Сума нескінченної спадної геометричної прогресії

Тема уроку: Сума нескінченної геометричної прогресіїмодуль знаменника якої менший від 1.

Розглянемо квадрат зі стороною 1. Одну з частин знову поділимо(розфарбуємо) на дві рівні частини. Одну з частин знову поділимо(розфарбуємо) на дві рівні частини і т.д. 12 ;14 ;18 ;116 ;132 ; …Поділимо (розфарбуємо) його на 2 рівні частини .

Ми маємо справу з нескінченною геометричною прогресією. Чим більше таких кроків буде зроблено, тим менше площазафарбованої частини відрізнятиметься від площі даногоквадрата, а площа частини, яка ділиться, все меншевідрізнятиметься від нуля. У такому випадку говорять, щоплоща зафарбованої частини прямує до площі квадрата.

Sn=1212𝒏−1  12 − 1 =b11 - q q n. Sn=b1⋅(q n – 1)q - 1 =−12𝒏+1 = 1−12𝒏 . Оскільки n прямує до нескінченності, то 2𝒏 прямує до нескінченності, тоді 12𝒏 прямує до нуля. Отже, Sn = 1. Узагальнимо розглянутий приклад. b1 – b1q n 1 - q =b1 1 - q -

При | q | < 1 виконується рівність (цей факт буде доведено в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу). Тоді Звідси                                                        Число називають сумою нескінченної геометричної прогресії, у якої | q | < 1 і записують: b1 + b2 + b2 + … + bn = lim q n = 0 n → ∞lim n → ∞b11 - q q n = 0.lim n → ∞lim Sn =n → ∞b11 - q q nb1 1 - q -b1 1 - q = - .b1 1 - q b1 1 - q .

S=b1 1 - q . Якщо суму нескінченної геометричної прогресії позначити через S, то можна записати наступну формулу для знаходження суми n перших членів нескінченної спадної геометричної прогресії у якої | q | < 1:

Приклад. Подайте нескінченний періодичний десятковий дріб 0,(7) у вигляді звичайного дробу. Розв’язування. Запишемо 0,(7) у вигляді суми: 0,7 + 0,07 + 0,007 + … . Знайдемо суму нескінченної спадної геометричної прогресії за формулою: S = b11− q . Маємо: b1 = 0,7, b2 = 0,07, знайдемо q = 0,07 : 0,7 = 0,1. Тоді S = 0,71− 0,1  = 0,70,9 =79 . Відповідь: 79 . 

Приклад. Подайте нескінченний періодичний десятковий дріб 2,23(7) у вигляді звичайного дробу. Розв’язування. Запишемо 2,23(7) у вигляді суми: 2,23 + 0,007 + 0,0007 + 0,00007 + … . Знайдемо суму нескінченної спадної геометричної прогресії за формулою: S = b11− q . Маємо: b1 = 0,007, b2 = 0,0007, знайдемо q = 0,0007 : 0,007 = 0,1. Тоді S = 0,0071− 0,1  = 7900 . 2,23 + 7900  = 2014900 =1007450 . Відповідь: 1007450 . 

Приклад. Розв'яжіть рівняння 1 + 1 х  + 1 х𝟐  + 1 х𝟑  + … = 2, якщо | х | > 1. Розв’язування. Знайдемо суму 1 х  + 1 х𝟐  + 1 х𝟑  + … . Це нескінченно спадна геометрична прогресія. Маємо: b1 = 1 х , b2 = 1 х𝟐 , знайдемо q = 1 х𝟐  : 1 х  = 1 х , 1 х < 1. Тоді S = 1 х 1 − 1 х  = 1, 1х − 1 =1, х = 2. Відповідь: 2. 

Розв'язуємо самостійно:§ 7, п. 35, № 35.5(1,2), № 35.7(1), № 35.9, № 35.11(1), № 35.18(1),.

Домашня робота:§ 7, п. 35, № 35.2(1), № 35.4(1), № 35.6(1,2), № 35.15, № 35.19.

Дякую за увагу!

Здобувайте знання дистанційно із задоволенням!Бережіть себе!Мийте руки!Слухайте маму!

Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею №1 ЖМРПанським Володимиром Анатолійовичем2021