Властивість паралельних прямих у просторіТеорема: Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній і до того ж тільки одну. Доведенняа. АНехай дано довільну пряму а і точку Проведемо площину 𝛼, яка проходить через пряму а і точку А. 𝛼Проведемо на площині 𝛼 пряму b ∥ а і b. Припустимо, що b не єдина пряма, проведемо ∥ а і
Ознака паралельності прямих у просторіТеорема: Якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Доведенняа. В Нехай а ∥ с і b ∥ с, всі три прямі не лежать на одній площині. Проведемо площину 𝛼, яка проходить через прямі а і c та площину β через прямі b і c. 𝛼Проведемо через пряму а і В площину 𝜔, яка перетне площину β по прямій bc. Виберемо. Оскільки b ∥ с, то ∦ с. Отже
Пригадаємо із планіметріїЯкщо пряма перетинає одну із двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу паралельну пряму. Середня лінія трикутникапаралельна основампаралельна третій стороні. Середня лінія трапеції Протилежні сторони паралелограма паралельні. Протилежні сторони прямокутника, ромба, квадрата. Протилежні сторони трапеції паралельні.паралельні. Основи
Ознака мимобіжності прямих у просторіТеорема: Якщо одна із двох прямих лежить у деякій площині, а друга пряма перетинає цю площину в точці, яка не лежить на першій прямій,то ці прямі мимобіжні Доведенняа. АНехай дано довільну пряму а⊂𝛼 і пряму𝛼Проведемо на площині 𝛼 пряму с ∥ а і b. Припустимо, що b ⊂𝛼, тоді с ∥ а і b ∥ а. с. Це неможливо, бо
Висновки. Щоб встановити паралельність двох прямих, треба показати, що: або існує пряма, якій паралельна кожна з даних прямих;або відрізки даних прямих є протилежними сторонами паралелограма (чи основами трапеції, чи основою і середньою лінією трикутника тощо). Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну. У просторі справджуються всі властивості двох паралельних прямих, які ви вивчали в планіметрії.