Презентація на тему: "Найпростіші задачі з прямою на площині"

Найпростіші задачі з прямою на площиніВзаємне розташування двох прямих. Кут між прямими.

Типові задачі Як визначити розташування двох прямих? Як побудувати пряму, паралельну даній? Як знайти точку перетину двох прямих? Як побудувати пряму, перпендикулярну до данної? Як знайти відстань від точки до прямої? Як побудувати точку, симетричну відносно прямої? Як знайти відстань між двома паралельними прямими? Як знайти кут між двома прямими?

Як визначити розташування двох прямих? Дві прямі співпадають, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти пропорційні. Дві прямі паралельні, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти біля змінних х, у пропорційні. Дві прямі перетинаються, тоді і тільки тоді, коли їх відповідні коефіцієнти біля змінних х, у не пропорційні.

Як визначити розташування двох прямих? Приклад 1. Яке взаємне розташування двох прямих? 𝑑1:2𝑦+3=0,   𝑑2:5𝑥+2𝑦−7=0; 𝑓1:𝑥+3𝑦−8=0,   𝑓2:𝑥+3𝑦+15=0; h1:5𝑥−𝑦=0,   h2:−10𝑥+2𝑦=0. Розв'язання. Так як 05≠22, то прямі перетинаються. Для знаходження точки їх перетину розв’язуємо систему 2𝑦+3=0,5𝑥+2𝑦−7=0, звідки 𝑥=2,𝑦=−1,5, тобто прямі перетинаються в точці А (2;-1,5). Так як 11=33≠−815, то прямі паралельні. Так як 5−10=−12, то прямі паралельні або співпадають. Оскільки вільні члени даних прямих нульові, то прямі співпадають. Відповідь: 1) 𝑑1∩𝑑2=𝐴 (2;−1,5); 2) 𝑓1||𝑓2; 3) 𝑓1=𝑓2.  

Як побудувати пряму, паралельну даній? Приклад 2. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (1;-1), паралельно прямій 𝑐:𝑥−𝑦+3=0. Розв'язання. Позначимо шукану пряму літероюd. Знайдемо направляючий вектор прямої с: 𝑝1;1. Складемо кано-нічне рівняння прямої d:𝑥−11=𝑦+11 Зведемо рівняння прямої d до загального виду: 𝑥−𝑦−2=0. Відповідь: 𝑥−𝑦−2=0. 

Як знайти точку перетину двох прямих? Якщо прямі 𝑙1:𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,   𝑙2:𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0 перетина-ються в точці М 𝑥;𝑦, то її координати є розв'язком системи 𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0. Приклад 3. Знайти точку перетину прямих 𝑙1:𝑥−2𝑦+2=0,𝑙2:5𝑥+2𝑦+4=0. Розв'язання.𝑥−2𝑦+2=0,5𝑥+2𝑦+4=06𝑥+6=0,5𝑥+2𝑦+4=0𝑥=−1,−1−2𝑦+2=0 𝑥=−1,𝑦=0,5 Відповідь: 𝑙1∩𝑙2=𝑀(−1;0,5). 

Як побудувати пряму, перпендикулярну до данної? Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М (2;3), перпендикулярно прямій l:2𝑥+𝑦−3=0. Розв'язання. Знайдемо нормальний вектор прямої l: 𝑛2;1. Складемо кано-нічне рівняння прямої m:𝑥−22=𝑦−31 Зведемо рівняння прямої m до загального виду: 𝑥−2𝑦+4=0. Відповідь: 𝑥−2𝑦+4=0. Приклад 4.

Як знайти відстань від точки до прямої? Відстань від точки M𝑥0;𝑦0 до прямої 𝑑:𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0 обчис-люється за формулою 𝜌𝑀,𝑑=𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝐴2+𝐵2 Приклад 5. Знайти відстань від точки М (-1;-1) до прямої d:3𝑥+4𝑦−12=0. Розв'язання. Уважно підставимо відповідні числа у формулу і обчислимо відстань:𝜌𝑀,𝑑=𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝐴2+𝐵2=3∙−1+4∙1−1232+42=−3+4−1225=−115=115=2,2 (од.) Відповідь: 𝜌𝑀,𝑑=2,2 од. 

Як побудувати точку, симетричну відносно прямої? Розв'язання. Виконайте дії самостійно, згідно алгоритму з проміжними відповідями:знайти пряму MN:4𝑥−3𝑦+7=0 , яка перпендикулярна до прямої d;Знайти точку перетину прямих: 𝑆0,32;2,76=𝑀𝑁∩𝑑;Використовуючи формули коорди-нат середини відрізка, знайти точку 𝑁1,64;4,52. Відповідь: 𝑁1,64;4,52. Приклад 6. Знайти координати точки N, яка симетрична точці М (-1;-1) відносно прямої d:3𝑥+4𝑦−12=0. 

Як знайти відстань між двома паралельними прямими? Приклад 7. Знайти відстань 𝜌𝑙1,𝑙2 між двома паралельними прямими 𝑙1:𝑥−𝑦−2=0,  𝑙2:𝑥−𝑦+3=0. Розв'язання. Відстань 𝜌𝑙1,𝑙2 можна знайти як відстань від точки до прямої. Для цього знайдемо одну точку, яка належить будь-якій з прямих. Точка М (2;0) ∈𝑙1. Обчислимо відстань: 𝜌𝑀,𝑙2=𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶𝐴2+𝐵2=2−0+32=52=522 (од.) Відповідь: 𝜌𝑙1,𝑙2=522 од. 

Як знайти кут між двома прямими? Якщо прямі 𝑑1:𝐴1𝑥+𝐵1𝑦+𝐶1=0,   𝑑2:𝐴2𝑥+𝐵2𝑦+𝐶2=0 не пер-пендикулярні, то орієнтований кут 𝜑 між ними можна знайти за формулою: 𝑡𝑔𝜑=𝐴1  𝐴2𝐵1  𝐵2𝐴1∙𝐴2+𝐵1∙ 𝐵2 . Приклад 8. Знайти кут між прямими 𝑑1:2𝑥−3𝑦=0,    𝑑2:𝑥+3𝑦−7=0 . Розв'язання. Знайти скалярний добуток направ-ляючих векторів прямих:       𝐴1∙𝐴2+𝐵1∙𝐵2=2∙1−3∙3=2−9=−7≠       0 прямі не перпендикулярні.2) Знайти кут між прямими за формулою: 𝑡𝑔𝜑=𝐴1  𝐴2𝐵1  𝐵2𝐴1∙𝐴2+𝐵1∙ 𝐵2=21−33−7=6+3−7=−97 Відповідь: 𝜑=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔97. 𝜑=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔−97=−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔97. 

Домашнє завдання Скласти рівняння прямої, яка проходить через А(-2;3) паралельно прямій ВС, якщо В(2;-2), С(-6;-2). Знайти точку перетину прямих АВ, СD в тому випадку, коли вони перетинаються, якщо А(6;-7), В(9;14), С(-2;5), D(3;6). Знайти точку перетину перпендикулярних прямих 𝑑1 і 𝑑2, якщо 𝑑1:𝑥−4𝑦+4=0 і точка А(-4,5;2) 𝜖 𝑑2. Знайти кут між прямими 𝑑1:2𝑥+3=0, 𝑑2:7𝑥+2𝑦+1=0  

Дякую за співпрацю