Презентація "Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність"

Парність і непарність тригонометричних функцій. Періодичність

1. Парність, непарність тригонометричних функцій. Точки A і C отримані поворотом точки (1;0) на кути α і −α відповідно.

Абсциси цих точок співпадають, а ординати відрізняються тільки знаками, тобто sin(−α)=−sinα і cos(−α)=cosα. Отже, y=sinx є непарною функцією, а y=cosx - парною функцією. Функція y=tgx=𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙, тому правильна рівність tg(−x)=−tgx, тобто y=tgx - непарна функція. Функція y=ctgx=𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙, тому правильна рівністьctg(-x)=-ctgx, тобто y=ctgx – непарна функція.  

2. Періодичність тригонометричних функцій. Означення. Функція y=f(x) називається періодичною, якщо існує таке число T≠0, що для будь-якого x з області визначення цієї функції виконується рівність f(x−T)=f(x)=f(x+T). Число T називається періодом функції f(x). З цього означення можна зробити висновок, що якщо x належить області визначення функції f(x), то числа x−T; x+T; x+Tn; x-Tn,n∈Z також належать області визначення цієї періодичної функції і f(x+Tn)=f(x), f(x-Tn)=f(x), n∈Z.

Повернувши точку A на кут 2π навколо центра одиничного кола в додатному або від'ємному напрямі, помічаємо що вона займає вихідне положення, тільки кут повороту буде на 2π більше або менше, але координати точки A залишаться тими ж, тобто sinα=sin(α+2π); cosα=cos(α+2π) sinα=sin(α-2π); cosα=cos(α-2π)

Кожна періодична функція має безліч періодів. Якщо серед усіх періодів функції існує найменший додатній період, то його називають головним періодом функції. Число 2π є найменшим додатним періодом для функцій y=sinx і y=cosx. Число π є найменшим додатним періодом для функцій y=tgx, y=ctgx, тому що значення тангенса і котангенса кута повороту буде повторюватись через π радіан.

Для обчислення періоду функцій y=sin(kx+b) та y=cos(kx+b)користуються формулою Т= 𝟐𝝅к Для обчислення періоду функцій y=tg(kx+b) та y=ctg(kx+b)користуються формулою Т = 𝝅𝒌