5. Матеріальна точка рухається по прямій так, що відстань S до неї від довільної точки А цієї прямої змінюється по закону S= 0,5t2-3t +2 (м), де t – час руху у секундах. 1) Через який час з початку руху швидкість матеріальної точки буде дорівнювати 15 м/с?2) Обчислити швидкість точки через 6 секунд з початку руху. 3) Через скільки секунд з початку руху точка зупиниться?
Розв’язання S= 0,5t2-3t +2 1) Через який час з початку руху швидкість матеріальної точки буде дорівнювати 15 м/с?Потрібно знайти швидкість! Швидкість – це похідна закону руху v=S’(t)=t-3=15 Розв ’ язуємо рівняння та знаходимо: t=18 Відповідь : Через 18 секунд з початку руху швидкість точки буде дорівнювати 15 м/с Механічний зміст похідної полягає у тому, що ,
Розв’язання S= 0,5t2-3t +2 2) Обчислити швидкість точки через 6 секунд з початку руху. Швидкість – це похідна закону руху v=S’(t)=t-3 Яка вона буде у момент t0=6? Подставляємо в формулу швидкості t0 : v=S’(t)=t-3=6-3=3 Розв ’ язуємо рівняння та знаходимо: v=3 м/с. Відповідь : Через 6 секунд з початку руху швидкість точки буде дорівнювати 3 м/с Механічний зміст похідної полягає у тому, що ,
Розв’язання: S= 0,5t2-3t +2 3) Через скільки секунд з початку руху точка зупиниться?Якщо точка зупинилася, значить швидкість v=0 Потрібно знайти швидкість! Швидкість – це похідна закону руху v=S’(t)=t-3 та прирівняти 0!!!v=t-3=0 Розв ’ язуємо рівняння та знаходимо t =3 с. Відповідь : Через 3 секунд з початку руху швидкість точки буде дорівнювати 0 м/с Механічний зміст похідної полягаю у тому, що ,
6. Знайти кутовий коэфіцієнт дотичної, проведеної до графіку функції f(х)=3х3+2х-5 у точці з абсцисою х=2. Геометричний зміст похідної є кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює тангенсу кута наклону дотичної з додатним напрямом осі абсцис: k=tg α = f’(x0 ) Значить для рішення мы знаходимо похідну та обчисляємо її значення у точці х=2 F’(x)=9х2+2 F’(x)=9*22+2=38 Отже k=38
Ми згадали, що : k=tg α = f’(x0 ) Знаходимо похідну та потім її дорівнюємо -5, обчислюємо та отримуємо f’(x)=4-6х, 4-6х=-5, 4+5=6х 6х=9 х=1,5 Відповідь: кутовий коэфіцієнт дотичної у точці x0 =1,5 дорівнює -57. Дана функція f(х)=5+4х-3х2 . Знайдіть координати точки ії графику, у якій кутовий коэфіцієнт дотичної до нього дорівнює -5.
8. Знайдіть похідну функції f(х)=2х2+sin x. F’(x)=4x +cos x (похідна суми дорівнює сумі похідних!)9. Знайдіть похідну функції f(х)=2х2 + tg x. F’(x)=4x +𝟏с𝒐𝒔𝟐𝒙10. Знайдіть значення похідної функції f(х)= tg х-2sin x при х=-∏/4. F’(x)=𝟏с𝒐𝒔𝟐𝒙 - 2cos x F’(-π𝟒)= 𝟏с𝒐𝒔𝟐(−π𝟒) −𝟐𝒄𝒐𝒔 −π𝟒==2-𝟐 Відповідь: При х=-∏/4 похідна дорівнює 2-𝟐
Використання формули похідної складної функціїОбчислить: 11. 𝐹𝑥=(5𝑥−3)3 Рішення: Спочатку визначаємо похідну зовнішньої степеневої функції (5𝑥−3)3, а потім домножаємо на похідну внутрішньої функції (5х-3) 𝐹′(𝑥)=[5𝑥−3)3′=3∗(5𝑥−3)25𝑥−3′=5∗3∗(5𝑥−3)2=15∗(5𝑥−3)2 12. 𝐹𝑥= 5(5𝑥)3=(5𝑥35) Рішення𝐹′𝑥=35∗5(5𝑥2)∗5=35(5𝑥)2