Презентація "Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0 до 180"

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0° до 180° Геометрія9клас

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0° до 180° Візьмемо на площині прямокутну систему координат і проведемо в її першому і другому координатних кутах півколо радіуса 1, центр якого збігається з початком координат. Отримали одиничне півколо. Позначимо буквою А точку перетину цього півкола з додатним напрямом осі х і домовимося відкладати від променя ОА кути проти руху годинникової стрілки. Нехай ∠АОВ = 𝜶 - гострий кут Проведемо з точки 𝐵(𝑥;𝑦) перпендикуляр ВС до осі х. Утворився прямокутний ∆𝑂𝐶𝐵  з гіпотенузою OB, де OB = 1 (оскільки півколо з радіусом 1) Як уже відомо, в прямокутному трикутнику синус гострого кута визначається як відношення протилежного катета до гіпотенузи, косинус гострого кута — як відношення прилеглого катета до гіпотенузи, тангенс гострого кута — як відношення протилежного катета до прилеглого катета, а котангенс гострого кута — як відношення прилеглого катета до протилежного катета 𝑠𝑖𝑛𝛼=𝐵𝐶𝑂𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑂𝐶𝑂𝐵 Оскільки OB = 1, 𝑂𝐶=𝑥, 𝐵С=у, тоді 𝑠𝑖𝑛𝛼=𝑦1 𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑥1 Отже, tg𝛼=𝐵𝐶𝑂𝐶 ctg𝛼=𝑂𝐶𝑂𝐵 tg𝛼=𝑦𝑥 ctg𝛼=𝑥𝑦 𝒔𝒊𝒏𝜶=𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜶=𝒙 𝐭𝐠𝜶=𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 𝐜𝐭𝐠𝜶=𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶 

Синус, косинус, тангенс, котангенс кутів від 0° до 180° Нехай ∠𝑨𝑶𝑩𝟏 = 𝜶 - тупий кут Проведемо з точки 𝐵1(𝑥1;𝑦1) перпендикуляр 𝐵1𝐶1 до осі х. Утворився прямокутний ∆𝑂𝐶1𝐵1  з гіпотенузою 𝑂𝐵1, де 𝑂𝐵1=1 (оскільки півколо з радіусом 1) За аналогією гострого кута: Синусом кута α є ордината точки  𝐵1  одиничного півкола. Косинусом кута α є абсциса точки 𝐵1 одиничного півкола. Тангенсом кута α є відношення ординати точки  𝐵1  до абсциси цієї точки. Котангенсом кута α є відношення абсциси точки  𝐵1  до ординати цієї точки 𝒄𝒐𝒔𝜶=𝒙𝟏 𝐭𝐠𝜶=𝒔𝒊𝒏𝜶𝒄𝒐𝒔𝜶 𝐜𝐭𝐠𝜶=𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜶=𝒚𝟏 tg𝛼=𝑦1𝑥1 ctg𝛼=𝑥1𝑦1 

Тригонометричні функціїЗнаки у I і ІІ чвертях півкола. Оскільки координати (х;у) точок одиничного півкола змінюються в межах 0 ≤ у ≤ 1, -1 ≤ х ≤ 1, то для довільного кута𝛼такого, що 0°≤ 𝛼≤180°, справджуються нерівності: 0≤𝑠𝑖𝑛𝛼≤1 −1≤𝑐𝑜𝑠𝛼≤1 11- 1 Якщо:𝛼 − гострий кут, то 𝑠𝑖𝑛𝛼>0,  cosα>0, tg𝛼>0 𝛼 − тупий кут, то 𝑠𝑖𝑛𝛼>0,  cosα<0, tg𝛼<0 Окрім того, якщо кут 𝛼 збільшується від 0°до 90°, то його 𝑠𝑖𝑛 збільшується від 0 до 1, а cos зменшується від 1 до 0. Якщо кут 𝛼 збільшується від 90° до 180°, то його 𝑠𝑖𝑛 зменшується від 1 до 0, а cos зменшується від 0 до -1. Оскільки кожному куту 𝛼 від 0° до 180° відповідає єдине значення 𝑠𝑖𝑛, cos, tg і ctg, то можна вважати синус, косинус, тангенс і котангенс функціями з аргументом 𝛼. Ці функції (у = sin x, у = cos х, у = tg x у = сtg x) називають тригонометричними функціями 

Формули зведення. Розглянемо обидва гострих кути в ∆𝐴𝑂𝑋. Разом вони утворюють 90°, отже обидва кути виразимо через α Якщо s𝑖𝑛𝛼=𝐴𝑋𝐴𝑂;  𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑂𝑋𝐴𝑂;  то sin(90°−𝛼)=𝑂𝑋𝐴𝑂; 𝑐𝑜𝑠(90°−α) = 𝐴𝑋𝐴𝑂 Ми бачимо, що правильними є рівності:𝑐𝑜𝑠(90°−α)=𝑠𝑖𝑛α𝑠𝑖𝑛(90°−α)=𝑐𝑜𝑠αРозглянемо тупий кут, який також виразимо через αПравильними є наступні рівності: 𝑠𝑖𝑛(180°−α)=𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠(180°−α)=−𝑐𝑜𝑠αtg(180°−𝛼)=−tg𝛼 

Орієнтовні зображення кутів на одиничному півколі

Тригонометричні тотожностіЯкщо у ∆𝑂𝐶𝐵 застосувати теорему Піфагора, отримаємо 𝐵𝐶2+𝑂𝐶2=𝑂𝐵2  Змінивши відрізки на відповідні значення, то отримаємо𝑦2+𝑥2=1 Оскільки 𝒔𝒊𝒏𝜶=𝒚, а 𝒄𝒐𝒔𝜶=𝒙, то отримаємо основну тригонометричну тотожність: 𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=1 Ця тотожність дозволяє обчислити величину 𝒔𝒊𝒏 кута, якщо відомий 𝒄𝒐𝒔, та навпаки 𝑠𝑖𝑛2𝛼=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼=1−𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼=1−𝑐𝑜𝑠2𝛼 (значення s𝑖𝑛𝛼,  якщо 0°≤ 𝛼≤180° − лише додатні)  𝑐𝑜𝑠 𝛼=1−𝑠𝑖𝑛2𝛼 (значення 𝑐𝑜𝑠𝛼, якщо 0°≤𝛼<90°− додатнізначення 𝑐𝑜𝑠𝛼, якщо 90°<𝛼≤180°− від’ємні)