Презентація" Коло описане навколо трикутника. Взаємне розміщення кіл на площині"

Коло описане навколо трикутника7 клас

Згадаємо: Відстань від точки до прямої (відрізка, променя) – це довжина перпендикуляра, що проведений з цієї точки до прямої (відрізка, променя) (мал. 1)мал. 1 Аm. НАН – перпендикуляр з точки А на пряму m. Довжина АН – відстань віт т. А до прямої m (мал. 1)

Новий термін: СЕРЕДИННИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАВСНО! Серединний перпендикуляр, це перпендикуляр проведений в середину відрізка. АН – серединний перпендикуляр, тому що: АН перпендикулярно до ВСВН=НСт. Н - середина відрізка ВС.

Властивість серединного перпендикуляра до відрізка. Теорема 1. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Р1 Р2 Пряма L— серединний перпендикуляр до відрізка АВ, К — середина цього відрізкаточки Р, Р1, Р2, К належать LАК=КВ,АР=РВАР1=Р1 ВАР2=Р2 В

Коло називають описаним навколо трикутника, якщо воно проходить через усі вершини цього трикутника. При цьому трикутник називають вписаним у коло. Теорема 2 (про коло, описане навколо трикутника). Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. АВС АВС – вписаний в коло тому що всі вершини трикутника лежать на колі.

Наслідок 1. Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці. МР АВС – вписаний в коло трикутникт. М – середина сторони АСт. К – середина сторони ВСт. Р – середина сторони АВОР- серединний перпендикуляр до АВОМ- серединний перпендикуляр до АСОК- серединний перпендикуляр до СВт. О – точка перетину ОР, ОМ, ОКО- центр описаного навколо АВС кола. ОА=ОВ=ОС= r – радіус описаного кола. Наслідок 2. Центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторін.

ВЗАЄМНЕ РОЗМІЩЕННЯ ДВОХ КІЛРозглянемо взаємне розміщення двох кіл із центрами в точках О1 і О2 і радіусами г1 і г2 відповідно.

Отже, кола можуть: Два кола можуть не перетинатися, тобто не мати спільних точок (мал.1 і 2). Можливі два випадки їх розміщення: 1. На малюнку 1 відстань між центрами кіл більша за суму радіусів: О1 О2 = О1 А1 + А1 А2 + А2 О2 = г1 + А1 А2 + г2 > г1 + г2. Отже, О1 О2 > r1 + г2 Мал. 1

Кола не перетинаються. Продовження…. Два кола можуть не перетинатися, тобто не мати спільних точок (мал.1 і 2). Другий випадок їх розміщення – малюнок 2 Мал. 2 На малюнку 2: 01 А1 = 0102 + О2 А2 + А2 А1; г1 = 0102 +г2 + А2 А1. Тому 0102 = (г1 - г2 - А1 А2 )< r1 — г2. Отже, 0102 < г1 - г2, де г1 > г2, тобто відстань між центрами кіл менша за різницю радіусів.

Кола не перетинаються. Продовження…. Два кола називають концентричними, якщо вони мають спільний центр (мал. 3). У цьому випадку 0102 = 0. Очевидно, що концентричними може бути будь-яка кількість кіл. Мал. 3

II. Два кола можуть мати одну спільну точку. У такому разі кажуть, що кола дотикаються, а спільну точку називають точкою дотику кіл. Можливі два випадки такого розміщення.1. Кола мають зовнішній дотик. Дотик двох кіл називають зовнішнім, якщо центри кіл лежать по різні боки від точки дотику (мал. 4). У цьому випадку: 1) 0102 = 01 А + А02 = Г1 + Г2 (відстань між центрами кіл дорівнює сумі їх радіусів); 2) у точці А існує спільна дотична І до двох кіл; 3) L ꓕ О1 О2. Мал. 4

II. Два кола можуть мати одну спільну точку. Продовження…2. Кола мають внутрішній дотик. Дотик двох кіл називають внутрішнім, якщо центри кіл лежать по один бік від точки дотику (мал. 5). У цьому випадку: 0102 = О1 А – О2 А = г1 - г2, де г1 > г2 (відстань між центрами кіл дорівнює різниці їх радіусів); 2) у точці А існує спільна дотична L до двох кіл; 3) L ꓕ 0102 Мал. 5

III. Два кола можуть мати дві спільні точки. Тобто кола перетинаються. У цьому випадку відстань між центрами кіл менша за суму їх радіусів. Дійсно, за нерівністю трикутника і наслідком з неї для трикутника О1 В1 О2 маємо: r1-r2< О1 О2 < г1 + г2, де г1 > г2.

Розв’яжемо декілька вправ:

Розв’яжемо декілька вправ: Розв’язання:1)Якщо кола мають внутрішній дотик (мал. 5): 0102 = О1 А – О2 А = г1 - г2= 7см – 5 см=2 см1)Якщо кола мають зовнішній дотик (мал. 4): 0102 = 01 А + А02 = Г1 + Г2 =7см+ 5 см = 12 см. Мал. 5 Мал. 4

Розв’яжемо декілька вправ: Дано: А, В, С – центри кіл. Точки К, М, Т- точки дотику кіл. АС= 5 см, СВ= 7 см, BА = 8 см. Знайти: r1-?, r2-?, r3-?Розв’язання: Знайдемо периметр трикутника АВС: Р= АВ+ВС+АС= АК+ КС+СТ+ТВ+ВМ+АМ, Де АК=АМ=r1, СК=СТ= r2, ВТ=ВМ=r3. AC= r1+r2, CB= r2+r3, AB= r2+r3 Тоді периметр трикутника Р=2r1+2r2+2r3 КМТР= 5+7+8=2020=2r1+2r2+2r3. Поділимо обидві частини рівності на 2: 10=r1+r2+r3r1=(r1+r2+r3)- CB = 10-7 = 3cм r2= (r1+r2+r3)- AB = 10-8 = 2cм r3= (r1+r2+r3)- AC = 10-5 = 5cм Відповідь: r1= 3cм , r2= 2cм, r3= 5cм

Розв’яжемо декілька вправ: ОАВСМДано: О- центр описаного кола, АВС- вписаний в коло трикутник ВМ – медіана трикутника АВСДов-ти: АВС – рівнобедрений. Доведення: За Наслідком 2 до Теореми 2, центр описаного навколо трикутника кола лежить на серединних перпендикулярах. Тоді ОМ ꓕ АС. Це означає, що АМ не тільки медіана, а ще й висота трикутника АВС. Це можливо тоді, коли трикутник рівнобедрений. Отже трикутник АВС – рівнобедрений.

Домашнє завдання: Вивчити всі правила з презентаціїВиконати вправи: №№ 651, 662, 670