Презентація "Площа трикутника"

Площа трикутника. АВСН𝑺𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝒂𝒉𝒂  S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒃 𝒔𝒊𝒏γ ba. S = 𝟏𝟐𝒂 𝒃 aaa. S = 𝒂𝟐 𝟑 𝟒 𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝒑𝒑−𝒂𝒑−𝒃(𝒑−𝒄) 

Теорема: (про площу трикутника)Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони. Дано: трикутник ABC , AH –висота , BC=a, AH=h𝑎. Довести: 𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝑎h𝑎Доведення: На стороні АВ даного трикутника побудуємо рівний йому трикутник BAD. Отримали,ADBC – паралелограм, у якого BC=a, AH= h𝑎. Тому 𝑆𝐴𝐷𝐵𝐶=𝑎h𝑎. Звідси одержуемо: 𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝑆𝐴𝐷𝐵𝐶=12𝑎h𝑎.  Отже, 𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝑎h𝑎 .  ABCHD𝑺𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝒂𝒉𝒂  

Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до неїФормула площі трикутника за стороною та висотою. S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒉𝒂 𝒉𝒂 aде 𝒂 −сторона трикутника, 𝒉𝒂 – проведена до неї висота S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒉𝒂= 𝟏𝟐 𝒃 𝒉𝒃= 𝟏𝟐 𝒄 𝒉𝒄 𝒉𝒃 𝒉𝒄 cb. BAC

У трикутнику ABC, АВ=6 см, а висота проведена до цієї сторони СН=4 см. Знайти площу трикутника АВС. Дано: АВС – трикутник, АВ=6см,СН=4см. Знайти: 𝑆𝐴𝐵𝐶Розв’язання: АВ=а=6 cм. СН=h𝑎=4см𝑆𝐴𝐵𝐶=12аh𝑎𝑆𝐴𝐵𝐶=12 6∙4=242=12 см2. Відповідь: 12 см2. АВСНВправа 1

Площа трикутника дорівнює 30 см2 , а одна з його висот – 8см. Знайдіть довжину сторони, до якої проведено цю висоту. Дано: S=30 𝑐м2, h=8см. Знайти: а АВСННехай АВС даний трикутник. У якого 𝑆А𝐵𝐶=30см2, АН=h=8см.𝑆А𝐵𝐶=12∙ВС∙АН; ВС=2𝑆А𝐵𝐶АН;ВС=30∙28=7,5см. Відповідь: 7,5 см. Розв’язання: Вправа 2

Сторона трикутника вдвічі більша за висоту, яка проведена до цієї сторони. Знайдіть висоту, якщо площа трикутника дорівнює 64 см2. Розв'язання: Дано: трикутник з основою а, висотою, проведеною до основи ha і площею S; а =2 ha , S = 64 см2 Знайти: ha Нехай ha = х см, тоді а = 2х см. За умовою S = 64 см2 За формулою площі трикутника 𝑆= 12aha складаємо рівняння:  12х ∙ 2х = 64х2 = 64х1 = 8х2 = − 8<0 – не задовольняє умову задачі  Отже, ha = 8 см Відповідь: 8 см. Вправа 3

Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін на синус кута між ними. Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними. S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒃 𝒔𝒊𝒏γ abγде a і b – сторони трикутника, γ – кут між ними Сторони трикутника дорівнює 8 см і 12 см, а кут між ними становить 30°. Знайдіть площу трикутника. Нехай задано ∆ABC у якого АВ=8 см, ВС=12 см і ∠В=30°. S =𝟏𝟐аbsin∠ВSABC = 𝟏𝟐 АВ ∙ ВС sin∠В  = 𝟏𝟐 ∙ 12 ∙ 8 ∙ sin 30°= 𝟏𝟐 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 𝟏𝟐= 24(см2). Відповідь: 24см2. Вправа 4

Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів Формула площі прямокутного трикутникаbaде a і b – катети S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒃 Знайдіть площу прямокутного трикутника катети якого дорівнюють 4 см і 3 см. Нехай ABC – даний трикутник (∠ В = 90о)Тоді ми можемо скористатися формулою𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏𝑆𝐴𝐵𝐶= 12∙4∙3=122=6см2. Відповідь: 6 см2. АВСВправа 5

Знайдіть площу прямокутного трикутника, один з катетів якого дорівнює 6 см, а гіпотенуза − 10 см. Нехай задано ∆ABC (∠ В = 90о) у якого АВ= а =6 см, АС= с = 10 см За теоремою Піфагора с2=а2+𝑏2. Звідси знайдемо другий катет: b =с2−а2=102−62= 8( cм).𝑆𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑏𝑆𝐴𝐵𝐶= 12 ⋅ 6 ⋅ 8 = 24  (см2) Відповідь: 24  см𝟐  Вправа 7 Розв'язання: АВС

Знайдіть площу трикутника сторони якого дорівнюють 26 см, 28 см і 30см. Нехай задано ∆ABC у якого а =26 см, 𝑏= 28 см і с = 30 см. Знайдемо півпериметр трикутника р = 𝒂+𝒃+𝒄𝟐= 𝟐𝟔+𝟐𝟖+𝟑𝟎𝟐=42(cм)За формулою Герона знайдемо площу 𝑆𝐴𝐵𝐶 =𝑝𝑝−𝑎𝑝−𝑏(𝑝−𝑐)=4242−2642−2842−30= = 42∙16∙14∙12=6∙7∙16∙7∙2∙2∙6= 6∙7∙4∙2=336(см2) Відповідь: 𝟑𝟑𝟔  см𝟐  Формула Герона для знаходження площі трикутника. Розв'язання: Вправа 8

Формула площі рівностороннього трикутника. S = 𝒂𝟐 𝟑 𝟒 aде a – сторона трикутникаaa. Знайдіть площу рівностороннього трикутника зі стороною 6 см. Вправа 9 Нехай задано ∆ABC –рівносторонній, у якого а =6 см. За формулою S = 𝒂𝟐 𝟑 𝟒 знайдемо площу. S = 𝒂𝟐 𝟑 𝟒 = 𝟔𝟐 𝟑 𝟒=9𝟑 (см2) Відповідь: 9𝟑   см𝟐  

𝑺=𝒂𝟐𝟑𝟒  Площа рівностороннього трикутника дорівнює 93 см2. Знайдіть його периметр.  Нехай задано ∆ABC у якого 𝑺= 93 см2 З формули площі рівностороннього трикутника 𝑺=𝒂𝟐𝟑𝟒 виразимо квадрат сторони і знайдемо сторону. 𝑎2=4𝑆3;          𝑎2=4∙933=36;                  𝑎 = ± 6; 𝑎 = − 6<0- не задовольняє умову задачі, тому 𝑎 = 6 см; P = 3𝒂Отже, Р =3𝒂= 6∙3 = 18 (см). Відповідь: 18 см Вправа 10 Розв'язання:

Якщо сторона одного трикутника дорівнює стороні другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як їх висоти, проведені до цих сторін. S1 = 12 𝑎⋅ h1 S2 = 12 𝑎⋅ h2 𝑆1𝑆2= 12𝑎h112𝑎h2= h1h2  Якщо висота одного трикутника дорівнює висоті другого трикутника, то площі цих трикутників відносяться як їх сторони, до яких проведені ці висоти𝑆1𝑆2= 𝑎1𝑎2  𝑎 𝑎 

Площа ромба дорівнює половині добутку його діагоналей. Площа ромба. S = 𝟏𝟐 𝒅𝟏 𝒅𝟐 𝒅𝟏2 𝒅𝟐2 де 𝒅𝟏 і 𝒅𝟐 – діагоналі ромба 

Знайдіть площу ромба, у якого довжини діагоналей відносяться як 3 : 4, а сторона дорівнює 5 см. Дано: ромб; а = 5 см; 𝑑1:𝑑2=3 :4 Знайти: S  Розв'язання: Нехай коефіцієнт пропорційності k = x, тоді 𝑑1= 3х, а 𝑑2= 4х. Розглянемо прямокутний трикутник. Один з катетів дорівнює 𝑑12 = 3х2 см, другий - 𝑑22=4х2 см, а гіпотенуза дорівнює 5 см.3х22+4х22=52;9х42+16х42=25;25х2=100;х2=4 х = ∓2. Отже, к = 2,  то 𝑑1= 3∙2=6см,  𝑑2= 4 ∙2=8см. 𝑺= 𝟏𝟐 𝒅𝟏𝒅𝟐=12∙6∙8 = 24 (см𝟐). Відповідь: 24 см𝟐 𝑺= 𝟏𝟐 𝒅𝟏𝒅𝟐 Вправа 11

За даними на рисунку, знайдіть площу трикутника АВС.а) S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒉𝒂=12 10∙4=402=20 см2. б) S = 𝟏𝟐𝒂𝒃=12 6∙8=482=24 см2 в) S = 𝒂𝟐 𝟑 𝟒 = 𝟒𝟐 𝟑 𝟒=4𝟑 (см2)  Вправа 12

Площа трикутника: 𝑺𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝒂𝒉𝒂 , (а -сторона і 𝒉𝒂-висота проведена до цієї сторони)S = 𝟏𝟐 𝒂 𝒃 𝒔𝒊𝒏γ,  ( де a і b – сторони трикутника, γ – кут між ними)  Площа прямокутного трикутника: 𝑺𝑨𝑩𝑪=𝟏𝟐𝒂𝒃 , (а і b – катети прямокутного трикутника)  Площа рівностороннього трикутника: 𝑺𝑨𝑩𝑪=𝒂𝟐 𝟑 𝟒 , (а – сторона рівностороннього трикутника)  Площа трикутника за формуло Герона:𝑺𝑨𝑩𝑪 =𝒑𝒑−𝒂𝒑−𝒃𝒑−𝒄, , р = 𝒂+𝒃+𝒄𝟐 ,( a, b і с – сторони трикутника)