Презентація "Площа многокутника. Площа прямокутника, паралелограма"

Площа многокутника. Площа прямокутника, квадрата, паралелограма і ромба

1) площа кожного многокутника є додатним числом;2) рівні між собою многокутники мають рівні площі;3) якщо многокутник розбито на кілька многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників;4) одиницею вимірювання площі є площа квадрата зі стороною, що дорівнює одиниці вимірювання довжини (такий квадрат ще називають одиничним квадратом). Основні властивості площі: Одиниці вимірювання площі: 1 мм2; 1 дм2; 1 м2; 1 км2. Для площ ділянок землі використовують одиниці вимірювання ар і гектар.1 а = 100 м2; 1 га = 100 а = 10 000 м2. Площу фігури прийнято позначати літерою S.

Рівновеликі фігури Дві фігури називаються рівновеликими, якщо вони мають рівні площі.

Площа S прямокутника зі сторонами a і b обчислюється за формулою. S = а ∙ b. Площа прямокутника і квадрата. Площа S квадрата зі стороною a обчислюється за формулою S = а2 Площа прямокутника: S = 𝟏𝟐d1∙ d2 sin∠ β , (d1 і d2 –діагоналі прямокутника, β-кут між діагоналями) Площа квадрата: S = 𝒅𝟐𝟐 ,(d –діагональ квадрата ) 

1) Периметр прямокутника 40 см, а одна їз його сторін 15 см. Знайдіть площу прямокутника. РABCD = 2(AD + CD),   AD + CD= РABCD :2,AD + CD= 40 :2=20(см),CD= 20-AD=20-15=5(см),SABCD = AD ∙ CD= 15 ∙ 5=75(см2)  2) Сторона прямокутника дорівнює 5𝟑см і утворює з діагоналлю кут 30°. Знайдіть площу прямокутника. 5𝟑см  30°У ΔADC маємо: ∠D = 90° , AD= 5𝟑см і ∠ CAD = 30°, то tg ∠ CAD =С𝑫А𝑫 . Звідси 𝑪𝑫=𝑨𝑫tg∠CAD= 5𝟑 ∙√3𝟑=5(см). SABCD = AD ∙ CD= 5𝟑 ∙ 5=25𝟑 (см2)  Вправи

Розв’язання: Дано: 𝑆кв.=4 см2 𝑎кв. - ? 𝑆кв.=𝑎кв.2 𝑎кв.=𝑆=4 =2 ( см) 2) Дано: 𝑆кв.=25 дм2 𝑎кв. - ? Розв’язання:𝑆кв.=𝑎кв.2 𝑎кв.= 𝑆=25=5 (дм) Відповідь: 2 см. Відповідь: 5 дм3) Знайти сторону квадрата, площа якого дорівнює: 1) 4 см2 ; 2) 25 дм2.  

Дано:𝑆кв.=𝑆прямок., 𝑎кв.=8 см,  𝑎прямок.= 16 см. Знайти:  𝑏прямок. Розв’язання:𝑆кв.=𝑎кв.2=82=64см2.𝑆прямок.=𝑎∙𝑏= 16∙𝑏Оскільки за умовою: 𝑆кв.=𝑆прямок., то 16∙𝑏 = 64 𝑏=64 :16 b= 4 (см)Відповідь: 4 см.  4) Квадрат і прямокутник рівновеликі. Сторона квадрата дорівнює 8 см, а одна із сторін прямокутника -16 см. Знайдіть другу сторону прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник AМ – бісектриса ∠ DAB 𝐵𝑀=3 см, МС= 5 см Знайти:  𝑆АВС𝐷 ABCDМ3 см5 см. Розв’язання:𝑆АВС𝐷=АВ·ВСВС=ВМ+МС=3 см + 5 см = 8 см. За властивістю прямокутника: ВС ‖ AD. Якщо ВС ‖ AD, АМ – січна, то ∠МАD= ∠АМВ (як внутрішні різносторонні);∠ВАМ= ∠МАD (оскільки AМ – бісектриса ∠ DAB).  ∠ВАМ= ∠АМВ. Розглянемо трикутник АВМ :𝐵𝑀=3 см (за умовою)∠ВАМ= ∠АМВ (за побудовою) ∆АМВ – рівнобедрений. ВМ=АВ=3 см. Отже, 𝑆АВС𝐷=АВ·ВС=3 см · 8 см = 24 см2   Відповідь: 24 см2. 5) Бісектриса АМ кута прямокутника ABCD поділяє сторону ВС на відрізки ВМ=3см і МС=5см. Знайти площу прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник ВС = АВ+3 см. АС- діагональ ABCDАС = 15 см. Знайти:  𝑆АВС𝐷 ABCDРозв’язання:𝑆АВС𝐷=АВ·ВС Розглянемо ∆АВС: ВС = АВ+3 см (за умовою)АС = 15 см (за умовою)∠В=90° (за властивістю прямокутника)⇒за теоремою Піфагора: АС2=АВ2+ВС2 АС2=АВ2+(АВ+3)2 АС2=АВ2+АВ2+6 АВ+9 АС2=2 АВ2+6 АВ+9152=2 АВ2+6 АВ+9225=2 АВ2+6 АВ+92 АВ2+6 АВ−216=0 АВ2+3 АВ−108=0 Застосувавши теорему Вієта: АВ=9 або АВ= - 12 (не підходить), тоді ВС = АВ+3 см = 9 см +3 см= 12 см. 𝑆АВС𝐷=АВ·ВС=9 см· 12 см = 108 см2.  Відповідь: 108 см2. 6) Одна із сторін прямокутника ABCD на 3 см більша за іншу, а діагональ прямокутника дорівнює 15 см.. Знайти площу прямокутника.

Площа паралелограма1) Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.3) Площа паралелограма дорівнює півдобутку його діагоналей на синус кута між ними. S = 𝟏𝟐d1∙ d2 sin∠ β 2) Площа паралелограма дорівнює добутку двох його сторін на синус кута між ними. S = а ∙ b sin∠Аа b АВСD

AD=6 cм, h=3 cм, то S= aha= 6·3=18(см2)1) На папері у клітинку зображено паралелограм ADCD, вершини якого збігаються з вершинами клітинок. Знайдіть площу паралелограма, якщо кожна клітинка є квадратом зі стороною 1 см. h. Вправи

Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ABCD - даний паралелограм,BM = 4 см і BN = 5 см - його висоти2) PABCD = 2(AD + DC). За умовою 2(AD + DC) = 36, тому AD + DC = 18 (см).3) Нехай AD = x см, тоді DC = (18 - x) см.4) За формулами площі паралелограма: SABCD = AD ∙ BM або SABCD = DC ∙ BN. Тому маємо рівняння: x ∙ 4 = (18 - x) ∙ 5. 4x = 90 - 5x; 4x +5х= 90; 9х=90; х=90:9; x = 10 (см).5) Тоді S = 10 ∙ 4 = 40 (см2). В і д п о в і д ь. 40 см2. Вправа 2. Периметр паралелограма дорівнює 36 см, а його висоти - 4 см і 5 см. Знайдіть площу паралелограма. С

Одна зі сторін паралелограма дорівнює 8 см, а висота, проведена до неї, - 6 см. Знайдіть другу сторону паралелограма, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 4,8 см. Дано: ABCD — паралелограм, ВР та ВК — висоти, DC = 8 см, ВР = 6 см, ВК = 4,8 см. Знайти: AD. За умовою задано паралелограм ABCD, ВР та ВК — його висоти, тоді за формулою SABCD = DC ∙ ВР і SABCD = AD ∙ ВК. За умовою DC = 8 см, ВР = 6 см, тоді SABCD = 8 ∙ 6 = 48 (см2). SABCD = AD ∙ ВК , то AD ∙ ВК =48(см2). За умовою ВК = 4,8 см, то AD ∙ 4,8 =48. Звідси маємо AD = 48 : 4,8 = 10 (см). Відповідь: 10 см. Розв’язання. Вправа 3

Висота ВК паралелограма ABCD ділитьсторону AD на відрізки АК=3 см і КD=7 см.. Знайдіть площу паралелограма. Вправа 4 Р о з в’ я з а н н я. 1) Нехай ABCD - даний паралелограм,АК = 3 см і КD = 7 см, AD= АК+КD=3+7=10(см);2) У ΔABC, ∠К = 90°, АВ=5 см і АК=3 см, то за теоремою Піфагора АВ2=АК2+ВК2 Звідси ВК=АВ2−АК2=52−32=25−9=16=4(см). Маємо AD= 10 см і ВК=4 см, то за формулами площі паралелограма: SABCD = AD ∙ BК = 10 ∙ 4 = 40 (см2). В і д п о в і д ь. 40 см2. 

Сусідні сторони паралелограма дорівнює 8 см і 12 см, а тупий кут становить 150°. Знайдіть площу паралелограма. Вправа 5 Нехай задано паралелограм ABCD у якого ∠В=150°. Тоді ∠А=180°-∠В=180°- 150°=30°. S = а ∙ b sin∠АSABCD = АD ∙ АВ sin∠А  = 12 ∙ 8 ∙ sin 30°== 12 ∙ 8 ∙ 𝟏𝟐= 48(см2). Відповідь: 48см2. Розв’язання

Д о в е д е н н я: Неай ABCD - даний ромб, BM і BN - його висоти. Оскільки ромб є паралелограмом, то SABCD = AD ∙ BM = DC ∙ BN. Але AD = DC, тому BM = BN. Висоти ромба, проведені з однієї вершини, між собою рівні. Площа ромба. Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

Дано: ABCD — ромб, АВ = 4 см, АК — висота, ∠BAD = 150°. Знайти: SABCD. Розв'язання За умовою задано ромб ABCD, АК — висота, тоді SABCD = ВС ∙ АК. За умовою АВ = 4 см, оскільки у ромба всі сторони рівні, тоді АВ = ВС = 4 см. У ΔАКВ ∠AKB = 90°, ∠ABC = 180° - ∠BAD (за властивістю ромба ∠ABC + ∠BAD = 180°), ∠BAD = 150°, тоді ∠ABC = 180° - 150° = 30°. АК=𝟏𝟐 АВ (АК —катет, що лежить напроти кута 30°), тоді АК=𝟏𝟐 ∙4=2(см). SABCD = 𝑎∙ ha= ВС ∙ АК = 4 ∙ 2 = 8 (см2). Відповідь: 8 см2. Сторона ромба дорівнює 4 см, а один з його кутів - 150°. Знайдіть площу ромба. Вправа 6

Площа прямокутника: S = а ∙ b , (а і b-сторони прямокутника) S = 𝟏𝟐d1∙ d2 sin∠ β , (d1 і d2 –діагоналі прямокутника, β-кут між діагоналями) Площа квадрата: S = 𝒂𝟐 , (а –сторона квадрата) S = 𝒅𝟐𝟐 ,(d –діагональ квадрата ) Площа паралелограма: S = а ∙ ha , (а – сторона паралелограма, ha- висота проведена до цієї сторони) S = а ∙ b sin∠А , (а і b –сторони паралелограма, β-кут між сторонами паралелограма) S = 𝟏𝟐d1∙ d2 sin∠ β , (d1 і d2 –діагоналі паралелограма, β-кут між діагоналями паралелограма) Площа ромба: S = а ∙ h , (а – сторона ромба, h- висота ромба) S = 𝒂𝟐sin∠А , (а – сторона ромба, β-кут між сторонами ромба) S = 𝟏𝟐d1∙ d2 , (d1 і d2 –діагоналі ромба)