Структуровані завдання із стереометрії.

Структуровані завдання із стереометрії.

(готуємося до ЗНО)

Структуровані завдання стали частиною завдань з короткою відповіддю в сертифікаційній роботі з математики. Вони складаються з двох частин, відповідь до кожної з яких оцінюється 0 або 1 тестовим балом. Структуровані завдання можуть бути двох видів:

І - розв’язання частин завдання незалежні одне від одного;

ІІ - результат виконання першої частини завдання є «сходинкою» для розв’язання другої.

Пропоную вашій увазі приклади структурованих завдань із стереометрії, які можна використати при підготовці учнів до ЗНО.

Завдання І типу.

1) Дано вектори (2;-1;1)  і (-4; х+1 ;-2).

1. При якому значенні х вектори перпендикулярні?

2. При якому значенні х вектори колінеарні?

2) Дано точка А(2;-5;7).

1. Знайти точку симетричну точці А відносно осі у.

2. Знайдіть відстань від точки А до площини хОу.

3)  Площина α перетинає сторони АВ і АС трикутника АВС в точках В₁ і С₁ відповідно, де АС₁:С₁С=2:3 і В₁С₁=5 см. Пряма ВС і площина α паралельні.

1. Скільки спільних точок має площина α і пряма ВС?

2. Знайдіть довжину відрізка ВС.

4) Пряма АО перпендикулярна до площини кола з центром О. Точка В лежить на колі. Радіус кола дорівнює 8 см, а ∠АВО=60⁰.

1. Знайдіть величину кута між перпендикуляром і похилою.

2. Знайдіть довжину перпендикуляра.

5) Із точки А до площини α проведено дві похилі АС і АD та перпендикуляр АВ. АС=8 см, ∠САВ=60⁰,  ∠DАВ=45⁰.

1. Знайдіть довжину проекції похилої АС на площину α.

2. Знайдіть площу утвореного трикутника АВD.

6) Правильна призма має 14 граней.

1. Скільки сторін має многокутник який лежить в основі призми?

2. Яка градусна міра внутрішнього кута многокутника?

7) Дано рівняння сфери x²+y²+z²-2x+4у-6z-2=0.

1. Знайти радіус сфери.

2. Знайти центр сфери.

8) Кулю перетнуто січною площиною на відстані 8 см від центра кулі. Радіус кулі дорівнює 10 см.

1. Знайти об’єм кулі.

2. Знайти площу перерізу.

9) Радіус циліндра дорівнює 5 см, а висота 8 см.

1. Знайти площу бічної поверхні циліндра.

2. Знайти об’єм конуса вписаного в циліндр.

10. Ребро куба дорівнює 2 см.

1. Знайти радіус кулі, описаної навколо куба.

2. Знайти об’єм циліндра вписаного в куб.

Завдання ІІ типу.

1) Дано вектори (2;-1;2)  і (-4;0;3).

1. Знайти скалярний добуток векторів і .

2. Знайти косинус кута між векторами і .

2)  Дано точки А(3;-2;3), В(2;4;4), С(-4;0;6).

1. Знайдіть координати точки М середини сторони трикутника ВС.

2. Знайдіть медіану АМ трикутника АВС.

3) У гранях двогранного кута проведено прямі а і в, паралельні його ребру, на відстані 10 см і 6 см від нього відповідно. Відстань між прямими а і в дорівнює 14 см.

1. Знайдіть величину двогранного кута.

2. Знайдіть радіус описаного кола навколо утвореного трикутника.

4)  Точка S віддалена від усіх вершин трикутника АВС на 10 см. У трикутнику АВ= 6 см, а ∠АСВ=135⁰.

1. Знайдіть відстань від основи перпендикуляра до точки С.

2. Знайдіть відстань від точки S до площини трикутника АВС.

5) З точки А до площини α проведено дві похилі АВ=30 см і АС=40 см. Довжини проекцій цих похилих відносяться як 9:16.

1. Знайдіть відстань від точки А до площини α.

2. Знайдіть різницю площ утворених трикутників.

6) Дано рівняння сфери x²+y²+z²-6x+2z+1=0.

1. Знайти радіус сфери.

2. Знайти площу поверхні сфери.

7) Сторони основи прямої трикутної призми дорівнюють 10 см, 17 см і 21 см, а площа повної поверхні призми – 312 см².

1. Знайти площу основи призми.

2. Знайти довжину бічного ребра.

8) Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 6 см і 15 см, а висота піраміди дорівнює 4 см.

1. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

2. Знайти об’єм конуса описаного навколо піраміди.

9) Прямокутник із сторонами 5 см і 12 см обертається навколо прямої, що містить більшу з його сторін.

1. Знайдіть площу поверхні тіла обертання.

2. Знайдіть об’єм тіла обертання.

10) Радіус основи конуса дорівнює 8 см, а його твірна – 17 см.

1. Знайдіть різницю радіусів куль, описаної навколо конуса та вписаної в нього.

2. Знайдіть об’єм конуса.

 

 

Відповіді

 

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
І тип	1	-11	(-2;-5;-7)	0	300	4	12	4		80π	3
	2	2	7	12,5	8	8	1500	(1;-2;3)	36π		6
ІІ тип	1	-2	(-1;2;5)	1200	6	24	3	84	216	170	4
	2	-	6		8	168	36π	3	87π	300	320π