Розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь та рівнянь, що зводяться до квадратних. Підготовка до контрольної роботи "Квадратні рівняння"

Підготовка до контрольної роботи «Квадратні рівняння»Вчитель математики Нікітюк К. В. ОЗЗСО «Торчинський ліцей. Торчинської селищної ради»

Розв'язати рівняння 3x4 + 8x2 - 3 = 0; Заміна: x2 = t, тоді x4 = t2.    Друге рівняння не має коренів. Відповідь: 

Розв'язати рівняння 9х4 – 10x2 + 1 = 0, Заміна: х2 = t, тоді x4 = t2. 9t2 - 10t + 1 = 0; Відповідь: -1; -1/3; 1/3; 1. Заміна: x2 = t, тоді x4 = t2. 2t2 – 5t + 2 = 0; D = 26 - 16 = 9; Розв'язати рівняння2x4 – 5x2 + 2 = 0, Відповідь: 

1) x - 3√х + 2 = 0, заміна: √x = t, тоді x = t2, маємо рівняння t2 – 3t + 2 = 0; t1 = 1; t2 = 2, тоді √x = 1 або √x = 2; х = 1 або x = 4.2) х - √x - 12 = 0, заміна: √x = t, тоді x = t2, маємо рівняння t2 - t - 12 = 0; t1 = 4; t2 = -3.√x = 4 або √x = -3; друге рівняння не має коренів, з першого рівняння x = 16. Відповідь: 16.3) 3х -10√x + 3 = 0, заміна: √x = t, тоді x = t2, маємо рівняння 3t2 – 10t + 3 = 0; D = 64; √D = 8; t1 = 1/3, t2 = 3. √x = 1/3 або √x = 3; x = 1/9 або x = 9. Відповідь: 1/9; 9.4) 8√x + x + 7 = 0, заміна: √x = t, тоді x = t2, маємо рівняння 8t + t2 + 7 = 0; t2 + 8t + 7 = 0; t1 = -1; t2 = -7. √x = -1 або √x = -7; обидва рівняння коренів не мають, оскільки √x ≥ 0. Відповідь: коренів немає.

Пригадаємо алгоритм розв’язування задач за допомогою рівнянь Алгоритм. Позначити одну з невідомих величин змінною х;2. Виразити інші невідомі величини через х;3. Скласти рівняння , розв’язати його;4. Вибрати ті значення х, що задовольняють умову задачі та знайти (якщо треба) значення інших невідомих величин;5. Проаналізувати результат і записати відповідь.

Задача 1. Два робітники, працюючи разом, виконали виробниче завдання за 12 год. За скільки годин може виконати це завдання кожен робітник, працюючи самостійно, якщо один з них може це зробити на 7 год швидше за другого?х год потрібно першому для виконання завдання(х+7) год – другому для цієї роботи. Всю роботу приймемо за одиницю. За одну годину роботи перший виконав 1/х завдань,Другому- 1/(х+7) завдань. Виконуючи роботу разом, вони витрачають на завдання 12 год, тобто при спільній роботі за одну годину вони виконують 1/12 завдань або ж 1/х+1/ (х+7)Складемо рівняння і розв'яжемо його:1/х+1/(х+7)=1/12.12(х+7+х)=х(х+7)х²-17х-84=0 D=(-17)²-4∙(-84)=625=25² х=(17+25)/2=21 год – першому21+7=28 год - другому Розв'язання: Відповідь: 21 та 28 год

Задача 2. Набираючи щодня на 3 сторінки більше, ніж планувалося, оператор комп’ютерного набору закінчив роботу обсягом 60 сторінок на один день раніше строку. Скільки сторінок набирав він щодня?60х+180-60х=х²-3хх²-3х-180=0х𝟏=15х𝟐=-12 стороній корінь Нехай оператор набирав щодня х сторінок за норми – (х-3) сторінки. Маємо рівняння60\(х-3) - 60\х = 1 Відповідь 15 сторінок.

Задача 3. Човен пройшов 5 км за течією річки і 3 км проти течії, витративши на весь шлях 40 хв. Швидкість течії становить 3 км/год. Знайдіть швидкість руху човна за течією5/(х+3)+3/(х-3)=2/35∙3(х-3)+3∙3(х+3)=2(х-3)(х+3)15х-45+9х+27=2х² -182х² -24х =0х²-12х=0х(х-12)=0х=0 – сторонній коріньх-12=0х=12(км/год) – швидкість човна х  км/год- швидкість човнах+3 км/год – швидкість за течієюх-3 км/год – швидкість проти течії5/(х+3) год – час в дорозі за течією3/(х-3) год - проти течіїВсього в дорозі - 40 хв.40 хв=2/3 год. Складемо рівняння:

Розв’язання  Виконавши почлено ділення даного рівняння х𝟐, ми одержимо еквівалентне рівняння  Дане рівняння після заміни   = t перетворюється в квадратне рівняння t2+t-12=0. Його коренями будуть t1= -4 і t2=3. Повернення до заміни дає:      Розв’язавши ці рівняння, знаходимо корені…… Приклад 1. Розв’язати рівняння (2х2+5x+3)(2x2-4x+3)=-8x2.

Розглянемо рівняння виду (х+а)(х+b)(x+c)(x+d)=A, в якому а+d=b+с. Перемноживши першу і четверту та другу і третю дужки, ми прийдемо до рівняння виду (ax2+bx+c1)(ax2+bx+c2)=A, (a≠0, b≠0). А далі заміна: ax2+bx=t (або ax2+bx+c1=t).   Розв’язуючи останнє рівняння як у попередньому прикладі, знайдемо       Відповідь:  . Приклад. Розв’язати рівняння (х-2)(х+1)(х+2)(х+5)= -32. Розв’язання Перепишемо задане рівняння у вигляді:     ((х-2)(х+5))((х+1)(х+2))= -32,     (х2+3х-10)(х2+3х+2)= -32.

Далі застосовуємо метод розв’язування рівняння (ax2+b1x+c)(ax2+b2x+c)=Ax2, (a≠0,c≠0). Оскільки при х=0 маємо 24·24=4·0, то розділимо обидві частини рівняння на х2. одержуємо:    t2-25t+150=0. Корені цього рівняння t1=10, t2=15. Повертаючись до заміни, знаходимо: х1=6, х2=4,  .  Відповідь: 6, 4,  . Розглянемо рівняння виду: (х-а)(х-b)(x-c)(x-d)=Aх2, де ad=bc. Перемноживши першу і четверту та другу і третю дужки, ми прийдемо до рівняння виду (ax2+b1x+c)(ax2+b2x+c)=Ax2, (a≠0,c≠0). Приклад 20. Розв’язати рівняння (х-2)(х-3)(х-8)(х-12)=4х2. Розв’язання Перепишемо задане рівняння у вигляді: ((х-2)(х-12))((х-3)(х-8))=4х2,  (х2-14х+24)(х2-11х+24)=4х2. Після заміни