Пряма та обернена пропорційна залежність

Конспект уроку математики в 6 класі

Пряма та обернена пропорційна залежність

Мета уроку:

     Закріпити знання про відношення, пропорцію та їх властивості.

     Ознайомити з поняттям прямої та оберненої пропорційної залежності.

     Навчити учнів застосовувати дані знання для розв’язування задач.

     Поглиблення та розширення математичних знань учнів.

     Формування уявлення про математику, як частину загальнолюдської культури.

Тип уроку: формування навичок і вмінь.

Обладнання: інтерактивна дошка, картки із завданнями для самостійної роботи.

Сьогодні на уроці.

     Закріпимо знання про відношення, пропорцію та їх властивості.

     Дамо відповідь на запитання «Що таке пряма та обернена пропорційна залежність?»

     Потренуємося у визначенні виду залежності між величинами.

     Навчимося застосовувати ці поняття для розв’язування задач.

      

І. Історична довідка.

Пропорції та пропорційні величини використовуються з давніх-давен. У стародавні часи пропорції відігравали тим значнішу роль, що задачі розв’язувались без рівнянь (більшість задач), а якраз за допомогою пропорцій.

Крім того, в Стародавній Греції дроби вважалися не числами, а відношенням чисел. Тому дії над дробами теж приводились до використання пропорцій. Цим пояснюється значна увага, яку приділяли вивченню пропорцій, як у стародавні часи, так і в середні віки.

Г. Віталі в 1668 р. писав: «Пропорція є основою, на якій будується вся математика, а також метою, до якої прагнуть усі її твердження».

Поняття про пропорційні величини зустрічається вже в давньоєгипетських папірусах. У Московському папірусі в задачі 7 є спеціальний значок для відношення. Ще ширше застосовується пропорції у вавілонян. У вавилонських текстах вводиться спеціальний термін для відношень. Піфагорійці розглядали пропорції трьох видів (у них пропорції називалися аналогіями):

Евклід розглядає в V книзі пропорції для величин, а в VII – для чисел.

Слово «пропорція» походить від латинського proportio, що означає співрозмірність, тобто «що має правильне співвідношення між частинами і цілими, такий, що перебуває в певному відношенні до деякої величини».

Пропорція

***

У нас на черзі ще одна

Знань важлива порція

Така рівність чарівна

На ім’я пропорція;

***

На уроках і житті

Є завдань багато

Де пропорції оті

Слід застосувати.

***

Щоб варити і пекти

Майструвати, шити

Пропорційність величин

Треба добре вчити.

***

Є в пропорції властивість,

Допоможе нам вона,

Не дарма така властивість

Має назву «основна».

***

І пропорції – рівняння

Ти розв’яжеш без вагання

Бо однакові в добутку

І середні в них і крайні

ІІ. Актуалізація опорних знань.

Що об’єднує між собою рух транспорту та кулінарію, виготовлення сплавів і малярні роботи, викреслювання карт і розглядання мікробів у мікроскоп? Комусь таке запитання може здатися дивним. Але учень 6-го класу може відповісти так: у всіх названих справах і процесах часто використовуються пропорції. Як пропорції допомагають розв’язувати різні задачі, ви дізнаєтеся, коли будете уважними на уроці.

Інтелектуальна розминка. Відповіді на запитання.

Виконай. Ти це вмієш! Учні пишуть відповіді в зошиті. Викликаю учня до дошки для запису відповідей.

Виконай. Ти це вмієш! Самостійна робота на розв’язування пропорцій. Запис рівнянь записаних на дошці.

     Що означає розв’язати пропорцію?

     Як знайти невідомий член пропорції?

Пригадай! Ти це знаєш!

Пригадай! Ти це знаєш!

Перевіримо самостійну роботу.

ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

Зрозумій. Це просто!

Означення прямо та обернено пропорційної залежності.

Задача 1. При розв’язуванні задачі видно, що при тій же самій швидкості велосипедист проїде більшу відстань. У скільки разів більша відстань (150:75=2 рази), у стільки разів більший час (6:3=2). Такі величини називаються прямо пропорційними.

Дві величини називають прямо пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів інша збільшується (зменшується) у стільки ж разів.

Задача 2. Швидкість мотоцикліст зменшив (60 : 45 = 4 : 3 рази), а час збільшився (4 : 3 рази). Такі величини називаються обернено пропорційними.

Дві величини називають обернено пропорційними, якщо при збільшенні (зменшенні) однієї з них у кілька разів інша зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Потренуємося!

Визначте, чи є пряма пропорційна, обернена пропорційна залежність або не є пропорційною залежності між величинами.

Перевір! Як ти зрозумів!

1.                 Довжина сторони квадрата та його периметр.

Пояснення. При збільшенні сторони квадрата периметр збільшується. Ми маємо прямо пропорційну залежність.

Відповідь. Прямо пропорційна залежність

2.                 Швидкість автомобіля і відстань яку проїде він за певний час.

Пояснення. Якщо швидкість автомобіля збільшиться то і відстань збільшиться.

Відповідь. Прямо пропорційна залежність

3.                 Ширина та довжина прямокутника при заданій площі.

Пояснення. Якщо довжину прямокутника збільшити то ширина зменшиться.

Відповідь. Обернена пропорційна залежність

4.                 Вік дерева та його висота.

Пояснення. Молоде дерево росте скоріше, дерево у віці росте набагато повільніше.

Відповідь. Немає  пропорційної  залежності.

5.                 Залежність між вартістю товару купленого по одній ціні і його кількості.

Пояснення. Якщо кількість товару збільшується, то вартість збільшується.

Відповідь. Прямо пропорційна залежність.

Алгоритм розв'язування задач за допомогою пропорцій.

1) Умову задачі записуємо у вигляді таблиці.

2) Невідоме число позначаємо через х.

3) Встановлюємо вид залежності

     прямо пропорційну залежність позначаємо однаково направленими стрілками

     обернену пропорційну залежність позначаємо протилежно направленими стрілками

4) Записуємо пропорцію.

5)Знаходимо невідомий член пропорції.

Розв’язування задач за допомогою пропорції.

Виконай! У тебе вийде! Задача 3, 4, 5,6.

Переконайся. Ти навчився! Робота з підручником № 622, 623 (робота учнів біля дошки).

Для любителів розплутувати складні завдання.

Задача 7. У давнину існували правила для розв’язування складних завдань. Нам знайома задача на пряму і обернену пропорційність, в якій по трьох значеннях двох величин потрібно знайти четверту. Ця задача є задачею на потрійне правило. Якщо для трьох величин необхідно п'ять значень, а потрібно знайти шосте, то правило називалося п’ятирним. Аналогічно для 4-х величин потрібно було знайти восьме значення. Таке правило називалося семеричним. Задачі на вживання таких правил називали задачі на складне потрійне правило.

ІV. Підсумок уроку.

Пряма та обернена пропорційна залежність

Зв’язки між величинами

Цікаві і безмежні.

Бувають величини

Залежні й незалежні.

***

Залежність також різна

Тут сумнівів нема

Буває пропорційність

Обернена й пряма.

  ***

Як швидкість вдвічі більша,

То й відстань більша вдвоє!

Пряму тут пропорційність

Ми бачимо з тобою.

  ***

Кількість і вартість,

Площа і врожай –

Тут пропорційність

Пряма, її запам’ятай!

  ***

Є пропорційність

Й обернена у нас:

Величина стала

Більшою в п’ять раз –

Вп’ятеро меншою

Іншою стає.

Ціна і кількість

Тут прикладом є.

Релаксація.

Домашня робота.

Творче завдання. Придумати 2-3 задачі на пряму та обернену пропорційність.