Презентація "Рівняння, що зводяться до квадратних"

Костюкевич П. П. КЗ « ліцей «Науковий» м. Кропивницький. Рівняння, що зводяться до квадратних

𝑥4−5𝑥2−36=0 У відповідь записати добуток коренів. Дане рівняння є БІКВАДРАТНИМ𝑥2=𝑡≥0 , тоді 𝑥4=𝑥22=𝑡2𝑡2−5𝑡−36=0𝐷=(−5)2−4∙−36=25+144=169=132𝑡1=5−132<0𝑡2=5+132=9𝑥2=9; 𝑥1=−3; 𝑥2=3𝑥1∙𝑥2=−9 

4𝑥4+12𝑥3−47𝑥2+12𝑥+4=0 Дане рівняння є ЗВОРОТНІМДілимо рівняння на 𝑥≠0:  4𝑥2+12𝑥−47+12𝑥+4𝑥2=0 Підстановка: 𝑥+1𝑥=𝑡⇒𝑥+1𝑥2=𝑥2+2𝑥∙1𝑥+1𝑥2=𝑡2⇒⇒𝑥2+1𝑥2=𝑡2−24∙𝑡2−2+12𝑡−47=04𝑡2+12𝑡−55=0𝐷4=62−4∙−55=36+220=256=162𝑡1=−6−164=−112; 𝑡2=−6+164=52 

𝑥+1𝑥=−112;2𝑥2+11𝑥+2=0𝐷=121−16=105; 𝑥1,2=−11±1054𝑥+1𝑥=52;2𝑥2−5𝑥+2=0𝐷=25−16=9; 𝑥3=5−34=0,5; 𝑥4=5+34=2 

𝑥4−7𝑥3+8𝑥2+14𝑥+4=0 Дане рівняння є УЗАГАЛЬНЕНИМ ЗВОРОТНІМДілимо рівняння на 𝑥≠0: 𝑥2−7𝑥+8+14𝑥+4𝑥2=0𝑥2+4𝑥2−7𝑥−2𝑥+8=0 Підстановка: 𝑥−2𝑥=𝑡⇒𝑥−2𝑥2=𝑥2−2𝑥∙2𝑥+4𝑥2=𝑡2⇒⇒𝑥2+4𝑥2=𝑡2+4𝑡2+4−7𝑡+8=0𝑡2−7𝑡+12=0𝑡1=3; 𝑡2=4 

𝑥−2𝑥=3; 𝑥2−3𝑥−2=0𝐷=9+8=17𝑥1,2=3±172𝑥−2𝑥=4; 𝑥2−4𝑥−2=0𝐷4=4+2=6𝑥3,4=2±6 

𝑥2−7𝑥+10𝑥2−7𝑥+12=120 Підстановка: 𝑥2−7𝑥+10=𝑡, тоді 𝑥2−7𝑥+12=𝑡+2𝑡𝑡+2=120𝑡2+2𝑡−120=0𝑡1=10⇒𝑥2−7𝑥+10=10;𝑥2−7𝑥=0𝑥𝑥−7=0; 𝑥1=0; 𝑥2=7𝑡2=−12⇒𝑥2−7𝑥+10=−12; 𝑥2−7𝑥+22=0𝐷=49−88<0 

𝑥+2𝑥−3𝑥+1𝑥+6=−96 Множимо першу дужку на третю і другу на четверту (суми коефіцієнтів при х рівні)𝑥2+3𝑥+2𝑥2+3𝑥−18=−96 Підстановка: 𝑥2+3𝑥+2=𝑡, тоді 𝑥2+3𝑥−20=𝑡−20𝑡𝑡−20=−96𝑡2−20𝑡+96=0𝐷4=100−96=4𝑡1=10−2=8; 𝑡2=10+2=12𝑥2+3𝑥+2=8; 𝑥2+3𝑥−6=0𝐷=9+24=33; 𝑥1,2=−3±333𝑥2+3𝑥+2=12; 𝑥2+3𝑥−10=0𝑥3=2; 𝑥4=−5 

(𝑥+2)(𝑥+3)(𝑥+8)𝑥+12=4𝑥2𝑥2+14𝑥+24𝑥2+11𝑥+24=4𝑥2 Підстановка: 𝑥2+11𝑥+24=𝑡, тоді 𝑥2+14𝑥+24=𝑡+3𝑥𝑡+3𝑥∙𝑡=4𝑥2𝑡2+3𝑥𝑡−4𝑥2=0 – квадратне відносно 𝑡𝐷=(3𝑥)2−4∙−4𝑥2=25𝑥2 𝑡1=−3𝑥−5𝑥2=−4𝑥; 𝑥2+11𝑥+24=−4𝑥𝑡2=−3𝑥+5𝑥2=𝑥; 𝑥2+11𝑥+24=𝑥 

2𝑥2+𝑥+23𝑥2−𝑥+3=2𝑥2−3𝑥+2𝑥2−𝑥+1 Підстановка: 𝑥2+1=𝑡>02𝑡+𝑥3𝑡−𝑥=2𝑡−3𝑥𝑡−𝑥⇒2𝑡+𝑥𝑡−𝑥=(2𝑡−3𝑥)(3𝑡−𝑥)2𝑡2−𝑥𝑡−𝑥2=6𝑡2−11𝑥𝑡+3𝑥24𝑡2−10𝑥𝑡+4𝑥2=0 – квадратне відносно 𝑡𝐷4=−5𝑥2−4∙4𝑥2=9𝑥2𝑡1=5𝑥−3𝑥4=𝑥2; 𝑥2+1=𝑥2;2𝑥2−𝑥+2=0;𝐷<0𝑡2=5𝑥+3𝑥4=2𝑥; 𝑥2+1=2𝑥;𝑥2−2𝑥+1=0(𝑥−1)2=0;𝑥=1  

4𝑥2+4𝑥𝑥+22=20𝑎2+𝑏2=(𝑎−𝑏)2+2𝑎𝑏2𝑥−4𝑥𝑥+22+2∙2𝑥∙4𝑥𝑥+2=2𝑥2𝑥+22+8∙2𝑥2𝑥+2 Підстановка: 2𝑥2𝑥+2=𝑡𝑡2+8𝑡−20=0𝑡1=−10; 𝑡2=2 

𝑥2−4=𝑥+4 Підносимо до квадрату: 𝑥4−2𝑥2∙4+42=𝑥+442−2𝑥2+1∙4+𝑥4−𝑥=0 Останнє рівняння розглядаємо як квадратне відносно числа 4𝐷=2𝑥2+12−4𝑥4−𝑥=4𝑥2+4𝑥+1=(2𝑥+1)24=2𝑥2+1−2𝑥−124=2𝑥2+1+2𝑥+12  ; 𝑥2−𝑥−4=0𝑥2+𝑥−3=0; 𝑥1=1−172;𝑥2=1+172𝑥3=−1−132;𝑥4=−1+132 При піднесенні до квадрату могли з'явитися сторонні корені. Скористаємось зображенням графіків функцій.1−172>1−52>−2⇒𝑥1−сторонній −1+132<−1+42<2⇒𝑥4−сторонній