Презентація. "Початкові відомості зі стереометрії. Аксіоми та теореми стереометрії. Прямі і площини в просторі".

Тема уроку: Початкові відомості зі стереометрії. Аксіоми та теореми стереометрії. Прямі й площини в просторі.

Неозначувані поняття. Означувані поняття. Аксіоми. Теореми.

Стереометрія.«Стереос» (гр.) – «просторовий». Стереометрія - розділ геометрії, в якому вивчаютьсявластивості фігур в просторі. Основні фігури в просторі: АТочка.а. Пряма. Площина.α

Основні відношення. Належати. АаαВМNαnm. Лежати між. Накладання. Аа. ВСααA ∈ a, B ∉ a. M ∈ α, N ∉ α.m ⸦ α, n  α.

Розташування прямих.аαАαаαa ∩ b = А.a  b.bаb. Аba ― b,(мимобіжні - не перетинаються і не лежать в одній площині).

Розташування прямої і площини.аαАαааαa  α.a ∩ α = А.a  α.

Запам’ятайте: 1) Властивості всіх фігур, які вивчали в планіметрії, справджуються в кожній площині простору. 2) Якщо йдеться про 2 точки (прямі), то ці точки (прямі) є різними, тобто не збігаються.

Геометричні тіла: Куб. Параллелепіпед. Тетраeдр

Аксіома(від греч. axíõma – поняття відносне)Поняття відносне наукової теорії, що приймається без доведення.

АКСІОМИПланіметрія. Стереометрія. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. Через будь – які дві точки можна провести пряму і тільки одну. Аксіоми планіметрії виконуються і упросторі, але тоді вони потребуютьдеякого уточнення, наприклад: II. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які їй не належать. С2. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку. С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну. IV. Пряма, що лежить на площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

Аксіоми стереометрії описують: С3. С1. С2. Спосіб задання площини. АВзаємне розміщенняточок і площиниαβВзаємне розміщення площин. АβВаb. Сβ

Почесне місце в геометрії займають аксіоми. Вони виражають найбільш важливі властивості основних геометричних фігур. Усі інші властивості геометричних фігур встановлюються міркуваннями та cпираються на аксіоми або на доведені твердження, які cпиралися на аксіоми. Такі міркування називають доведеннями. Твердження, істинність якого доведено називають теоремою. Твердження, істинність якого доведено і його використовують для доведення інших тверджень, називають лемою. Найпростішими з них є твердження для основних фігур стереометрії, які називають наслідками з аксіом стереометрії. Розглянемо теореми, які є наслідками аксіом стереометрії.

Доведення. Нехай ВС дана пряма і А - точка, що їй не належить. Через точки А і В проведемо пряму а. Прямі ВС і а різні та перетинаються в точці В. За аксіомою (С3) через них можна повести площину α. Доведемо методом від супротивного, що вона єдина. Припустимо, що існує ще одна площина β, яка містить пряму ВС і точку А. Тоді згідно з аксіомою (С2) площини α і β перетинаються по спільній прямій ВС і точки А, В і С лежать на одній прямій, що суперечить умові. Отже, наше припущення – хибне. Тому площина α – єдина. Теорему доведено. Теорема (про існування площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить). Через пряму і точку, що їй не належить, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай задано пряму а, площину α і точки А і В прямої а, які належать α. Виберемо точку С, що не належить прямій а. Через точку С і пряму а проведемо площину β. Якщо α і β співпадуть, то пряма а належить площині α. Якщо ж площини α і β різні і мають дві спільні точки А і В, то вони перетинаються по прямій а1, що містить ці точки. Отже, через дві точки А і В проходять дві прямі а і а1, що суперечить аксіомі належності ІI. Тому прямі а і а1 співпадають. Але оскільки пряма а1 належить площині α, то і пряма а теж належить α. Теорему доведено. Теорема (ознака належності прямої площині). Якщо дві точки прямої належать площині, то і вся пряма належить цій площині.

Доведення. Нехай А, В, С – задані точки. Проведемо через точку А і С пряму b, а через точки А і В – пряму а. Через них можна повести площину α. Доведемо, що вона єдина, методом від супротивного. Припустимо, що існує інша площина β, що містить точки А, В, С. Тоді за теоремою (про належність прямої площині), прямі а і b належать площині β. Отже, площини α і β мають дві спільні прямі а і b, які перетинаються, що суперечить аксіомі С2. Отже, площина α – єдина. Теорему доведено. Теорема (про існування площини, що проходить через три точки, які не лежать на одній прямій). Через три точки, що не належать одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.

Доведення. Нехай а - дана пряма і точка А – точка, яка їй не належить. Проведемо через пряму а і точку А площину α. Проведемо через точку А у площині α пряму а1 паралельну прямій а. Доведемо, що пряма а1 єдина, методом від супротивного. Припустимо, що існує інша пряма а2, яка проходить через точку А і паралельна прямій А. Через прямі а1 і а2 можна провести площину α2 . Площина α2 проходить через пряму а і точку А, тому за теоремою про існування площини, що проходить через пряму і точку, що їй не належить, вона співпадає з площиною α. Тоді за аксіомою паралельних прямих а1 і а2 співпадають. Теорему доведено. Теорема. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму паралельну даній, і тільки одну.

Розглянемо використання наслідків аксіом до розв'язування задач.

Розв’язування. З’ясуємо, як розташовані ці точки. Для цього використаємо нерівністьтрикутника. Перевіримо її виконання для найдовшої сторони. Маємо: АС < АВ + ВC, 15 < 12 + 13. Отже, ці точки не лежать на одній прямій. Тому (за теоремою про існування площини, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій) через точки А, В і С можна провести лише одну площину. Відповідь: Одну. Задача. Скільки площин можна провести через точки А, В і С, якщо: АВ = 12 см, ВС = 13 см, АС = 15 см?

Розв’язування. Через прямі а і b, які мають спільну точку О, можна провести площину α (за аксіомою С3). За аксіомою С1, візьмемо точку В, яка не належить α. Через точки О і В проведемо пряму с. Пряма с не належить площині α бо В  α. Отже, через точку перетину прямих а і b можна провести третю пряму, якане лежить з ними в одній площині. Відповідь: Можна. Задача. Чи можна через точку перетину двох даних прямих провести третю пряму, яка б не лежала з ними в одній площині?

Доведення. Оскільки прямі а і b паралельні, то через них можна провести площину α(за теоремою про існування площини, що проходить через дві паралельні прямі). Довільна пряма с, яка перетинає а і b , має з площиною α дві спільні точки – точки перетину. Згідно з ознакою належності прямої площині, ця пряма належить площині α. Оскільки пряму с було обрано довільно, то всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині, що й потрібно було довести. Задача. Доведіть, що всі прямі, які перетинають дві дані паралельні прямі, лежать в одній площині.

Доведення. Використаємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що прямі АВ і СD лежать в одній площині. Тоді точки А, В, С і D належать цій площині, а тому прямі АВ і СD належать цій площині, що суперечить умові. Отже, наше припущення хибне, а тому прямі АВ і СD не належать одній площині, що й потрібно було довести. Задача. Доведіть, що коли прямі АВ і СD не лежать в одній площині, то прямі АС і ВD теж не лежать в одній площині.

Розв’язування. Оскільки вершини трикутника не лежать на одній прямій, то(за теоремою про існування площини, що проходить через триточки, що не лежать на одній прямій) через них можнапровести площину і тільки одну. Нехай це буде площина α. Тоді прямі, що містять сторони трикутника належать площиніα, а разом з ними і точки М, N і K. За умовою ці точки належать площині β. Отже, (за аксіомою С2 ) ці точки належать прямій по якійперетинаються площини α і β. Відповідь: Точки М, N і K лежать на одній прямій. Задача. Прямі, які містять сторони трикутника, перетинають площину β в точках М, N і K. Чи лежать точки М, N і K на одній прямій? Відповідь обґрунтуйте.

Розв’язування. Розглянемо 𝛥ABН: (Н = 90°) АН = АВ sin АВН = 42 sin 45° = 4 (cм). Розглянемо 𝛥AСН: (Н = 90°) АН = АС sin АСН = 4 sin 60° = 23 (cм). Відповідь: АН = 4 см, АС = 23 см. Задача. Із точки А до площини α проведено перпендикуляр АН. Точки В і С належать площині α. Відомо, що АВ = 42, АВН = 45°, АСН = 60°. Знайдіть довжину АН і АС. АВС45°60°42 Н

Потрібно знати. Способи задання площин.αАВСαbаαbаαВа

Розв’язуємо самостйно:§ 7, п. 25 № 25.8(1), № 25.9(1), № 25.23.

Домашня робота:§ 7, п. 25 № 25.14, № 25.16, № 25.14, № 25.24.

4 Здобувайте знання дистанційно із задоволенням!Бережіть себе!Мийте руки!Слухайте маму!

4 Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею №1 ЖМРПанським Володимиром Анатолійовичем2021

4 Література: Геометрія для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підр. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів/А. Г. Мерзляк, В. Б Полонський, М. С. Якір. - Х.: Гімназія, 2017. – 304 с.: іл. 2) Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед. шк. /О. В. Погорелов. К.: Школяр, 2004. – 128 с. 3) Геометрія: підр. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закладів/Г. П. Бевз, Н. Г Владімірова, В. М. Владіміров. – 2 – ге вид. К.: Генеза, 2013. – 232 с.: іл.