Прикладні задачі з математики

Прикладні задачі з математики за темами. Функція у=х², її графік і властивостіАрифметичний квадратний корінь. Множина. Числові множини. Властивості арифметичного квадратного кореня. Тотожні перетворення виразів, що містять квадратні кореніФункція у=√х, її графік і властивості

Задача-1: Фермер хоче огородити квадратну ділянку землі для вирощування овочів. Площа ділянки повинна становити 64 м². Знайдіть довжину сторони квадратної ділянки та побудуйте графік залежності площі від довжини сторони.

Розв'язок: Крок 1: Складаємо математичну модель. Нехай x - довжина сторони квадрата (м)Площа квадрата: S = x²За умовою: S = 64 м²Крок 2: Розв'язуємо рівняння x² = 64 x = ±√64 x = ±8 Крок 3: Аналізуємо результат Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, то x = 8 м. Крок 4: Перевірка S = 8² = 64 м² ✓Крок 5: Властивості функції y = x²Область визначення: x ∈ (-∞; +∞)Область значень: y ∈ [0; +∞)Функція парна: f(-x) = f(x)Мінімум функції: y = 0 при x = 0 Функція спадає при x < 0, зростає при x > 0 Крок 6: Графік функції Парабола з вершиною в точці (0;0), вітки направлені вгору. Відповідь: Довжина сторони квадратної ділянки дорівнює 8 метрів.

ЗАДАЧА-2: Лісничий Петро вимірював квадратну ділянку лісу для посадки нових дерев. Він знає, що площа цієї ділянки становить 144 гектара. Допоможіть йому знайти довжину сторони квадратної ділянки. Розв'язок: Крок 1: Записуємо дані задачіПлоща квадратної ділянки лісу: S = 144 га. Потрібно знайти: довжину сторони квадрата (a)Крок 2: Записуємо формулу площі квадрата S = a², де a - сторона квадрата. Крок 3: Підставляємо відомі дані 144 = a²Крок 4: Знаходимо сторону квадрата, обчислюючи арифметичний квадратний корінь a = √144 Крок 5: Обчислюємо квадратний корінь √144 = 12 (оскільки 12² = 12 × 12 = 144)Крок 6: Записуємо відповідь a = 12 га. Відповідь: Довжина сторони квадратної ділянки лісу становить 12 гектарів. Перевірка: 12² = 144 га ✓

Задача-3: У школі провели опитування серед 30 учнів 8-го класу про їхні улюблені предмети. Виявилося, що:18 учнів люблять математику (множина М)15 учнів люблять фізику (множина Ф)8 учнів люблять обидва предмети. Решта учнів не люблять жоден з цих предметів. Потрібно знайти: Скільки учнів люблять тільки математику?Скільки учнів люблять тільки фізику?Скільки учнів не люблять жоден з цих предметів?

РОЗВ*ЯЗОК: Крок 1: Позначимо множини. М = {учні, що люблять математику}Ф = {учні, що люблять фізику}|М| = 18 (потужність множини М)|Ф| = 15 (потужність множини Ф)|М ∩ Ф| = 8 (учні, що люблять обидва предмети)Крок 2: Знайдемо кількість учнів, що люблять тільки математику |М \ Ф| = |М| - |М ∩ Ф| = 18 - 8 = 10 учнів. Крок 3: Знайдемо кількість учнів, що люблять тільки фізику |Ф \ М| = |Ф| - |М ∩ Ф| = 15 - 8 = 7 учнів. Крок 4: Знайдемо загальну кількість учнів, що люблять хоча б один предмет |М ∪ Ф| = |М| + |Ф| - |М ∩ Ф| = 18 + 15 - 8 = 25 учнів. Крок 5: Знайдемо кількість учнів, що не люблять жоден предмет 30 - 25 = 5 учнів. Відповідь: Тільки математику люблять 10 учнів. Тільки фізику люблять 7 учнів. Жоден з предметів не люблять 5 учнів

ЗАДАЧА-4: Садівник має квадратну ділянку землі площею 64 м². Він хоче обгородити цю ділянку парканом. Знайдіть довжину сторони ділянки та периметр паркану. РОЗВ*ЯЗОК: Крок 1: Визначимо дані задачіПлоща квадратної ділянки: S = 64 м²Потрібно знайти: довжину сторони та периметр. Крок 2: Згадаємо формулу площі квадрата S = a², де a - сторона квадрата. Крок 3: Складемо рівняння a² = 64 Крок 4: Знайдемо сторону квадрата Щоб знайти a, візьмемо квадратний корінь з обох частин рівняння: $\sqrt{a^2} = \sqrt{64}$Крок 5: Застосуємо властивість арифметичного квадратного кореня Використовуючи властивість $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \geq 0$: $\sqrt{a^2} = a$ (оскільки сторона квадрата завжди додатна)Крок 6: Обчислимо квадратний корінь $a = \sqrt{64} = 8$ м. Крок 7: Знайдемо периметр паркану P = 4a = 4 × 8 = 32 м. ВІДПОВІДЬ: Довжина сторони ділянки становить 8 м, а периметр паркану - 32 м.

ЗАДАЧА-5: Фермер має квадратну ділянку землі площею 16 м². Йому потрібно знайти довжину сторони цієї ділянки, використовуючи властивість квадратного кореня. Площа квадратної ділянки S = 16 м²Потрібно знайти довжину сторони a. Розв'язання: Крок 1: Записуємо формулу площі квадрата S = a²Крок 2: Підставляємо відоме значення площі 16 = a²Крок 3: Щоб знайти a, застосовуємо квадратний корінь до обох частин рівняння √16 = √(a²)Крок 4: Використовуємо властивість з вашого зображення: (√a)² = a, де a ≥ 0 √(a²) = a (оскільки довжина сторони завжди додатна)Крок 5: Обчислюємо квадратний корінь √16 = 4 Крок 6: Записуємо відповідь a = 4 м. Відповідь: Довжина сторони квадратної ділянки становить 4 метри.

Задача-6: Інженер розраховує довжину кабелю для з'єднання двох точок. За формулою він отримав вираз √18 + √8 - √2. Спростіть цей вираз. Розв'язання: Крок 1: Розкладемо числа під коренями на прості множники:18 = 9 × 2 = 3² × 28 = 4 × 2 = 2² × 2 Крок 2: Винесемо квадрати з-під кореня, використовуючи властивість (√a)² = a, де a ≥ 0:√18 = √(3² × 2) = 3√2√8 = √(2² × 2) = 2√2 Крок 3: Підставимо спрощені корені у вираз: √18 + √8 - √2 = 3√2 + 2√2 - √2 Крок 4: Зведемо подібні доданки: 3√2 + 2√2 - √2 = (3 + 2 - 1)√2 = 4√2 Відповідь: 4√2