Основні поняття

Система числення (numbering system) - сукупність прийомів та правил для запису чисел знаками.

Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

Кількість цифр необхідних для запису числа в системі числення називається основою системи числення. Вона записується поряд з числом у нижньому індексі. Основою системи може бути довільне натуральне число, більше одиниці.

Способів запису чисел цифровими знаками існує безліч.

Найбільш відома система числення - десяткова система числення, у якій для запису чисел використовуються цифри від 0 до 9. Основа цих чисел є 10, тому що для їх запису необхідно 10 цифр. 

Наприклад,  

925,081₁₀ – число у десятковій с/ч (цифри від 0 до 9)

Наприклад,

Основні поняття

Непозиційні системи числення

Непозиційна система числення – система числення, в якій значення кожної цифри в довільному місці послідовності цифр, яка означає запис числа, не змінюється (вавилонська, римська). 

У непозиційній системі кожен знак у запису незалежно від місця означає одне й те саме число.

Римська система       числення    –     непозиційна система числення, кожний символ означає одне і те ж число не залежно від позиції.

Цифри позначаються латинськами буквами.

Наприклад,

           IX – 10-1=9      XI – 10+1=11

CСXXXIV – 100+100+10+10+10+(5-1) = 234

MCMLXXXVI – 

1000+(1000-100)+50+10+10+10+5+1 = 1986

Спробуйте самостійно написати поточний рік.

Позиційні системи числення

Основа позиційної с/ч – це кількість цифр, що використовуються для представлення чисел.

Значення цифри залежить від її позиції, тобто, одна і та ж цифра відповідає різним значенням в залежності від того, на якій позиції числа вона стоїть.

Наприклад,

1999 = 1000 + 900 + 90 + 9 – позиційна с/ч

MCMXCIX = 1000 + (1000-100) + (100-10) + (10-1) = 1999 – непозиційна с/ч

Будь-яка позиційна система числення визначається:

•     основою системи числення;

•     алфавітом системи числення (набір цифр);

•     правил виконання арифметичних операцій у цій системі числення.

Позиційні системи числення (абетка системи числення)

Абеткою системи числення називають набір цифр, яким можна користуватися у цій системі числення. Цей набір завжди починається з 0.

Наприклад,  1011001₂, 16734₈, 189580₁₀, 157FD3E₁₆

                                                          10010₂, 10010₁₆, 10010₈, 10010₁₀, 10010₅, 10010₇

Позиційні системи числення (переклад у 10 с/ч)

Запис довільного числа в q-ічній позиціоній системі числення виглядає так:

aq= (an-1an-2…a1a0a-1a-2…)q

Його можна представити у вигляді суми ступенів основи системи числення

аq an1*qn1 an2 *qn2 ...a1*q1 a0 *q0 a1*q1 a2 *q2 ...                                                                (1)

де

•        а – число;

•        q  - основа системи числення.

•        n – кількість цифр у числі;

•        а_n-1, a_n-2, …, a₁, a₀, a_-1, a_-2– цифра, яка розташована у розряді n-1, n-2, …, 1, 0, 

-1, -2, …

Позиційні системи числення (переклад у 10 с/ч)

Згідно формули

аq an1*qn1 an2 *qn2 ...a1*q1 a0 *q0 a1*q1 a2 *q2 ...

розберемо приклади

 5  4  3   2  1   0

152453₁₀ = 1*10⁵ + 5*10⁴ + 2*10³ + 4*10² + 5*10¹ + 3*10⁰

5  4  3   2  1   0

152453₈  = 1* 8⁵ +  5* 8⁴ +  2* 8³ +  4* 8² +  5* 8¹ +   3* 8⁰=

                        = 54571₁₀

5  4  3   2  1   0

152453₆  = 1* 6⁵ +  5* 6⁴ +  2* 6³ +  4* 6² +  5* 6¹ +   3* 6⁰=

                        =14865₁₀

 4   3   2   1   0

C2B5D₁₆  = C*16⁴ +  2*16³ +  B*16² + 5*16¹ + D*16⁰ =

                   = 12*16⁴ + 2*16³ + 11*16² + 5*16¹ + 13*16⁰ =797533₁₀ Позиційні системи числення (переклад у 10 с/ч)

продовження прикладів

 2  1  0   -1-2 -3

189,473₁₀ = 1*10² + 8*10¹ + 9*10⁰ + 4*10^-1 + 7*10^-2 + 3*10^-3

0   -1-2 -3-4

1,4723₈ = 1*8⁰ + 4*8^-1 + 7*8^-2 + 2*8^-3 + 3*8^-4  = підрахувати у 10 с/ч

0    -1-2 -3-4-5

0,04123₅ = 0*5⁰ + 0*5^-1 + 4*5^-2 + 1*5^-3 + 2*5^-4 + 3*5^-5 = підрахувати у 10 с/ч

 0  1   -1 -2 -3 

FB,9A3₁₆ = F*16⁰ + B*16^-1 + 9*16^-2 + A*16^-3 + 3*16^-5 

                               = 15*16⁰ + 11*16^-1 + 9*16^-2 + 10*16^-3 + 3*16^-5 = підрахувати у 10 с/ч