Розкладання многочленів на множники способом групування

Урок

Тема. Розкладання многочленів на множники способом групування

Мета: ознайомити учнів з алгоритмом розкладання многочленів на множники способом групування; розпочати роботу із засвоєння вмінь ви­користовувати цей алгоритм для розкладання многочленів на множники.

Тип уроку: засвоєння знань.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. № 3 з домашнього завдання слід перевірити окремо, бо ця вправа є завданням високого рівня складності, формулювання цієї вправи є новим для учнів.

Розв'язання.

Розкладемо суму на множники:

9²⁰⁰⁷ + 9²⁰⁰⁶ = 9²⁰⁰⁶(9 + 1) = 9²⁰⁰⁶ ∙ 10

Зрозуміло, що перший висновок, який можна зробити, це те, що дана сума ділиться на 10. Але, якщо згадати про ознаку числа, кратного 10, маємо шукану відповідь: число, кратне 10, має в кінці запису цифру 0.

2. Вправи № 1 (1,2,4,6), 2 (3) є підготовчими для сприйняття теми уроку,
   тому їх розв'язання також слід озвучити. Записавши заздалегідь на
   дошці умови завдань і ставлячи запитання, спонукаємо учнів до
   свідомої роботи:
   • Як прочитати вирази, дані в № 1, 2 (1)? (Сума або різниця добутків)
   • Що спільного мають кожний з доданків цієї алгебраїчної суми? (Спільні множники)
   • Яку дію можна виконати із цими спільними множниками? (Вине­сти ці спільні множники за дужки)
   • Як знайти ті вирази, що залишаться в дужках? (У дужках зали­шається сума або різниця, залежно від умови, тих множників, що не є спільними)
   • Що відрізняє умову вправ № 1 (3, 5) від інших вправ цього номера? Що попередньо треба зробити з даним виразом, щоб можна було його розкласти на множники? (Є не рівні, а протилежні множники, замінити один з протилежних множників так, щоб він змінив знак, та поміняти знак перед добутком, що містив цей множник)

II. Робота з випереджальним домашнім завданням

Гра «Математична естафета»

На дошці записано умови завдань № 4 (з домашнього завдання) у два стовпчики. По одному учню (з кожного ряду) виходять і записують на дошці вираз, що дорівнює черговому та сідають на місце, учні працюють, доки не будуть виконані всі вправи. Після цього учні 3-го ряду, які не бра­ли участі в естафеті, виконують завдання: із запропонованих виразів І та II груп утворюють пари, щоб виконувалась умова: кожний з виразів І та II груп після винесення спільного множника за дужки, повинен мати в дужках однакові множники.

Записи на дошці можуть мати вигляд:

III. Засвоєння знань

 Формувати знання матеріалу уроку краще індивідуальним спо­собом.

Тому по виконанні роботи на попередньому етапі уроку деякі учні самі дійдуть ідеї можливості «конструювання» («моделювання») ситуацій, що можуть привести до дій, виконаних у домашньому завданні, а саме: фор­мування пар одночленів за винесення спільного множника, в яких можна отримати однакові множники в дужках. Звертаючись до ідеї, використаної в №1 (див. домашнє завдання) можна завершити логічний ланцюжок, ви­нести утворений спільний множник за дужки. Можна для усвідомлення цього запропонувати учням низку завдань, що є логічним продовженням одне одного і розв'язання яких приведе до свідомого розуміння алгоритму розкладання многочленів на множники способом групування.

Завдання 1. Розкласти на множники вираз х(2 – х) + 2ху(2 – х).

Завдання 2. Розкласти на множники вираз (2х – х²) + (4ху – 2х²у).

Завдання 3. Розкласти на множники вираз 2х – х² + 4ху – 2х²у.

Завдання 4. Розкласти на множники вираз 2х – 2х²у – х² + 4ху.

Зауважимо, що виконання кожного наступного завдання слід почина­ти порівнянням його умови з попереднім розв'язаним завданням.

У будь-якому разі по виконанні всіх завдань чітко фіксуємо послідов­ність дій, формулюємо певний алгоритм «Розкладання многочленів на множники способом групування», який може звучати так:

Розкладаючи многочлени на множники способом групування, необ­хідно:

1) розбити всі члени многочлена на пари (групи) так, щоб після вине­сення за дужки спільного множника в такій групі в дужках утворились спільні множники;

2) винести за дужки спільний множник у кожній групі;

3) винести за дужки спільний двочленний множник.

* Зрозуміло, що виділений алгоритм можна записати учням у зошити й супроводити прикладами.

IV. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

Укажіть у кожному многочлені групи одночленів, які мають спільний множник, та назвіть цей множник:

1) ах + ау + 5х + 5у; 2) 2а – 2b + ап – bп;

3) ах + ау + 4х + 4у; 4) 7x + by + 7y + bx.

Виконання письмових вправ

1. Подайте у вигляді добутку:

1) х(b + с) + 3b + 3с;  2) у(а – с) + 5а – 5с;

3) р(с – d) + с – d;  4) а(р – q) + q – р.

2. За алгоритмом розкладання многочленів на множники способом групування розкладіть на множники:

1) ab + ac + xb + xc; 2) 5a + 5b – am – bm;           3) 6т – тп – 6 + п;

4) а⁶ + а⁴ – 3а² – 3;    5) 10а² b – 2а² +5аb² – аb;   6) 2х³ – 3х²у – 4х + 6у;

7) х²у – х + ху² – у; 8) am² – an – bm² + сп – ст² + bn.

3. Розкладіть на множники многочлен:

1) а² + b² – а³у – b²ау; 2) b²п + у² – bпу – bу; 3) 3а²с + 6а² – 10bс – 5bс²;

4) 12х² + 18у + 10х³ + 15ху.

4. (Додатково). Доведіть, що:

1) 8⁶ + 2¹⁵ кратне 9;   2) 9⁵ – 3⁸ кратне 24; 3) 6⁴ – 3⁶ кратне 7.

5. Логічна вправа. Яке число або вираз пропущено?

V. Підсумки уроку

 Оскільки основна мета уроку — засвоїти алгоритм (послідовність дій розкладання многочленів на множники способом групування), можна запропонувати учням завдання.

На окремих картках записано кроки розкладання многочлена на множники способом групування, послідовність карток змінено. Завдання — відновити логічний ланцюжок (викласти картки в послідовності, що відповідає алгоритму, і пояснити свій вибір). Наприклад

VI. Домашнє завдання

Використовуючи алгоритм розкладання многочленів на множники способом групування, виконайте №1, 2.

№ 1. Розкладіть на множники:

1) аb – ас + уb – ус; 2) 3х + 3у – bх – bу; 3) 4п – пс – 4 + с; 4) х⁷ – х³ + 4х⁴ – 4;

5) 6т²п – 3т² + 2тп – т;  6) 4а⁴ – 5а³у – 8а + 10у.

№ 2. Подайте у вигляді добутку:

1) аb – 8а – bх + 8х;  2) ах – b + bх – а; 

3) ах – у + х – ау;   4) ах – 2bх + ау – 2bу.

№ 3. Випереджальне домашнє завдання. Обчисліть значення виразів:

р³ + pq² – p²q – q³ та (р² + q²)(p – q), якщо р = 1,5 і q = 0,5.

Порівняйте: 1) відповіді; 2) кількість виконаних під час обчислення дій;

3) умови завдань (вирази та значення змінних).

Зробіть висновки.