Презентація " Теорема синусів і теорема косинусів. Прикладні задачі"

9 клас. Теорема синусів. Теорема косинусів. Прикладні задачіГ. М. Дудар. Вчитель-методист. ТЗОШ І-ІІІст. №19м. Тернопіль

Теорема косинусів, по суті, була доведена, звісно, спочатку геометрично, ще у «Началах» Евкліда, а саме у 12-му і 13-му реченнях ІІ книги. У якій узагальнюється теорема Піфагора і виводяться формули , які виражають квадрат сторони, яка лежить проти гострого чи тупого кута трикутника. Це положення, доведене Евклідом, еквівалентне теоремі косинусів

Починаючи з давніх часів і приблизно до XVII століття у тригонометрії розглядали виключно «розв’язування трикутників», тобто обчислення одних елементів трикутника (або многокутника, розбитого на трикутники) за іншими елементами. Такі обчислення виникали з потреб астрономії, мореплавства, геодезії, архітектури.

Сучасного вигляду теорема косинусів набуває приблизно у 1801 році у французького математика Лазара Карно (1753-18230). Ж. Л. Лагранж вивів у 1799 році теорему синусів з теореми косинусів. Інший французький математик, О. Коші, виводить теорему косинусів із теореми синусів у своєму «Курсі аналізу» у 1821 році. Лазар Карно. Жозеф-Луї Лагранж. Огюстен Луї Коші

Вчені Індії, як і учені країн ісламу у ІХ-Х століттях, зводили розв’язування будь-яких трикутників до розв’язування прямокутних трикутників. Тому у них не було потреби у теоремі косинусів. Вони її не знали. Цю теорему довів лише у одинадцятому столітті уродженець Хорезму видатний астроном і математик ал-Біруні. Разом із співвідношенням про суму кутів трикутникатеорема синусів давала можливість розв’язувати будь-який трикутник. Теоремою синусів користувалися починаючи з XVI століття європейські математики.

Задача 1 На кришці парового циліндра діаметром 350 мм треба просвердлити 8 отворів для болтів. Знайдіть відстані між центрами отворів, якщо ці центри повинні бути від країв кришки на відстані 50мм. Розв’язання. АО=ВО=125 мм (за умовою задачі).∟АОВ=360◦ :8=45◦За теоремою косинусів АВ2 =АО2 +ВО2 –2 АО∙ВО cos. АОВ. АВ2 ≈9153 мм2 , АВ≈95, 6 мм2. Відповідь. 95,6 мм2 .

Задача 2 З двох міст А і В виїжджають одночасно два потяги відповідно за напрямами АD і ВЕ, які перетинаються у місті С під кутом 60◦. Обидва поїзди рухаються рівномірно зі швидкостями відповідно 20 км/год і 30км/год. За скільки годин з моменту їх відправлення відстань між ними буде дорівнювати початковій, якщо АС=50 км, ВС=40 км?Розв’язання. Нехай t- час який потрібно знайти. Тоді за умовою задачі АD=20t, ВЕ=30t,СD=20t-50, СЕ=30t-40. З трикутника DЕС за теоремою косинусів : DE2 = (20t-50)2 + (30t-40)2 – (20t-50)(30t-40) cos60◦. З трикутника АВС за теоремою косинусів АВ2 =502 +402 -2∙50∙40cos60◦=2100. Враховуючи, що АВ=DE, знаходимо час t. t=3 год. Відповідь. Через 3 години.

Задача 3 Силу, що дорівнює 23 Н треба розкласти на дві складові, кути яких з напрямом заданої сили дорівнюють відповідно 47◦ і 54◦. Знайти величину кожної із цих сил. Розв’язання∟DAC=54◦, ∟СAB=47◦, тому ∟ADC=79◦. За теоремою синусів𝑭𝟏𝒔𝒊𝒏𝟒𝟕 =𝑭𝐬𝐢𝐧𝟕𝟗 =𝑭𝟐𝒔𝒊𝒏𝟓𝟒 . Звідси F1 ≈17 H, F2 =19 Н. 

Задача 4 Дорога на гору піднімається двома виступами у вигляді ламаної лінії, перший виступ утворює з горизонтом кут 30◦, а другий - 65◦. А пряма , яка з’єднує її з основою гори, нахилена до горизонту під кутом 60◦. Довжина виступу дорівнює 1км. Знайти висоту гори. Розв’язання. За умовою ∟АОЕ=30◦, ∟DОЕ=60◦, тому ∟DOA=30◦, ∟ODB=30◦.∟DAC=60◦, тому ∟ADC=25◦ і ∟ADO=5◦. З трикутника OAD за теоремою синусів ОА𝒔𝒊𝒏𝟓 = 𝑨𝑫𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎 . Отже, маємо: АD=𝑶𝑨∙𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎𝒔𝒊𝒏𝟓 ≈5,74 км. З трикутника ACD знаходимо DC= AD∙sin65◦≈5,2 км, СВ=АЕ=0,5 ОА≈0,5 м. Висота гори DB≈5,7 км. 

Розв’язання. Нехай маяк знаходиться у точці М. Оскільки судно прямує точно на схід, то воно рухається по променю АВ (кут NAB-гострий). О 13год 10 хв судно знаходилось у точці А (∟NAM=∟NME=70◦). Якщо о 13год 40хв азимут напряму на маяк становив 20◦, то в цей момент воно знаходилось у точці В (∟NME1 =20◦). За 0,5 год судно пройшло відстань АВ, яка дорівнює 6 миль. Нехай ВМ=х. Кут АМВ=50◦, а кут МАВ=20◦. За теоремою синусів АВ𝐬𝐢𝐧𝑨𝑴𝑩=𝑩𝑴𝐬𝐢𝐧𝑴𝑨𝑩 або 𝟔𝐬𝐢𝐧𝟓𝟎  =𝒙𝐬𝐢𝐧𝟐𝟎  Звідси маємо. Що х≈ 2,7 морських миль. Відповідь. 2, 7 морських миль. Задача 5 Судно йде точно на схід із швидкістю 12 вузлів. О 13 год 10 хв азимут напряму на маяк дорівнював 70◦, а о 13 год 40 хв він становив 20◦. На якій відстані від судна знаходився маяк під час другого показу? Відомо, що один морський вузол відповідає 1 морській милі за годину.

Задачі для самостійної роботи. Задача 6 Залізний стержень довжина якого х см треба зігнути під кутом так, щоб відстань між його кінцями була у см. Де повинна знаходитись точка згину? За яких умов задача матиме розв’язки? Задача 7 З гелікоптера , який знаходиться на висоті 1650 м, було помічено колону автівок. Початок колони видно під кутом пониження 70 градусів, а кінець під кутом 65 градусів. Знайдіть довжину колони. Задача 8 На матеріальну точку діють сили 35 Н і 85 Н під кутом 70 градусів. Знайдіть рівнодійну цих сил і кут, який утворює вона із більшою із даних сил. Задача 9Із спостережного пункту помічено літак, який пролітає над вежею. Висота якої 80м. Пряма, яка з’єднує спостережний пункт і верхівку вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 25 градусів. На якій висоті пролітає літак?Задача 10 Три населених пункти А, В, С розміщені так, що дороги які їх з’єднують утворюють трикутник. Відстань між А і В становить 24 км, між В і С – 36 км . Дороги , які ведуть з міста В у міста А і С утворюють кут 60 градусів. Яка відстань між містами А і С? Де потрібно розмістити АЗС, щоб відстань з усіх міст до неї була однаковою? Результати округлити до сотих.

Молодці! Бажаю успіху!