Урок 2.

Тема уроку: Розв’язуання задач по темі

             «Основні правила комбінаторики»

ЦІЛІ: формування предметних  компетентностей :

Удосконалити вміння застосовувати основні правила комбінаторики до розв’язування задач;

 формування ключових компетентностей:

• формування вміння чітко, лаконічно та зрозуміло формулювати власну думку;
• формувати вміння генерувати нові ідеї, вирішувати проблеми;
• формувати навички взаємоконтролю і самоконтролю, уміння об’єктивно оцінювати результати індивідуальної роботи.

вміти : застосовувати правила комбінаторного множення та додавання; розв’язувати нескладні комбінаторні задачі.

Тип уроку: формування  компетентностей.

Обладнання: картки для роботи в групах

                                                            Хід уроку.

І. Організаційний момент.

Учні готуються до уроку. Вчитель пропонує кожному учню обрати паперовий прямокутничок різного кольору. І приклеїти свої прямокутники на паперовий аркуш. По кольорах які вибрали учні   вчитель аналізує настрій дітей на урок.

ІІ Актуалізація опорних знань.

1.Бесіда з учнями.

А) Що вивчає комбінаторика?

Б) Наведіть приклади комбінаторних задач.

В)Сформулюйте правила суми і добутку.

2.Математичний диктант

1. Оленка має 2 спіднички і 3 вишиті блузки. Скільки різних наборів вбрання можна вибрати для виступу в хорі.

2.Скільки різних речень можна скласти зі слів «ми», «любимо», «читати»? А зі слів «ми», «дуже», «любимо», «читати»?

3.Створюють емблему школи, елементом якої має бути многокутник певного кольору. Скільки таких емблем можна створити, якщо роз­глядати три фігури (трикутник, квадрат, шестикутник) і 4 кольори (синій, зелений, жовтий, червоний)?

4.У середу за розкладом в 11-А класі є 6 різних уроків, серед яких – алгебра і геометрія. Скількома способами можна скласти розклад так, щоб алгебра і геометрія стояли поруч?

5.У піцерії готують велику і маленьку піцу з товстою і тонкою основою. Скільки різних видів піци можна замовити в цій піцерії, якщо для тонкої піци використовують три види наповнення, а для товстої – чотири.?

6.Скільки різних «кортежів» може створити хлопчик з чотирьох іграшкових автомобілів: білого, жовтого, синього і червоного? Скла­діть відповідну діаграму-дерево.

Перевірка математичного диктанту проходить  методом взаємоперевірки.

ІІІ.  Формування практичних  компетентностей.

Робота в групах.

Кожна група розв’язує завдання дане на картках. Потім пояснюють свої розв’язки.

І група

1. В магазині "Все до чаю"  є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

Розв'язок. Виберемо чашку. У комплекті з нею можна вибрати будь-яке з трьох блюдець. Тому є три різні комплекти, які мають ви­брану чашку. Оскільки чашок всього 5, то кількість різних комплектів дорівнює 15. (15 = 5∙3).     

2. В магазині "Все до чаю" є п'ять різних чашок та 3 різних блюдця та  4 чайні ложки. Скількома способами можна купити комплект з чашки, блюдця та ложки?

Розв'язок. Виберемо будь-який з 15 комплектів попередньої задачі. Його можна доповнити ложкою чотирма різними способами. Тому за­гальна кількість мождивих комплектів дорівнює 60 (60 = 15∙4 = 5∙3∙4).

3. В Країні Чудес є три міста: А, Б і В. З міста А в місто Б ведуть 6 доріг, а з міста Б у місто В – 4 дороги . Скількома способами можна проїхати від А до В?

Розв 'язок. 24 = 6∙4.

4. В Країні Чудес є чотири міста: А, Б і В, Г і декілька нових доріг. Скількома способами можна тепер добратися з міста А в місто В?

Розв 'язок. Виділимо 2 випадки: шлях проходить через місто Б або через місто Г. У кожному з цих випадків легко порахувати кількість різних маршрутів: в першому – 24, у другому – 6. Додаючи, отри­маємо загальну кількість маршрутів: 30.     

5. Назвемо натуральне число "симпатичним", якщо в його запису зустрічаються тільки непарні цифри. Скільки існує 4-цифрових "симпатичних" чисел?

Розв'язок. Зрозуміло, що одноцифрових "симпатичних" чисел рівно 5. До кожного одноцифрового "симпатичного" числа друга непарна цифра може бути дописана п'ятьма різними способами. Таким чи­ном, двоцифрових  "симпатичних" чисел 5∙5 = 25. Аналогічно, три цифрових "симпатичних" чисел 5∙5∙5 = 125, а чотирицифрових – 5∙5∙5∙5 = 625.

Зауваження. В цій задачі розв'язок має вигляд mⁿ. До такого розв'язку приводять задачі, в котрих на кожному з n місць може бути поставлений елемент з деякої m-елементної множини. Ці задачі часто спричиняють труднощі у школярів, які не завжди розуміють,  яке з чисел є основою степеня, а  яке показник.

        ІІ група

6.  Монету кидають тричі.    Скільки різних послідовностей орлів та решок можна при цьому отримати? Відповідь: 2³=8.

7. Кожну клітинку квадратної таблиці 2x2 можна пофарбу­вати в чорний або білий колір. Скільки існує різних роафарбувань цієї таблиці?

Відповідь: 2⁴ = 16.

8. Скількома способами можна заповнити одну картку в ло­тереї "Спорт прогноз"? (В цій лотереї треба передбачити підсумок тринадцяти. спортивних матчів. Підсумок кожного матчу – перемога однієї з команд або нічия; рахунок не має значення.)

Відповідь: 2¹³.

9. У футбольній команді (11 чоловік) треба, вибрати капіта­на та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

Розв 'язок. Капітаном може стати будь-хто з 11 футболістів. Після об­рання капітана на роль заступника можуть претендувати 10 чоловік, які залишилися. Таким чином, всього є 11∙10 = 110 різних варіантів виборів.     

10. Скількома способами можна зробити трикольоровий прапор з горизонтальними смугами однакової ширини, якщо є матерія шести різних кольорів?

Ров'язок. Колір для верхньої смуги прапору можна вибрати шістьма різними способами. Після цього для середньої смуги прапора зали­шається п'ять можливих кольорів, а потім для нижньої смуги пра­пора – чотири різні кольори. Таким чином, прапор можна зробити 6∙5∙4 = 120 способами.

                                       ІІІ група

11. Скількома способами можна поставити на шахову дошку білу та чорну  тури  так, щоб вони не били одна одну?

Розв'язок. Білу туру можна поставити на будь-яку з 64 кліток. Незалежно від розташування вона б'є 15 полів (включаючи поле, на якому вона стоїть.). Тому залишається 49 полів, на які можна поставити чорну   туру. Таким чином, всього  64∙49 = 3136 різних способів.

12. . Скількома способами можна викласти в ряд червону, чор­ну, синю та зелену кульки?

Розв 'язок. На перше місце можна покласти будь-яку з чотирьох ку­льок, на друге – будь-яку з трьох, які залишилися, на третє –  будь-яку з двох, які залишилися, а на четверте – останню кульку, яка залишилася. Таким чином, розв'язок: 4∙3∙2∙1 = 4!.     

13. . Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ВЕКТОР"?

Розв 'язок. Оскільки всі літери слова різні, то всього можна отримати 6!=720 слів.

 14. Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ЛІНІЯ"?

Розв'язок. У цьому слові дві літери І, а всі інші літери різні.   Тимчасово будемо вважати різними і літери І, позначивши їх як І₁  та І₂. При цьому припущенні отримаємо 5! = 120 різних слів. Але ті слова, які дістаються одне з одного тільки переставленням літер І₁  та І₂, насправді однакові, Таким чином, отримані 120 слів розбиваються на пари однакових.    Тому різних слів всього 120 : 2 = 60.    

15.    Скільки різних слів можна отримати, переставляючи літери  слова "ПАРАБОЛА"?

Розв'язок. Вважаючи три літери А цього слова різними (А1, А2, А3), дістанемо 8!  різних слів. Але слова, які відрізняються лише пере­ставленням А1, А2, А3, насправді однакові. Через те, що літери А1, А2, А3 можна переставляти 3! способами, всі 8! слів розбиваються на групи з 3! однакових. Тому різних слів всього 8!/3!.

16.   Скільки діагоналей в опуклому "n"-кутнику?

Розв'язок. За перший кінець діагоналі можна взяти будь-яку з n  вершин, а за другу – будь-яку з n – 3 вершин, відмінних від вибраної та двох сусідніх з нею (див. мал. 10). При цьому підрахунку кожна діагональ обліковується двічі. 

Відповідь. n(n - 3)/2.

ІV.Підсумок уроку.

1.Чи дізналися ви щось нове на уроці?

2.Які були труднощі при розв’язуванні задач?

3. Над чим потрібно вам попрацювати?

V.Домашнє завдання.

№ 911,913.915.

Задача. 1.Дівчина  вирішила придбати український національний костюм.У крамниці їй запропонували три різних віночки, чотири види вишиванок, парчеву або суконну плахту й два види запаски. Скількома  способами дівчина може обрати собі вбрання з одного віночка , однієї вишиванки, однієї плахти і однієї запаски?

2. Скільки:

1. парних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, З, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися.
2. непарних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, З, 4, 5, якщо цифри не можуть повторюватися?

Література.

1.В.О.Сенчевський   Перші кроки в теорію ймовірності.2008 «Основа»

2.Істер  О.С. Алгебра 9.2017.Генеза

3. І.С.Маркова  Інтерактивні технології на уроках математики  2008 «Основа»