Применение производной при решении задач по физике

Тема урока: Применение производной при решении задач по физике

Цели  урока.

Образовательные:

• повторить основные правила вычисления производной;
• повторить основные уравнения механики;
• рассмотреть использование механического смысла   производной   для                                                                                               решения физических задач;
• убедиться в необходимости применения производной к решению задач физики, раскрыв эффективность и практическую пользу такого способа решения задач.

Развивающие:

• развивать познавательную активность, творческие способности и интерес к предмету;
• развивать логическое мышление, умение сравнивать, анализировать, обобщать, решать проблемные ситуации, делать выводы.

Воспитательные:

• воспитывать понимание важности математических знаний;
• воспитывать толерантность, умение слушать и слышать одноклассников, работать в группе.
• содействовать повышению интереса к переносу знаний математики в область физики;
• обеспечить условия для показа связи между изучаемыми предметами.

Тип урока: интегрированный, урок комплексного применения и усвоения новых знаний и умений.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.

Методы работы: проблемное, интерактивное обучение.

Оборудование: мультимедийный комплекс, цифровая лаборатория «Эйнштейн», штативы – 6, математический и пружинный маятники, шарик, цилиндр, секундомер, линейка.

Ход урока

І. Организационный момент. Мотивация учебной деятельности.

Здравствуйте, ребята. На нашем уроке присутствуют гости, поприветствуйте их. Садитесь.

Сегодня у нас необычный урок. Он будет объединять математику с физикой. Как сказал великий Николай Иванович Лобачевский, нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям природы, изучаемых физикой. (слайд1)

 В ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач. Только осознанное применение знаний, овладение математическим аппаратом, умение логически мыслить позволит достичь успехов в покорении вершин других наук.

ІІ. Актуализация опорных знаний.

А какой математической операции (области) посвящен урок, мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда. (слайд2)

 (Вопросы кроссворда на слайде, зачитываем.)

 Вопросы кроссворда:

1. Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
“Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности заданной точки ”(касательная)

2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени  ( кинематика)

3. Приращение какой переменной обычно обозначают х? (аргумент)

4. Точка в которой производная равна нулю или не существует... (экстремум)
5. Движения тела, происходящие около  некоторого положения равновесия и точно или приблизительно повторяющиеся через равные интервалы времени? (колебания)
6. Величина характеризующая быстроту изменения скорости тела  (ускорение)
7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют… (сложная)

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали получили имя французского математика, механика и астронома Жозефа Луи  Лагранжа.

Историческая справка

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Теперь вы знаете кому мы обязаны знанием производной. Обратимся к истории появления в математике термина “ производная”. Давайте послушаем  небольшую историческую справку-сообщение об ученых Лагранже, Ньютоне, Декарте, Ферми, Лейбнице.

(Сообщения рассказывают учащиеся) (слайд 3)

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж. (слайд 4)

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.(слайд5)

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в “Геометрии” Декарта. (слайд6) Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма. (слайд7)

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

Спасибо ребята,  присаживайтесь.

Итак, теперь мы можем сформулировать тему урока: “ Применение производной  при решении физических задач» (слайд8). Ребята как вы думаете, каких целей мы должны достичь к концу урока?

Проверка знаний таблицы производных (коллективное выполнение интерактивного упражнения)

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве. (слайд9)

 (Учащиеся по очереди выходят к доске и выполняют упражнение)

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи по математике. Попробуем применить эти знания в более нестандартных ситуациях.

Решение упражнений на нахождение производных (индивидуальное выполнение учениками у доски) (слайд10)

1. 
2. 
3. 
4. 

ІІІ. Изучение нового материала.

Достижение поставленных целей «Проба сил».

Итак, производные находить вы умеете, а умеете ли вы составлять уравнения движения?

Рассмотрим задачу (Текст на слайде, зачитываю.) (слайд11)

Движения  тела задано уравнением :  x = 10t + 0,4t²

Написать  уравнение  _х = _х(t)  для тела

 Чтобы почувствовать задачу в новом ключе, решим её сначала классическим методом с помощью привычных формул кинематики.

 Кто желает пойти к доске.

 (работает ученик, решая традиционным методом)

 

Раньше решали так: рассуждает ученик - запишем решение основной задачи механики в общем виде x= х0 + 0хt + ах t2/2 , подпишем под ним заданное уравнение x= 10t + 0,4t2 Сопоставим, запишем … 0х = 10м/с ах = 0,8 м/с2 Вспомним, как зависит скорость от времени, запишем: х (t)= 0х + ахt Подставим значения величин, запишем  уравнение скорости  тела х(t) = 10 + 0,8t. Ответ : скорость изменяется по закону х(t) = 10 + 0,8t   Спасибо, присаживайся

Теперь решаем так: Сначала разберёмся – о какой скорости идёт речь в этой задаче: средней, мгновенной или какой – то другой? (мгновенной). Какая скорость называется мгновенной? Как найти эту скорость?  (она равна отношению очень малого перемещения к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло) Т.к. проекция перемещения равна изменению координаты, то проекция  мгновенной скорости х равна отношению   . Чем меньше промежуток времени, тем точнее определяется мгновенная скорость.  Т.о., мгновенная скорость есть предел отношения х =    при 0, а это и есть определение производной!  Значит, скорость, о которой идёт речь в данной задаче,  будет равна  первой производной от координаты по времени х = хʹ Пожалуйста  доске… ….(работает ученик) ученик - Записываем  уравнение движения тела x = 10t + 0,4t2 Взяв производную, найдём х(t) = хʹ =  (10t + 0,4t2)´= 10 +  0,4·2t =10 + 0,8t. А если нам нужно найти ускорение? ученик  - скорость изменения скорости   ах =   , т.е. ах(t) = хʹ(t), т.е. вторая производная от координаты по времени ах(t) = 0,8 м/с.

 

 

IV. Применение знаний

Решим задачу: (слайд12)  В момент времени 1 с найти проекцию равнодействующих сил, действующих на тело массой 2 кг, движение которого описывается уравнением:

 x = - 6 + 2t - t² + t³ – cosπt ? Сможете ли вы решить такое уравнение, используя только знания  по физике?

Ваши предложения.

(с помощью производной) 

К  доске….(работает ученик)

Видите! Вот что такое производная в физике!

 Решим задачу: (слайд13)

1.  Два тела совершают прямолинейное движение по законам S (t) = 3t² - 2t+10,

S (t) = t² +5t+1, где t – время в секундах, а S (t), S (t) – пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости движения второго тела? (слайд14)

2. Тело, масса которого 4 кг, движется прямолинейно по закону х=1-2t+t² , где х - измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

 

Недавно мы с вами изучали колебательное движение, определяли период, частоту колебаний маятника, исследовали зависимость периода от длины маятника. Вот перед вами оборудование. Какие физические величины, характеризующие колебательное движение мы теперь можем определить используя производную? (слайд15)

 (Теперь, с помощью производной, можно определить для любого момента времени , а, р, F, Е_к  и Е_п)

Давайте определять зависимость импульса данного грузика от времени .

 

Кто желает пойти к доске вывести рабочую формулу для расчёта импульса  грузика.

(Ученик самостоятельно записывает формулу)

 

Измерения

По какой формуле вычисляется импульс тела? ( Р =  m) Запиши зависимость проекции  импульса  от времени ? P х (t) = m х (t) Значение проекции скорости мы научились находить  через производную. Тогда запиши уравнение, описывающее  движение груза на пружине  х = xmax cos2πνt Запишем уравнение проекции скорости:  х (t) = хʹ = (xmax cos2πνt)ʹ= - xmax2πν ·sin2πν·t Тогда уравнение для расчёта импульса: P(t) = m(t) =  - m xmax2πν·sin2πν·t Присаживайся. Получена рабочая формула, приступим к измерениям? И вот уравнение готово. По уравнению легко вычислить значение импульса тела в любой момент времени

Ученик   Измерения уже выполнены. Записывает на доске Т=… xmax =… m = …. ν = …. И тогда  формула  зависимости импульса для нашего колеблющегося  грузика ..  (подставляет  в уравнение ) P(t) = m(t) = - m xmax2πν·sin2πν·t

 

 Молодцы! Проба сил закончилась! А теперь займёмся….

V. Проверка полученных знаний

А теперь выполняем экспериментальное задание, объединившись в группы.

(распечатки на столах)

Проводим обсуждение результатов эксперимента .

 

VI. Рефлексия

Поразмышляем. (слайд16)

 (рефлексия, опрос мнений)

•    достигнуты  ли цели урока,
•    что вспомнили,
•    чему научились,
•    выполнили ли все поставленные задачи?
•    понравилось ли вам решать задачи новым способом?

 

VIІ.  Итог урока

Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая может выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Вагнер, когда говорил, что “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.

 

VIІI. Проба сил дома(слайд17)

1. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U0с начальной высоты h0, меняется по закону h =h0+U0t-gt2/2, где g =10м/c –ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е=mv2/ 2 + mgh, где m –масса снежка, не зависит от времени.
2. Составить 2 задачи на движение для решения с помощью производной

(слайд18)