Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Тема уроку:  Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

 

Мета уроку:

 

Навчальна: розширити знання учнів про тригонометричні функції; ознайомити з формулами, що пов'язують тригонометричні функції одного й того самого аргументу, формувати вміння і навички застосовувати вивчені співвідношення для тотожних перетворень (спрощення) виразів, знаходження значення тригонометричних функцій за однією відомою функцією.

Розвивальна: розвивати вміння самостійно міркувати, аналізувати та використовувати набуті знання на практиці; пізнавальний інтерес, логічне мислення,математичну мову,  спостережливість, увагу, інтелектуальні здібності.

Виховна: виховувати вміння проводити об’єктивну самооцінку, самостійність та відповідальність, толерантне ставлення учнів до людей; формувати систему моральних ставлень особистості до світу.

 

Очікувані результати

Учні повинні знати: 

• формули подвійного та половинного аргументу;
• як отримувати формули подвійного аргументу з формул додавання;
• як отримувати формули подвійного аргументу з формул додавання.

 

Учні повинні вміти: 

• пояснювати, яку залежність виражають формули подвійного та половинного аргументу;
• отримувати формули подвійного аргументу з формул додавання;
• отримувати формули половинного аргументу з формул подвійного аргументу;
• розв’язувати задачі з даної теми;
• застосовувати отримані знання на практиці.

 

Тип уроку:  засвоєння нових знань і умінь. 

 

Міжпредметні зв’язки: біологія, інформатика, історія, фізика, спецтехнологія, виробниче навчання.

 

Обладнання уроку: підручники, роздатковий матеріал, ноутбук, мультимедійний проектор та екран,презентація.

 

План проведення уроку:

1. Означення перпендикулярних прямих.
2. Ознака перпендикулярності площин.
3. Побудова площини, перпендикулярної до заданої.
4. Приклади перпендикулярних площин на відповідних моделях або в навколишньому середовищі.

 

 

 

 

 

Структура уроку

 

1.	Організаційний   момент	1 хв
2.	1. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань учнів	5 хв
3.	Мотивація навчальної діяльності учнів	2 хв
4.	Повідомлення теми і мети уроку	2 хв
5.	Сприйняття й засвоєння учнями навчального матеріалу	20 хв
6.	Закріплення матеріалу. Тренувальні вправи (за рівнями)	10 хв
7.	Підсумки уроку	1 хв
8.	Оцінювання навчальних досягнень учнів	2 хв
9.	Домашнє завдання. Інструктаж до д/з.	2 хв

 

Хід уроку

 

І. Організаційний  момент.

Привітання, налаштування учнів на роботу на уроці.

 

 

ІІ.  Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань учнів

  Учні виконують інтерактивні вправи «Знайти рівні пари кутів представлених градусною і радіанною мірою», «Тригонометричні означення».

 

 

 

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів.

   Дуже часто при розв'язуванні задач виникає проблема: знайти значення тригонометричних функцій, якщо задано лише значення однієї з них. Отже, на сьогоднішньому уроці ми повинні згадати формули (залежності), які пов'язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

 

ІV. Повідомлення теми і мети уроку. Працювати ми з вами будемо за планом. Запишіть його в зошит

V. Сприйняття й засвоєння учнями навчального матеріалу

 

 Користуючись цими формулами, можна числове значення будь-якої тригонометричної функції виразити через значення іншої тригонометричної функції такого самого аргументу. Але треба враховувати, якій чверті належить цей аргумент.

 

 

     

 

 

  

 

1. Співвідношення між синусом і косинусом.

Нехай точка Ρ_α(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р₀(1; 0) на кут α радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos α, у == sin α (рис. 100)

Оскільки точка Р_α(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х² + у² = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos α і sin α , отримаємо:

(cos α)² + (sin α)² = 1 або (враховуючи, що (cos α)² = cos² α, (sin α)² = sin² α))   cos² α + sin² α = 1.

Таким чином, sin² α + cos² α = l для всіх значень α. Ця рівність називається основною тригонометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin α через cos α і навпаки.                            , .

 

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) cosα = і sinα = ;     б) sinα = - і cosα = -;  в) sinα = і cosα = - .

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) ні;        б) так;      в) так.

2. Знайдіть cos α, якщо sin α = 0,6 і   < α < π.

 Відповідь: cos α = -0,8.

3. Знайдіть sin α, якщо cos α = і < α < 2π.

Відповідь: sin α = - .

4. Спростіть вирази:

а) 1 + sin² α + cos² α;          б) 1 – sin² α – cos² α;      в) 2sin² α + cos² α – 1;     

г) (1 – cos α)(l + cos α);         д) ;                  є) sin⁴ α – cos⁴ α  + 1.

Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin² α; r) sin² α; д) tg²α; є) 2sin²α.

5. Доведіть тотожності:

а) (1 – cos 2α)(l + cos 2α) = sin² 2α;    6) cos⁴ α – sin⁴ α = cos² α – sin² α;

в) (sin² α – cos² α)² + 2cos²α sin²α = sin⁴ α + cos⁴ α;

r) 2cos²α sin²α + cos⁴α + sin⁴α = 1;    д) sin⁶ α + cos⁶ α = 1 – 3sin²α cos²α;

є) .

6. Знайдіть cos α, якщо cos⁴ α – sin⁴ α = .

Відповідь: cosα = ±.

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом.

 

,  .

Перемноживши ці рівності, одержимо

Отже, tgα · ctgα = l для всіх значень α, крім α = , k, k Ζ. із одержаної рівності можна виразити tg α через ctg α і навпаки: ; .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) tg α = і ctgα = ;   б) tgα  = і ctgα = ; в) tg α = -   і ctg α = 2

при одному і тому самому значенні α?

Відповідь: а) так;      б) ні;       в) ні.

2. Знайдіть

а) tg α, якщо ctg α = ;     б) ctg α, якщо tg α = -1;  в) tg α, якщо ctg α = 0.

Відповідь: а) ;      б) -1;       в) не існує.

3. Дано: х = 2tg α, у = ctg α. Знайдіть ху.

Відповідь: ху = .

4. Дано tg α + сtg α = 2. Знайдіть tg ² α + сtg² α. 

Відповідь: 2.

5. Спростіть:

а) tg α · сtg α – 1; б) sin² α – tg α · сtg α; в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.

Відповідь: а) 0;   б) – соs α;   в) 1.

6. Доведіть тотожності:

а) (tg α + сtg α)² - (tg α - сtg α)² = 4;  б)  ;

в) ;   г) ;   

є) 4 + (сtg α - tg α)² = (сtg α + tg α)².

 

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і синусом.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1  на соs²α, вважаючи, що соs²α ≠ 0, одержимо:

;   ,

звідси:  , де .

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn² α + соs² α = 1 на sіn² α, вважаючи, що sіn α ≠ 0, одержимо

;   ,

звідси:  , де .

Виконання вправ______________________________

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.

а) tg α = і соs α = ;  б) сtg α = 1 і sіn α = ;  в) tg α = і sіn α = при одному і тому ж значенні α?

Відповідь: а) ні;    б) так;     в) ні.

2. Відомо, що tg α = 2 і  . Знайдіть sіn α, соs α і сtg α.

Відповідь: sіn α =  ; соs α = ; сtg α = .

3. Відомо, що sіn α = і  0 < α < . Знайдіть соs α, tg α, сtg α.

Відповідь: соs α = ; tg α = ; сtg α = .

4. Відомо, що сtg α = -3 і α — кут IV чверті. Знайдіть sіn α, соs α, tg α.

Відповідь: sіn α = ; соs α =  ; tg α = .

5. Відомо, що соs α =  і α — кут І чверті. Знайдіть sіn α, tg α, сtg α.

Відповідь: sіn α = ; tg α = ; сtg α = .

 

 

6. Спростіть вираз:

а) ;  б) ;   в) ;

г) ;  д) ;  є) .

Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) ; є) tg α.

7. Доведіть тотожності:

а)    ;    б) (1 – сtg α)² + (1 + сtg α)² = ;

в) ; г) .

 

VI. Закріплення матеріалу. 

Приклад 1. Знайдіть cos α, tg α, ctg α, якщо sin α=0,8 i .

Розв’язання  

 , тому .

Тоді .

α – кут ІІ чверті, тому .

Значить .

.

.

Відповідь: cos α=___, tg α=___, ctg α=___.  

Приклад 2. Спростіть вираз:  .

 

Алгоритм розв’язання	Розв’язання
1. Замінимо тангенс і котангенс відношеннями:, , А вираз у знаменнику розкладемо як різницю квадратів:
2. Зводимо дроби у чисельнику до спільного знаменника
3. Ділимо дріб у чисельнику на знаменник
4. Скорочуємо дріб
	Відповідь:

	І варіант		ІІ варіант		Кількість балів
	Початковий рівень
1	Укажіть неправильну формулу:				1
	А)	Б)	В)	Г)
2	Чи можуть бути одночасно справедливими рівності:				1
3	Якщо		Якщо		1
	А)	Б)	В)	Г)
	Середній рівень
	Спростіть вираз:
4					1,5
5					1,5
Достатній рівень
6	Знаючи, що  , обчисліть значення cos α, tg α, ctg α за умови, що				3
Високий рівень
	Доведіть тотожність:
					3

VII. Підсумки уроку    Вправа «Мікрофон» .

- Сьогоднішній урок був для мене корисним, тому що ….

- Я дізнався …

- Я навчився … 

- Мені сподобалось …

- Мені не сподобалось …

 

VIII. Оцінювання учнів.  Оцінювання навчальних досягнень учнів

(з обґрунтуванням кожного виставленого балу відповідно до Критеріїв оцінювання).

 

IX. Домашнє завдання. Інструктаж до д/з.

Оголошення домашнього завдання ( обов’язкове та на вибір), інструктаж до його виконання.

Середній рівень

1. Спростіть вираз:

Достатній рівень

2. Знайдіть значення:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Бевз Г.П. Математика: 10 кл.: підруч. для загальноосвіт.навч. закл. : рівень стандарту / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. – К.: Генеза, 2010. – 320 с.
2. А.Г.Конфорович.    Добрий день. Архімеде! Цікаві задачі. Ігри, головоломки. –     К. Молодь, 1988
3. ДПА + ЗНО. Математика. Навчальний посібник О.С. Істер. Генеза- 2013

  ЗНО за 30 днів. Математика.   Навчальний посібник для підготовки до ЗНО

4.   Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. // Москва, «Астрель», 2001// 396 стор.
5. Вишенський В.А., Ганюшкін О.Г., Капташов М.В., Михайловський В.І., Призва Г.Й., Ядренко М.Й., Українські математичні олімпіади. // Київ, «Вища школа», 1993// 415 стор.