Презентація "Похідна та її застосування"

Презентація до відкритого заняття «Похідна та її застосування»Підготувала Козлова Г. В.

Лист оцінювання

Лише диференціальне числення дає можливість природознавству зображати математично не тільки стан, але і процес руху Фрідріх Енгельс. Архімед (287 – 212 до н. е.) - великий вчений. Першовідкривач багатьох фактів і методів математики і механіки, блискучий інженер. Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я.

Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення був метод побудови дотичних Ферма. П'єр Ферма (1601 – 1665 рр.) – французький математик і юрист. У 1638 році П'єр Ферма, використовуючи алгебраїчні методи, сформулював необхідну умову існування в точці екстремуму. На сучасній мові вона звучить так: якщо похідна в точці дорівнює нулю або не існує, то в цій точці функція має екстремум.

Ісаак Ньютон (1643-1727) – один з творців диференціального обчислення. Ньютон ввів поняття похідної, вивчаючи закони механіки, тим самим розкрив її механічний зміст. Лейбніц Готфрід Фрідріх (1646 – 1716) – великий німецький учений, філософ, математик, фізик, юрист, мовознавець, Лейбніц прийшов до поняття похідної, вирішуючи задачу проведення дотичної до довільної лінії, пояснивши цим її геометричний зміст

Лагранж, Жозеф (1736-1813), французький математик і механік. Термін «похідна» вперше зустрічається у француза Луї Арбогаста. Цим терміном став користуватися Лагранж, який і ввів позначення у' і f '(x). Поняття похідної зустрічається також у Р. Декарта (1596-1650), французького математика Ж. Роберваля (1602-1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638-1675), в роботах В. Барроу (1630-1677). Великий внесок у вивчення диференціального числення внесли Лопиталь (1661-1704), Бернуллі (1744-1807), Гаусс (1777-1855), Коші (1789-1857).

Тезаурус теми. Приріст аргументу;Приріст функції;Означення похідної;Диференціювання;Січна;Дотична;Геометричний зміст похідної;Кутовий коефіцієнт дотичної;Тангенс кута нахилу дотичної;Рівняння дотичної до графіку функції в точці х0;Фізичний зміст похідної;Швидкість;Прискорення;Економічний зміст похідної;Таблиця похідних елементарних функцій;Правила диференціювання;Критичні точки;Точки екстремуму;Екстремуми функції;Необхідна і достатня умова сталості функції;Необхідна умова існування екстремуму;Достатні умови існування екстремуму;Найбільше або найменше значення функції;Дослідження функції.

Картка з друкованою основою

Вправа «Контейнер»Необхідно вказати номера правильно записаних формул і серед них вибрати ті, що виражають правила диференціювання.

Вправа «Знайди пару»

Структурно-логічна схема

"Просто знати - ще не все, знання потрібно використовувати". Гете3) Аналітики. Наша група займалась аналізом завдань зовнішнього незалежного оцінювання за останні роки (2014-2019), основна і додаткова сесії. Були проаналізовані та систематизовані 11 завдань. Ми систематизували завдання наступним чином:І. Завдання з вибором однієї правильної відповіді:а) застосування правил суми і добутку похідних, складеної функції, використання похідної степеневої та тригонометричних функції:1. ЗНО 2015 додаткова сесія 2. ЗНО 2017 основна сесія 3. ЗНО 2018 основна сесія.4. ЗНО 2018 додаткова сесіяб) застосування рівняння дотичної до графіка функції:1. ЗНО 2014 основна сесія 2. ЗНО 2015 основна сесіяІІ. Завдання відкритої форми з короткою відповіддю:а) обчислення похідної в точці: 1. ЗНО 2016 основна сесія. б) фізичний зміст похідної: 1. ЗНО 2016 додаткова сесія. ІІІ. Завдання відкритого типу.1. ЗНО 2017 додаткова сесія. Знайдіть похідну функції . Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції у точці з абсцисою х0 = -1.2. ЗНО 2019 основна сесія. Знайдіть похідну функції . До графіка функції f(x) проведено дотичні, паралельні графіку функції . Визначте абсциси точок дотику.

Виконання самостійної роботиправильні відповіді

4) Практики. Застосування похідної:ω(t) = ϕ′(t) — кутова швидкість — похідна від кута повороту;a(t) = ω′(t) — кутове прискорення — похідна від кутової швидкості;I(t) = q′(t) — сила струму — похідна від кількості електрики;N(t) = A′(t) — потужність — похідна від роботи;C(t) = Q′(t) — теплоємність — похідна від кількості теплоти;P(t) = V′(t) — продуктивність праці — похідна від обсягу продукції;Похідна в хімії та біології: швидкість хімічної реакції в даний момент часу v(t) = p'(t); y ′= P(t) = x ′ (t) - продуктивність життєдіяльності популяції в момент часу t, де у = x(t) – залежність між кількістю мікроорганізмів у і часом t її розмноження. Довжина кола – це похідна від площі круга за радіусом lкола =S′ (R). Успіхи в навчанні? Похідна зростання знань."Просто знати - ще не все, знання потрібно використовувати". Гете

Приклади задач:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A} (0; 100)100(100; +∞)f (x)+0–f (x)39000  max Задача1. Підприємство виробляє х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансового накопичення підприємства від обсягу випуску виражається формулою f(x) = – 0,02x3 + 600x – 1000. Дослідити потенціал підприємства. Рішення: Функція досліджується за допомогою похідної. f ′(x) = (– 0,02x3 + 600x – 1000)′ = -0,02∙3х2 + 600=-0,06х2 + 6000;-0,06х2 + 600 = 0 х2 = 600: 0,06  х2 =10000  х= 100, але -100 не підходить, тому: Задача1. Підприємство виробляє х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансового накопичення підприємства від обсягу випуску виражається формулою f(x) = – 0,02x3 + 600x – 1000. Дослідити потенціал підприємства. Висновок: Фінансові накопичення підприємства зростають зі збільшенням обсягу виробництва до 100 одиниць, при х =100 вони досягають максимуму і обсяг накопичення дорівнює 39000 грошових одиниць. Подальше зростання виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень. Отримуємо, що при х =100 функція досягає максимум.

Задача 2. Автомобіль наближається до мосту з початковою швидкістю 72 км/год (20 м/с). Біля мосту висить дорожній знак «36 км/год». За 7 сек до в'їзду на міст водій натиснув на гальмівну педаль. Чи з дозволеною швидкістю автомобіль в'їхав на міст, якщо гальмівний шлях визначається формулою s = (20t - t2)м/с?Рішення: v = s'(t) = (20t - t2)′ = 20 – 2t  s'(7) = 20 - 2∙7 = 6 (м/c)  v = 6 (м/с). Швидкість дозволена, так як менше 10(м/с). У нас тепер більше немає сумнівів про корисність похідної. Висновок: підготовленими матеріалами ми показали на прикладах застосування похідної.

Робота в групах. Задача 1. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням u = -5/6t3 + 15/2t2 + 100t + 50 (од.) , 1< t <8, де t — робочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці та швидкість її зміни через дві години після початку роботи.

Задача 2. Витрати на виробництво продукції обсягу х задаються функцією . Виробник реалізує продукцію за ціною 25 ум.од. Знайдіть максимальний прибуток R і відповідний обсяг продукції х.

Задача 3. На рисунку наведено графік функції, що описує процес роботи деякого виробництва. Використовуючи рисунок, визначте:а) критичні точки цієї функції;б) проміжки зростання і спадання;в) точки максимуму і мінімуму.

Підведення підсумків заняття. Закінчить одну з фраз:1. Сьогодні я дізнався…2. Було цікаво…3. Було важко…4. Я виконував завдання…5. Тепер я можу…6. Я навчився…7. Я зміг…8. Мені захотілося…

Повідомлення домашнього завдання[1], Р. 3,§ 19, с.146, виконати № 702, 706, 707 с.150, підготуватись до контрольної роботи

Дякую за заняття!