многоножка», и даже «тысяченожка». Эти названия говорят об одном: ног у этого сущест-ва много. Выражение «сорок сороков», употребляемое в русской речи, явля-ется обозначением очень большого, бесконечно большого числа. Часто встречается число 40 и в старинных сказаниях. В старой русской системе мер число 40 играло важную роль: в пуде счита-лось 40 фунтов, в бочке – 40 ведёр и т.д. Корень слова «сорок» или «сорочук» тот же, что в слове «сорочка» (рубаха). На полную шубу шло 40 штук соболей. Издавна собольи шкуры играли роль ценности. Сорок или сорочук соболей составлял «полную шубу» и служил единицей ценности. В XII в. по уставу новгородских князей доход с жителей определялся «сороч-ками» беличьих шкурок. В торговых грамотах XVI в. является обычным счёт сороками звериных шкур при продаже или при мене на другие товары. Имеются данные о том, что и в XVII в. «сорочками» считали собольи хвосты. Счет сороками (или "сороковицами") имел преимущественное распростра-нение в Древней Руси. Существует предположение, что этот счёт сороками происходит от счёта по суставам пальцев. Сибирские звероловы до нашего века считали боль-шим пальцем по двум суставам остальных четырёх пальцев правой руки. Насчитав на правой руке восемь единиц, счётчик загибал палец левой ру-ки. Эта операция счёта кончалась, когда оказывались загнутыми все пять пальцев левой руки. Пять восьмёрок, или сорок, составляли счётную группу.

«Арифметика» Магницкого Хоть источники подтверждают знание индийской нумерации в славянских землях с XI века, предпочтение ей было дано только в математических рукописях XV— ХVII веков. В 1703 Леонтий Филиппович Магницкий составил первую в России учеб-ную энциклопедию по математике под заглавием «Арифметика, сиречь наука числительная с разных диалектов на славенский язык переведеная и во едино собрана, и на две книги разделена». Как учебник эта книга более полувека исполь-зовалась в школах благодаря научным и литера-турным достоинствам. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого завершает пере-ход к новой системе счисления. В ней уже нет ни одного слова про инструментальный счет. Славянскую нумерацию Магницкий использовал только для нумерации страниц и пояснения на первых страницах значений чисел индийской ну-мерации. Все выкладки он подал, используя но-вую нумерацию и подробно поясняя при этом, как выполнять действия над числами, записанны-ми в этой нумерации.

Китайские счеты Суан-пан Древнекитайская палочковая нумерация Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае. Эта система возникла как результат оперирования счетными палочками. Палочки раскладывались на счетной доске, которая была разлинована на строки и столбцы. Цифры, составленные из счетных палочек, имели вид, указанный в таблице. Отсутствие разряда указывалось пустым местом на счетной доске. Оно было хорошо заметно благодаря чередованию верти-кального и горизонтального положений палочек. О счете с помощью палочек упоминал философ Мэн-цзы (372-280 г. до н.э.) Первым дошедшим до нас письменным свидетельством об этом счете являются слова математика III в. Сунь-цзы: «В ме- тодах, которые употребляются при обычном сче-те, следует познакомиться с разрядами: единицы вертикальны, десятки горизонтальны; сотни стоят, тысячи лежат; тысячи и десятки выглядят одина-ково, десятки тысяч и сотни тоже». Для обозначения чисел больших, чем 99, использовался позиционный принцип. Число 6789 китайцы записали бы так: Обозначения чисел с помощью палочек связано со счетом на пальцах и счетной доске, но приме-нялось также и в письменных вычислениях. В математической литературе отсутствие разря-да указывалось знаком O: 102 = Ι O ΙΙ. Впоследствии на основе счетной доски возник счетный прибор суан-пан.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 Древнекитайская десятичная нумерация Возникла около 4 тысяч лет тому назад в Китае. Эта иероглифичес-кая нумерация – одна из старейших и самых прогрессивных, так как в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с вами пользуемся. (См. таблицу обозначений чисел.) Записывались цифры числа начиная с больших значений и закан-чивая меньшими: Если десятков, единиц, или какого-то дру-гого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды, использовали несколько служеб-ных иероглифов, писавшихся после основ-ного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

цифры карошти цифры брахми История возникновения десятичной системы счисления Еще в середине III тысячелетия до н. э. в долине Инда существовала цивилизация, одним из центров которой был город, раскопанный вблизи холмов Мохенджо-Даро. Эта цивилизация, основанная первоначальным населением Индии, во II тыс. до н.э. была раз-рушена арийскими племенами. Их жрецы принесли с собой ведическое мировозрение, записали священные книги брахманов "Веды", создали систему записи счета. К VII–V вв. до н. э. относятся первые индийские письменные математические памятники. Большинство научных трактатов индийцев написаны на санскрите — языке религиозных книг брахманов. Одной из первых нумераций, применявшихся в Индии, были цифры “карошти”, которыми пользовались в север-ной Индии. Начиная с VI в. до н.э. в Индии были распространены цифры “брахми”. Счет целых чисел в Индии с древних времен носил десятичный характер. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. До сотни в обоих случаях применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000. Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной нумерации. Применение позиционного принципа в словесной нумерации зафиксировано еще в V в. Первая известная нам запись с помощью цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец. Одно из названий нуля – “шунья” (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийс-кие сиддханты (научные сочинения) переводили на арабский язык, слово “шунья” перевели арабским словом “сыфр”. Слово “сыфр” при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово “цифра”, также первоначально означавшее нуль. Первое достоверное свидетельство о записи нуля относится к 876 г.: число 270 в настенной надписи из Гвалиора (Индия). На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры деванагари, применяю-щиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев. Первое свидетельство об индийской десятичной позиционной системе – это слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: “Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков."

подробнее Индийская система счисления В различных областях Индии существовали разнообразные системы ну-мерации. Одна из них распространилась по всему миру и в настоящее время является общепринятой. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке — санскрите (алфавит "девангари"). Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3 ... 9, 10, 20, 30 ... 90, 100, 1000; с их помощью описывались другие числа. Впоследствии был введен особый знак (жирная точка, кружок) для указа-ния пустующею разряда; знаки для чисел, больших 9, вышли из употреб-ления, и нумерация" "девангари" превратилась в десятичную поместную систему. Как и когда совершился этот переход, до сих пор неизвестно. К середине VIII в. позиционная система нумерации получает в Индии ши-рокое применение. Примерно в это же время она проникает и в другие страны (Индокитай, Китай, Тибет, на территорию среднеазиатских респуб-лик, в Иран и др.). Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное на арабском языке в начале IX в. Мухаммедом из Хорезма. Из арабского языка заимствовано и слово "цифра"' (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово первоначально употреблялось для наименования знака пустую-щего разряда и этот смысл сохраняло еще в XVIII в., хотя уже в XV в. появился латинский термин "нуль".

Число =800+60+3= 863 Башчанская (Бошканская) плита — один из древнейших известных памятников глаголицы, XI в. Славянская глаголическая нумерация Славянская глаголическая нумерация была создана для записи чисел в славян- ских священных книгах. Использовалась не часто, но достаточно долго: с VIII по XIII в. По организации в точности повторяет нумерацию, осно-ванную на кириллице.

Древний народ майя, живший на территории полуострова Юкатан, вместо самих цифр рисовал страшные головы, и отличить одну голову–цифру от другой было очень сложно. На рисунке представлены цифры. В верхнем ряду: 1 2 3 4 5 5+5+5+1 = 16 Цивилизация майя в Центральной Америке начала фор-мироваться с 2000 до н. э., а большинство её городов достигло пика своего развития с 250 н. э. до 900 н. э. Во време-на своего расцвета она имела одну из наиболее развитых культур этого периода. Хотя майя не знали, что такое колесо и упряжные животные, зато они превосходили других в облас-тях плетения, архитектуры и изготовления глиняной посуды. Поразительны достижения майя в астрономии и математике. Пока Европа тащилась через темное средневековье, жрецы и астрономы майя определили по солнцу, что продолжитель-ность года составляет 365.242 дня (современное измерение: 365.242198), а длина лунного цикла равна 29.5302 дням (современное измерение: 29.53059). Такие удивительно точ-ные результаты были бы невозможны без мощной системы записи числа. Жрецы и астрономы племени использовали двадцатеричную систему счисления. Их система включала по-зиционность и нуль. Оба этих понятия были полностью неизвестны европейцам то-го времени. Кукулькан Чичен-Ица Нумерация индейцев Майя Народ майя создал своеобразную позиционную двадцатерич-ную нумерацию. Записывались числа столбиком, внизу ставились наименьшие разряды, вверху наибольшие. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это означало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал (например, в числе 21). Так же и в нашей системе счисления: 10 – с нулем, 11 – без него. Вот несколько примеров чисел: В двадцатеричной системе майя было одно исключение. Разрядными единицами нумерации майя должны были бы быть числа 1, 20, 400. На самом деле наименьшим трёхцифро-вым числом у майя было не 400, а 360. В этом оказался удиви-тельный рационализм народа, который не побоялся подчинить абстрактную теорию практическим целям. Математические рассчеты с большими числами у майя были тесно связаны с астрономическими вычислениями, лежавшими в основе кален-даря. Чтобы их упростить, майя максимально приблизили еди-ницу третьего разряда к числу дней своего года, в котором было именно 360 дней. Далее позиционный принцип двадцатичности майя вновь во-зобновлялся. Единица четвертого разряда 7200=(360Ч20), пя-того – 144000 = (7200Ч20) и так далее до очень больших чисел.

Мачу-Пикчу 1 2 3 4 5 Приблизительная граница государс-тва Инков Кипу инков Узелковая письменность Инков, широко использовавшаяся в Центральных Андах (Пе-ру, Боливия) в государственных и общественных целях в I — II тысячелетии н. э., на-зывалась кипу (на языке кечуа quipu узел). Ки́пу состояло как из числовых записей десятичной системы, так и не числовых записей в двоичной системе кодирования. Кипу представляло собой шерстяную или хлопчатобумажную веревку, к которой был привязан ряд разноцветных шнурков с завязанными на них по-разному расположен-ными и различными по форме узлами. Форма и количество узлов обозначали числа, узлы разного цвета и no-разному расположенные имели раз- личные условные значения.

Ещё в XIX в. у многих племён Австралии и Полинезии было толь-ко два числительных: один и два; их сочетания образовывали числа: 3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больших 6, говорили: «много».  О том, что двоичная система счисления, как самая простая, су-ществовала вначале у всех народов, свидетельствуют системы мер и названия их долей в языках многих народов. В английской системе мер при указании линейных размеров в дюймах по традиции используют двоичные дроби, а не десятич-ные, например: 5ѕ″, 715/16″, 311/32″. Г.В. Лейбниц заметил следующее: если принять, что длинная черта означает 1, а короткая 0, то вся запись оказывается просто рядом натуральных чисел, напи-санных в двоичной системе. 000 001 010 011 100 101 110 111 дискета 5ј дюймов Медаль, нарисованная Г.В. Лейбницем Показать гексаграммы убрать рисунок Фу Си Двоичная система счисления существует давно Двоичная система счисления существовала на востоке. Изобретение её относят к IV тысячелетию до нашей эры. "Восемь триграмм" (ба гуа) являются одним из важнейших открытий древней китайской цивилизации и представляют собой глобальное обобщение зако-нов объективного мира, включая "небо", "землю" и человека, моделирующее закономерности изменений, характерных для всего сущего в мироздании. Как свидетельствует практика нескольких тысячелетий, многие ученые, как в Китае, так и за рубежом, сделали немало открытий, опираясь на глубокие научные принципы, заложенные в этом учении, изложенном в ИЦЗИН (КНИ-ГА ПЕРЕМЕН). Создание ее текста приписывается Вэнь-вану, одному из правителей династии Шан-Инь (ок. 1600 – 1100 до н. э.) Принято считать, что восемь триграмм – ба гуа – мистических символов, из которых составлены гексаграммы-предсказания Ицзин, изобрел легендарный мудрец Фу Си, живший предположительно около 7000 лет назад. Вот запись с триграммами (читаются снизу вверх):

или 4000 циновок Мальчик 14-ти 404 ноши 100 нош 8000 80 шкур 400 пучков лет ловит рыбу накидок какао- кип птиц этого красных такого вида бобов бумаги цвета перьев 1 2 3 44 83 600 462 9000 16000 Теночтитлан из Кодекса Мендосы Нумерация ацтеков Система счисления у ацтеков в Мексике была более последова-тельно двадцатеричной, чем у майя, но в остальном менее тонкой, так как не использовала ни позиционный принцип, ни специальный символ для нуля. Точка (палец) обозначала у ацтеков единицу, двойку обозна-чали двумя точками и т. д. до пяти. В запись числа шесть входила черта, которая отделяла пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пяти предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала. Для обозначения степеней числа 20 были введены знаки: флаг для 20, перо (дерево) для 400 и кошелек для 8000. При необходимости другие числа представлялись с помощью повторения этих символов, а от их чрезмерного повторения они избавлялись, вводя специальные промежуточные знаки: ромбо-видный знак для 10 и фрагменты дерева для 100, 200 или 300. Примеры записи чисел: