Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь

Тема: Розв’язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь

Задача 1. Учень задумав два числа, сума яких дорівнює 100, а різниця – 26. Які числа задумав учень?  

Розв’язування за допомогою рівняння з однією змінною:

 Нехай х – перше число, тоді (х – 26) – друге число. Оскільки їх сума дорівнює 100, то маємо рівняння:

х + (х – 26) = 100

2х = 126

х=126:2

х = 63

Відповідь: перше число 63, друге – 37.

Розв’язування за допомогою системи рівнянь:

Нехай х – перше число, тоді у – друге число. Оскільки їх сума дорівнює 100, то маємо рівняння: х + у = 100.

За другою умовою здачі маємо рівняння: х – у = 26.

Складемо систему рівнянь:

    та розв’яжемо способом додавання

2х = 126

х=126:2

х = 63

х+у=100

63+у=100

у=100-63

у = 37

Відповідь: перше число 63, друге – 37.

Розв’язуючи задачу за допомогою системи рівнянь,  слід дотримуватися такої послідовності дій:

1. позначити деякі дві невідомі величини змінними (наприклад, х і у);
2. за умовою задачі скласти систему рівнянь;
3. розв’язати одержану систему;
4. проаналізувати знайдені значення змінних відповідно до умову задачі, дати відповідь на запитання задачі;
5. записати відповідь.

1. У легкоатлетичній секції тренуються 32 спортсмени, причому дівчат серед них на 4 більше, ніж хлопців. Скільки дівчат і скільки хлопців тренується в цій секції?

Розв’язання.

Нехай х – дівчат, тоді у – хлопців. Оскільки їх сума дорівнює 32, то маємо рівняння: х + у = 32.

За другою умовою здачі маємо рівняння: х – у = 4.

Складемо систему рівнянь:

    та розв’яжемо способом додавання

2х = 36

х = 18 (дівчат)

у = 18-4=12 (хлопців)

Відповідь: 18 дівчат, 12 хлопців.

2.  За олівець і три зошити заплатили 8,8 грн., а за три олівці і зошит - 7,2 грн. Скільки коштує один олівець і скільки один зошит?

Розв’язання.

Нехай олівець коштує х грн.,  а зошит у грн. Оскільки за олівець і три зошити заплатили 8,8 грн., то маємо рівняння: х + 3у = 8,8

За другою умовою здачі маємо рівняння: 3х+у=7,2.

Складемо систему рівнянь:

 та розв’яжемо способом додавання

-8y = -19,2

y=2,4 грн. - зошит,

х+32,4 = 8,8

х=1,6 грн. – олівець.

Відповідь: 2,4 грн. ; 1,6 грн..

3.  У касі крамниці після переобліку залишилося 12 монет по 25 і 50 копійок, усього на суму 4 гривні. Скільки монет по 25 копійок і скільки по 50 копійок залишилося в касі?

Розв’язання.

 Нехай монет по 25 коп. було х шт.,  а по 50 коп. -  у. Оскільки у касі крамниці після переобліку залишилося 12 монет по 25 і 50 копійок, то маємо рівняння:  х + у = 12

За другою умовою здачі маємо рівняння: 0,25х+0,5у=4.

Складемо систему рівнянь:

    та розв’яжемо способом додавання

-y = -4

y=4 (шт.) по 50 коп.

х+у=12

х+4=12

х=12-4

х=8 (шт.) по 25 коп.

Відповідь: 8, 4.

4. Основа рівнобедреного трикутника на 2 см більша за його бічну сторону. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 26 см.

Розв’язання.

 Нехай основа трикутника х см.,  а бічна -  у грн.. Оскільки периметр трикутника дорівнює 26 см, то маємо рівняння:  х + 2у = 26.

За другою умовою здачі маємо рівняння: х-у=2.

Складемо систему рівнянь:

    та розв’яжемо способом додавання

3y = 24

y=8 (см.) –бічна сторона рикутника,

х-у=10 (см.) – основа трикутника.

Відповідь: 8 см., 10 см