Розвиток теорії ймовірностей

Розвиток теорії ймовірностей. Історія

Повторення. Основні елементи комбінаторики. Розміщення Це будь-яка впорядкована підмножина m із елементів множини n. (Порядок важливий). 2. Перестановки Якщо m = n, то ці розміщення називаються перестановками. Комбінації Це будь-яка підмножина із m – елементів, які належать множині, що скадається із n –різних елементів. (Порядок не важливий). Наслідок. Число комбінацій із n елементів по n – m дорівнює числу комбінацій із n елементів по m, тобто .

Повторення. Розв’язання задач. Задача.1. Скільки можна записати чотиризначних чисел, використовуючи без повторения всі 10 цифр? Розв’язання: 1) 2) Так як серед чисел є 0, який не може стояти попереду,тому потрібно ще знайти: 3) .

Повторення. Розв’язання задач. Задача.2. Нехай є множина, що містить 4 букви : {А,В,С,Д}. Записати всі можливі комбінації із вказаних букв по три. Розв’язання: Таких комбінацій буде 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Тут в число комбінацій не входять, наприклад, АВС, ВСА, так як у нас уже є АВС,тому що порядок елементів в комбінації не враховується.

Повторення. Розв’язання задач. Задача.3. Скількома способами можна розмістити 9 різних книг на полиці, щоб визначені 4 книги стояли поруч? Розв’язання: Якщо позначити 4 визначені книги як одне ціле , то отримали 6 книг, які можна переставляти. 4 визначені книги можна переставляти Тоді всього перестановок згідно правила множення буде

Повторення. Розв’язання задач. Задача.4. Потрібно вибрати для подарунка 4 із 10 книг. Скількома способами можна це зробити? Розв’язання: Задача.5. Є 10 білих і 5 чорних кульок. Скількома способами можна вибрати 7кульок, щоб серед них були 3 чорних. Розв’язання: Білі кульки: . Чорні кульки: . Тоді .

Повторення. Розв’язання задач. Задача.6. Скількома способами можна групу із 12 чоловік розбити на 2 підгрупи, в одній з яких повинно бути не більше 5, а в другій – не більше 9 чоловік? Розв’язання: Перша підгрупа може складатися або із 3, або із 4, або із 5 чоловік.

Повторення. Розв’язання задач. Задача.7. Десять команд беруть участь у розіграші першості по футболу. Кращі з яких займають 1-е, 2-е і 3-е місця. Дві команди, які займуть останні місця не будуть брати участь в наступній такій же першості. Скільки буде різних варіантів результату першості, якщо враховувати тільки розміщення перших трьох і останніх 2-х команд? Розв’язання: 1-ші три місця можуть бути розподілені так: Залишається 7 команд, дві з яких вибувають із наступної першості, так як порядок вибувших команд не враховується, то => Тоді число можливих результатів

Повторення. Розв’язання задач. Задача.8. Скільки існує варіантів опитування 11 учнів на одному уроці, якщо жоден з них не буде викликаний двічі і на уроці може бути опитано будь-яка кількість учнів, порядок опитування неважливий. Розв’язання: Можуть не запитати жодного: , якщо тільки 1, то - якщо тільки 2-х то - і т.д. Тоді всього опитаних :

Проєкт. Як і чому виникла теорія ймовірностей?

План: Передісторія теорії ймовірностей. Виникнення теорії ймовірностей як науки.  Засновники теорії ймовірностей. Етапи розвитку. Сучасний період розвитку теорії ймовірностей. Висновки.

Теорія ймовірностей Розвиток теорії ймовірностей з моменту зародження цієї науки і до теперішнього часу було дещо своєрідним. На першому етапі історії цієї науки вона розглядалася як цікава "дрібничка", як збори курйозних завдань, пов'язаних в першу чергу з азартними іграми в кості й карти.

Етапи розвитку.  Передісторія теорії ймовірностей. У цей період, початок якого губиться у віках, ставилися і вирішувалися елементарні завдання, які пізніше будуть віднесені до теорії ймовірностей. Ніяких спеціальних методів у цей період не виникає. Цей період закінчується роботами Кардано, Пачолі, Тарталья та ін. З імовірнісними уявленнями ми зустрічаємося ще в античності. У Демокріта, Лукреція Кара та інших античних учених і мислителів ми знаходимо глибокі передбачення про будову матерії з безладним рухом дрібних часток (молекул), ми зустрічаємо міркування про рівноможливі події тощо. Н. Тарталья Д. Кардано 

Етапи розвитку.  Виникнення теорії ймовірностей як науки До середини, XVII ст. імовірнісні питання і проблеми, що виникають у статистичній практиці, в практиці страхових товариств, при обробці результатів спостережень і в інших областях, привернули увагу вчених, оскільки вони стали актуальними питаннями. У першу чергу це відноситься до Б. Паскаля, П. Ферми і X. Гюйгенса. У цей період виробляються перші специфічні поняття такі, як математичне очікування і ймовірність (у формі відношення шансів), встановлюються і використовуються перші властивості ймовірності: теореми додавання і множення ймовірностей. У цей час теорія ймовірностей знаходить свої перші застосування в демографії, страховій справі, в оцінці помилок спостереження, широко використовуючи при цьому поняття ймовірності.

Засновники теорії ймовірностей Засновниками теорії ймовірностей були французькі математики Б. Паскаль і П. Ферма, та голандський учений Х. Гюйгенс Б. Паскаль П.Ферма Х. Гюйгенс

Етапи розвитку.  Класичне визначення ймовірності. Наступний період починається з появи роботи Я. Бернуллі "Мистецтво припущень" (1713), в якій вперше була строго доведена перша гранична теорема - простий випадок закону великих чисел. До цього періоду, який тривав до середини XIX ст., належать роботи Муавра, Лапласа, Гаусса та ін. У центрі уваги в цей час стоять граничні теореми. Теорія ймовірностей починає широко застосовуватися в різних областях природознавства. І хоча в цей період починають застосовуватися різні поняття ймовірності (геометрична ймовірність, статистична ймовірність), панівне становище займає, особливо після робіт Лапласа, так зване класичне визначення ймовірності. Якоб Бернулли

Етапи розвитку.  Сучасний період розвитку теорії ймовірностей почався з встановлення аксіоматикиЦього насамперед вимагала практика, тому що для успішного застосування теорії ймовірностей у фізиці, біології та інших галузях науки, і навіть в техніці та військовій справі необхідно було уточнити і привести в струнку систему її основні поняття. Завдяки аксіоматиці теорія ймовірностей стала абстрактно-дедуктивною математичною дисципліною, тісно пов'язаною з іншими математичними дисциплінами. Це зумовило небувалу широту досліджень з теорії ймовірностей та її застосувань, починаючи від господарсько-прикладних питань і закінчуючи найтоншими теоретичними питаннями теорії інформації та теорії випадкових процесів.

Строге логічне встановлення теорії ймовірностей виникло XX ст. і зв’язане з іменами радянських математиків С. Н. Бернштейна і А. М. Колмогорова. Засновники теорії ймовірностей С. Н. Бернштейн А. М. Колмогоров

Висновки: Виникнення і розвиток теорії ймовірностей продиктовано необхідністю її застосування, починаючи від господарсько-прикладних питань і закінчуючи найтоншими теоретичними питаннями теорії інформації та теорії випадкових процесів.

Домашнє завдання. Задачі: 1. Скількома способами 9 чоловік можуть стати в чергу театральної каси? 2. На площині поставили 5 точок. Їх потрібно позначити латинскими буквами. Скількома способами це можна зробити (в латинскому алфавиті 26 букв)? 3.В магазині продається 8 різних наборів марок. Скількома способами можна вибрати із них 3 набори?