Презентація " Теорема синусів і теорема косинусів. Прикладні задачі"

Про матеріал
Презентація -супровід до уроку розв'язування прикладних задач на застосування теореми синусів і теореми косинусів.
Зміст слайдів
Номер слайду 1

9 клас. Теорема синусів. Теорема косинусів. Прикладні задачіГ. М. Дудар. Вчитель-методист. ТЗОШ І-ІІІст. №19м. Тернопіль

Номер слайду 2

Номер слайду 3

Теорема косинусів, по суті, була доведена, звісно, спочатку геометрично, ще у «Началах» Евкліда, а саме у 12-му і 13-му реченнях ІІ книги. У якій узагальнюється теорема Піфагора і виводяться формули , які виражають квадрат сторони, яка лежить проти гострого чи тупого кута трикутника. Це положення, доведене Евклідом, еквівалентне теоремі косинусів

Номер слайду 4

Починаючи з давніх часів і приблизно до XVII століття у тригонометрії розглядали виключно «розв’язування трикутників», тобто обчислення одних елементів трикутника (або многокутника, розбитого на трикутники) за іншими елементами. Такі обчислення виникали з потреб астрономії, мореплавства, геодезії, архітектури.

Номер слайду 5

Сучасного вигляду теорема косинусів набуває приблизно у 1801 році у французького математика Лазара Карно (1753-18230). Ж. Л. Лагранж вивів у 1799 році теорему синусів з теореми косинусів. Інший французький математик, О. Коші, виводить теорему косинусів із теореми синусів у своєму «Курсі аналізу» у 1821 році. Лазар Карно. Жозеф-Луї Лагранж. Огюстен Луї Коші

Номер слайду 6

Вчені Індії, як і учені країн ісламу у ІХ-Х століттях, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників. Тому у них не було потреби у теоремі косинусів. Вони її не знали. Цю теорему довів лише у одинадцятому столітті уродженець Хорезму видатний астроном і математик ал-Біруні. Разом із співвідношенням про суму кутів трикутникатеорема синусів давала можливість розв’язувати будь-який трикутник. Теоремою синусів користувалися починаючи з XVI століття європейські математики.

Номер слайду 7

Задача 1 На кришці парового циліндра діаметром 350 мм треба просвердлити 8 отворів для болтів. Знайдіть відстані між центрами отворів, якщо ці центри повинні бути від країв кришки на відстані 50мм. Розв’язання. АО=ВО=125 мм (за умовою задачі).∟АОВ=360◦ :8=45◦За теоремою косинусів АВ2 =АО2 +ВО2 –2 АО∙ВО cos. АОВ. АВ2 ≈9153 мм2 , АВ≈95, 6 мм2. Відповідь. 95,6 мм2 .

Номер слайду 8

Задача 2 З двох міст А і В виїжджають одночасно два потяги відповідно за напрямами АD і ВЕ, які перетинаються у місті С під кутом 60◦. Обидва поїзди рухаються рівномірно зі швидкостями відповідно 20 км/год і 30км/год. За скільки годин з моменту їх відправлення відстань між ними буде дорівнювати початковій, якщо АС=50 км, ВС=40 км?Розв’язання. Нехай t- час який потрібно знайти. Тоді за умовою задачі АD=20t, ВЕ=30t,СD=20t-50, СЕ=30t-40. З трикутника DЕС за теоремою косинусів : DE2 = (20t-50)2 + (30t-40)2 – (20t-50)(30t-40) cos60◦. З трикутника АВС за теоремою косинусів АВ2 =502 +402 -2∙50∙40cos60◦=2100. Враховуючи, що АВ=DE, знаходимо час t. t=3 год. Відповідь. Через 3 години.

Номер слайду 9

Задача 3 Силу, що дорівнює 23 Н треба розкласти на дві складові, кути яких з напрямом заданої сили дорівнюють відповідно 47◦ і 54◦. Знайти величину кожної із цих сил. Розв’язання∟DAC=54◦, ∟СAB=47◦, тому ∟ADC=79◦. За теоремою синусів𝑭𝟏𝒔𝒊𝒏𝟒𝟕 =𝑭𝐬𝐢𝐧𝟕𝟗 =𝑭𝟐𝒔𝒊𝒏𝟓𝟒 . Звідси F1 ≈17 H, F2 =19 Н. 

Номер слайду 10

Задача 4 Дорога на гору піднімається двома виступами у вигляді ламаної лінії, перший виступ утворює з горизонтом кут 30◦, а другий - 65◦. А пряма , яка з’єднує її з основою гори, нахилена до горизонту під кутом 60◦. Довжина виступу дорівнює 1км. Знайти висоту гори. Розв’язання. За умовою ∟АОЕ=30◦, ∟DОЕ=60◦, тому ∟DOA=30◦, ∟ODB=30◦.∟DAC=60◦, тому ∟ADC=25◦ і ∟ADO=5◦. З трикутника OAD за теоремою синусів ОА𝒔𝒊𝒏𝟓 = 𝑨𝑫𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎 . Отже, маємо: АD=𝑶𝑨∙𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎𝒔𝒊𝒏𝟓 ≈5,74 км. З трикутника ACD знаходимо DC= AD∙sin65◦≈5,2 км, СВ=АЕ=0,5 ОА≈0,5 м. Висота гори DB≈5,7 км. 

Номер слайду 11

Розв’язання. Нехай маяк знаходиться у точці М. Оскільки судно прямує точно на схід, то воно рухається по променю АВ (кут NAB-гострий). О 13год 10 хв судно знаходилось у точці А (∟NAM=∟NME=70◦). Якщо о 13год 40хв азимут напряму на маяк становив 20◦, то в цей момент воно знаходилось у точці В (∟NME1 =20◦). За 0,5 год судно пройшло відстань АВ, яка дорівнює 6 миль. Нехай ВМ=х. Кут АМВ=50◦, а кут МАВ=20◦. За теоремою синусів АВ𝐬𝐢𝐧𝑨𝑴𝑩=𝑩𝑴𝐬𝐢𝐧𝑴𝑨𝑩 або 𝟔𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎  =𝒙𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎  Звідси маємо. Що х≈ 2,7 морських миль. Відповідь. 2, 7 морських миль. Задача 5 Судно йде точно на схід із швидкістю 12 вузлів. О 13 год 10 хв азимут напряму на маяк дорівнював 70◦, а о 13 год 40 хв він становив 20◦. На якій відстані від судна знаходився маяк під час другого показу? Відомо, що один морський вузол відповідає 1 морській милі за годину.

Номер слайду 12

Задачі для самостійної роботи. Задача 6 Залізний стержень довжина якого х см треба зігнути під кутом так, щоб відстань між його кінцями була у см. Де повинна знаходитись точка згину? За яких умов задача матиме розв’язки? Задача 7 З гелікоптера , який знаходиться на висоті 1650 м, було помічено колону автівок. Початок колони видно під кутом пониження 70 градусів, а кінець під кутом 65 градусів. Знайдіть довжину колони. Задача 8 На матеріальну точку діють сили 35 Н і 85 Н під кутом 70 градусів. Знайдіть рівнодійну цих сил і кут, який утворює вона із більшою із даних сил. Задача 9Із спостережного пункту помічено літак, який пролітає над вежею. Висота якої 80м. Пряма, яка з’єднує спостережний пункт і верхівку вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 25 градусів. На якій висоті пролітає літак?Задача 10 Три населених пункти А, В, С розміщені так, що дороги які їх з’єднують утворюють трикутник. Відстань між А і В становить 24 км, між В і С – 36 км . Дороги , які ведуть з міста В у міста А і С утворюють кут 60 градусів. Яка відстань між містами А і С? Де потрібно розмістити АЗС, щоб відстань з усіх міст до неї була однаковою? Результати округлити до сотих.

Номер слайду 13

Молодці! Бажаю успіху!

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 2
Оцінки та відгуки
  1. Ирина Ирина
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  2. Бурдільна Лариса Григорівна
    Дуже класна презентація. Цікаво, де Ви знаходите такі задачі. Єдине, у першій задачі, у відповіді одиниці вимірювання лінійні, а не квадратні, мабуть не звернули увагу.
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
pptx
До підручника
Геометрія 9 клас (Єршова А. П., Голобородько В.В., Крижановський О.Ф., Єршов С. В.)
Додано
23 жовтня 2020
Переглядів
1699
Оцінка розробки
5.0 (2 відгука)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку