розв'язування задач за допомогою системи рівнянь

Тема Розв’язування задач за допомогою системи рівнянь.

Мета  Розширити відомості учнів про розв’язування системи рівнянь. Досконалити навички  розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними при розв’язуванні  задач. Виховувати акуратність в роботі.

Тип уроку формування вмінь і навичок.

Хід уроку

І. Організаційний момент                                                                                    1 хв                                                       

Привітання.                         

 ІІ. Перевірка домашнього завдання                                                                 4 хв 

  Номер 13.13 Учні коментують з місця. (Підручник А.Г.Мерзляк. Алгебра 9 клас.)

1)

З другого рівняння визначимо х=1+у. Підставивши в перше одержимо 3у²-у-2=0,

Д=25, у₁=-,у₂=1, тоді х₁=_,х₂=2. Відповідь: (_;-)  (2;1)

 2)

З другого рівняння визначимо у=8-3х. Підставивши в перше одержимо

3х²-13х+10=0,Д=49, х₁=1,х₂=, тоді у₁=5,у₂=-2 Відповідь: (_;-2)  (1;5)

Номер 13.19 Звірити результат із записом на дошці.

1)

Використавши метод додавання одержимо систему

З другого рівняння визначимо у=5-х. Підставивши в перше одержимо х²-5х+4=0.

За теоремою Вієта х₁=_1,х₂=4, тоді . у₁=4,у₂=1  Відповідь: (1_;4)  (4;1)

2)

Використавши метод додавання одержимо систему

З другого рівняння визначимо у=2х-4. Підставивши в перше одержимо 3х²-5х+2=0,

Д=1, х₁=_,х₂=1, тоді . у₁=-,у₂=-2  Відповідь: (_;-)  (1;-2)

ІІІ. Повідомлення теми і мети                                                                              1 хв

Тема сьогоднішнього уроку “ Розв’язування задач за допомогою системи рівнянь”. Сьогодні ми досконалимо навички розв’язування систем двох рівнянь з двома змінними при розв’язуванні прикладних задач.

IV Актуалізаця опорних знань                                                                           7 хв

1 Розв’язуання задач з допомогою двох лінійних рівнянь ми вчили у 7 класі.   

    Хто пам’ятає алгоритм розв’язання задач?

- Позначити невідомі величини двома змінними.

- За допомогою задачі скласти два рівняння.

- Записати систему і розв’язати її.

- Пояснити знайдені розв’язки системи відповідно до умови задачі.

2. Питання

- Як знайти площу і периметр прямокутника зі сторонами а і в?

                                            S=ав,         Р=2(а+в)

- Як знайти невідомі елементи прямокутного трикутника?                     

                           с=, а=, в=,

- Як шукається спільна робота, якщо перший виконав завдання за х год, а другий за у год?

                                       

 

- Як запишеться двоцифрове число, якщо відомі розрядні одиниці х – десятки, а у – одиниці?

                                         10х+у

- Як шукається  шлях, якщо відомий час t і швидкість v?

                              s=vt

- Як шукається швидкість за течією річки і проти течії річки, якщо відома власна швидкість х і швидкість течії у?

                                               х+у –  за течією річки

                                               х-у –  проти течії річки

V  Вдосконалення одержаних знань                                                                 28 хв

1  Розв’язати задачу

а) №14.2

Різниця квадратів двох натуральних чисел дорівнює 20, а сума більшого з них і подвоєного другого числа дорівнює 14. Знайдіть ці числа.

Розв’язання

Нехай х – перше число, а у – друге число (х>у), тоді перше рівняння х²-у²=20, а друге х+2у=14. Складемо систему рівнянь. 

         

Спростивши перше рівняння одержимо  рівняння  3у²-56у+176=0, Д=1024, у₁=4, у₂=14, а х₁=6, х₂=-14. Оскільки -14 не натуральне число, тоді  відповідь  4 і 6.

В)№14.7

Двоцифрове число в 7 разів більше за суму своїх цифр і на 52 більше за добуток цифр. Знайти це число. 

Розв’язання

Нехай шукане чисор містить х десятків іу одиниць. Тоді перше рівняння 10х+у=7(х+у), а друге 10х+у-ху=52, якщо перше рівняння спростити то отримаємо , що х=2у. Підставивши в друге отримаємо  -2у²+21у-52=0, Д=25 у₁=6, у₂=4.Число  6не може бути числом одиниць, то х₂=8. Відповідь 84.

2 Скласти систему рівнянь до задачі

а)№14.10

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13 см, а його площа – 30 см². Знайти катети цього трикутника.

Розв’язання

Нехай х – перший катет, а у – другий катет прямокутного трикутника. Тоді перше рівняння х²+у²=13², а друге ху=30.

в) №14.15

Два мотоциклісти виїхали одночасно з міста А і В назустріч один одному. Через годину вони зустрілися та, не зупиняючись, продовжили рухатися з тією самою швидкістю. Один із них прибув у місто А на 35 хв раніше, ніж другий – у місто В. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста, якщо відстань між містами 140 км.

Розв’язання

Нехай х км/год – швидкість мотоцикліста з міста А, а у км/год – швидкість мотоцикліста з міста В. Тоді з умови, що вони через годину зустрілися маємо  перше рівняння х+у=140, а з умови що мотоцикліста з міста В прибув раніше на 35 хв маємо друге рівняння .

г)   №14.20

Дві бригади працюючи разом, можуть розвантажити товарний поїзд за 6 год. Перша бригада виконала всієї роботи, потім її змінила друга бригада, якай закінчила розвантаження. Уся робота була виконана за 12 год. Скільки часу потрібно кожній бригаді для самостійного розвантаження поїзда.

Розв’язання

Нехай х год – час першої бригади, а у год – час другої бригади . З умови що працюючи разом, можуть розвантажити товарний поїзд за 6 год маємо  перше рівняння ,а з умови перша бригада виконала всієї роботи, потім її змінила друга бригада, якай закінчила розвантаження і вся робота була виконана за 12 год маємо друге рівняння  х+у=12.

 

3.         Навчальна самостійна робота   №14.12

Площа прямокутника дорівнює 180 см². Якщо одну його сторону зменшити на 3см, а другу – на 2 см, то його площа дорівнюватиме 120 см². Знайдіть початкові розміри прямокутника.

Розв’язання

Кожен учень виконує сам. Вчитель слідкує за виконанням.

Учнівська сторінка

Нехай х см і у см початкові розміри прямокутника, х>0, y>0. З умови маємо рівняння ху=180 і (х-3)(у-2)=120. Складемо систему рівнянь.

 

Спростивши друге рівняння одержимо рівняння

 х²-33х+270=0,

Д=9,

х₁=15, х₂=18,

 у₁=12, у₂=10.

Відповідь 15см і 12см, або 18см і 10см.

VI Підсумок уроку                                                                                                    2 хв 

Назвіть алгоритм розв’язання задач за допомогою системи рівнянь

•          аналіз умови задачі
•          скласти систему двох рівнянь
•          розв’язати її
•          проаналізувати її

VII Домашнє завдання                                                                                             2хв   

№ 14.1, 14.6. Закінчити задачі до яких ми склали системи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Які є способи розв’язання систем? ( додавання, підстановки, графічний).

3. Записати формули на дошці

- Розв’язок квадратного рівняння за допомогою дискримінанта.

- Розв’язок квадратного рівняння за теоремою Вієта.

4. Питання у вигляді доміно.

 Учні з однієї парти вибирають собі доміно. Вибіркова пара учнів зачитує рівняння з правої  клітинки доміно, а всі інші шукають розв’язок. У кого є правильне відповідь зачитує і зачитує  рівняння зі свого доміно…

 

х1= -2   х2= -3	х2+х-6=0
х1=2   х2=-3	х2 +х-20  =0
х1= -5  х2=4	х2 -3х+2=0
х1=  1 х2=2	х2-8х-20=0
х1=  10 х2= -2	х2-5х+6  =0
х1=3  х2=2	х2-5х -6 =0
х1= 6  х2= -1	х2-7х+12 =0
х1= 4  х2=3	х2+5х +6=0