Технологія Лекальні криві

Лікальні криві. Циклойда

Що таке лекальні криві?Лекальні криві - це такі криві, які можуть бути накреслені тільки за допомогою лекала за попередньо збудованим точкам. Лекальні криві широко застосовуються в обрисах різних деталей і предметів. Це можуть бути профілі зубчастих коліс і кулачків, обриси кронштейнів, підвісок, посуду та меблів.

Якщо розсікти поверхню кругового конуса похилою площиною Р так, щоб вона перетнула всі його утворюють, то в площині перетину вийде еліпс Еліпс - плоска замкнута крива, у якої сума відстаней від будь її точки (наприклад, від точки М) до двох заданий точок F 1 і F 2 - фокусів еліпса - є величина постійна, рівна довжині його великої осі AB (Наприклад, F 1 M + F 2 M = AB). Відрізок AB називається великою віссю еліпса, а відрізок CD - його малої віссю. Осі еліпса перетинаються в точці O - центрі еліпса, а його розмір визначає довжина великої і малої осей. Точки F 1 і F 2 розташовані на великій осі AB симетрично відносно точки O і віддалені від кінців малої осі (точок С і D) на відстань, рівну половині великої осі еліпса. Способи побудови деяких лекальних кривих

Існує кілька способів побудови еліпса. Найбільш просто побудувати еліпс за двома його осях за допомогою допоміжних кіл. У цьому випадку задають центр еліпса - точку O і через неї проводять дві взаємно перпендикулярні прямі. З точки О описують дві окружності радіусами, рівними половині великої і малої осей. Велику окружність ділять на 12 рівних частин і точки поділу з'єднують з точкою О. Проведені лінії розділять меншу окружність також на 12 рівних частин. Потім через точки поділу меншою окружності проводять горизонтальні прямі (або прямі, паралельні великої осі еліпса), а через точки поділу більшої окружності - вертикальні (або прямі, паралельні малої осі еліпса). Точки їх перетину (наприклад, точка М) належать еліпсу. Поєднавши отримані точки плавною кривою, отримують еліпс. Способи побудови еліпса

Якщо круговий конус розсікти площиною Р, паралельної одній з його утворюють, то в площині перетину вийде парабола. Парабола - плоска крива, кожна точка якої віддалена на однакову відстань від заданої прямої DD 1, званої директоркою, і точки F - фокусу параболи. Наприклад, для точки М відрізки MN (відстань до директриси) і MF (відстань до фокусу) рівні, тобто MN = MF. Що таке парабола? Побудова параболи

Парабола має форму розімкнутої кривої з однією віссю симетрії, яка проходить через фокус параболи - точку F і розташована перпендикулярно до директрисі DD 1. Точна A, що лежить на середині відрізка OF, називається вершиною параболи. Відстань від фокуса до директриси - відрізок OF = 2  OA - позначають буквою р і називають параметром параболи. Чим більше параметр р, тим різкіше гілки параболи відходять від її осі. Відрізок, укладений між двома точками параболи, розташованими симетрично щодо осі параболи, називається хордою (наприклад, хорда M К).

Якщо розсікти прямий і зворотний конуси площиною, паралельної двом його утворюючим або в окремому випадку паралельної осі, то в площині перетину вийде гіпербола, що складається з двох симетричних гілок. Гіперболою - називається незамкнута плоска крива, що є безліч точок, різниця відстаней яких від двох даних точок є величина постійна. Що таке гіпербола? Побудова гіперболи

Циклоїда — плоска трансцендентна крива. Циклоїда визначається кінематично, як траєкторія  фіксованої точки кола радіуса, що котиться без ковзання по прямій. Що таке циклоїда?

Циклоїда -  періодична функція  по осі абсцис, з періодом. За межі періоду зручно прийняти особливі точки (точки повернення ) виду {\displaystyle t=2\pi k}, де {\displaystyle k} - довільне ціле число. Для проведення дотичної до циклоїди в довільній її точці A достатньо з'єднати цю точку з верхньою точкою кола. З'єднавши A з нижньою точкою кола, ми отримаємо нормаль. Довжина арки циклоїди дорівнює {\displaystyle 8r}. Цю властивість відкрив Кристофер Рен (1658). Властивості циклоїди

Площа під кожною аркою циклоїди втроє більша, ніж площа круга, що її породжує. Торрічеллі повідомив, що цей факт Галілей відкрив експериментально: порівнявши вагу пластинок з колом і з аркою циклоїди. Радіус кривини у першої арки циклоїди дорівнює {\displaystyle 4r\sin {\frac {t}{2}}}."Перевернена" циклоїда є кривою найскорішого спуску (брахистохроною). Більше того, вона має також властивість таутохронності: важке тіло, яке поміщене в будь-яку точку арки циклоїди, досягає горизонталі за один і той самий час.

Період коливань матеріальної точки, що ковзає по переверненій циклоїді, не залежить від амплітуди, цей факт був використаний Гюйгенсом для створення точних механічних годинників. Еволюта циклоїди є циклоїдою, конгруентною вихідній, а саме - паралельно зсунутої так, що вершини переходять у "вістря". Деталі машин, які здійснюють одночасно рівномірний, обертальний і поступальний рух, описують циклоїдальні криві (циклоїда, епіциклоїда, гіпоциклоїда, трохоїда, астроїда) (порівн. побудову лемніскати Бернуллі).

Історичний нарис

Першим із учених звернув увагу на циклоїду Микола Кузанський  в XV столітті, але серйозне дослідження цієї кривої почалося тільки в XVII столітті. Назву циклоїда придумав Галілей (у Франції цю криву спочатку називали рулеттою). Змістовне дослідження циклоїди провів сучасник Галілея Мерсенн. Серед трансцендентних кривих, тобто кривих, рівняння яких не може бути записане у вигляді многочлена від {\displaystyle x,y}, циклоїда - перша з досліджуваних. Паскаль писав про циклоїду: Рулетта є лінія настільки звичайною, що після прямої і кола немає лінії, як зустрічається частіше; вона окреслюється перед очима кожного, що треба дивуватися тому, як її не розглянули давні… тому що це не що інше, як шлях, що описує у повітрі цвях колеса.

Точки перетину циклоїди з прямою, по якій котиться коло (це коло називається виробляє, а пряма, по якій вона котиться, - направляючої), називаються точками повернення, а найвищі точки на циклоїді, розташовані посередині між сусідніми точками повернення, називаються вершинами циклоїди. Циклоїда

Першим вивчати циклоиду почав Галілео Галілей. Довжина однієї арки циклоїди була визначена в 1658 англійським архітектором і математиком Крістофером Реном, автором проекту і будівельником купола собору Святого Павла в Лондоні. Виявилося, що довжина циклоїди дорівнює 8-ми радіусів виробляє кола. Одне з чудових властивостей циклоїди, що дало їй назву - брахістохрони (від грецьких слів «найкоротший» і «час) пов'язане з вирішенням завдання про якнайшвидшому спуску. Стало зрозуміло, яку форму треба надати добре відшліфованому (щоб практично виключити тертя) жолобу, що з'єднує дві точки, щоб кулька скотився вниз від однієї точки до іншої в найкоротший час. Брати Бернуллі довели, що жолоб повинен мати форму перекинутої вниз циклоїди

Споріднені циклоїді криві можна отримати, розглядаючи траєкторії точок, які не перебувають на виробляє кола.нехай точка З 0знаходиться всередині кола. Якщо провести через З 0допоміжну коло з тим же центром, що і у що виробляє кола, то при коченні виробляє кола по прямій АВмаленька окружність буде котитися по прямій A´ В', Але її кочення буде супроводжуватися ковзанням, і точка З 0описує криву, яка називається скороченою циклоїдою. Циклоїда

Аналогічним чином визначається подовжена циклоїда - це траєкторія точки, розташованої на продовженні радіуса виробляє кола, при цьому кочення супроводжується ковзанням в протилежному напрямку. Циклоїдальні криві застосовуються при багатьох технічних розрахунках і властивості їх використовуються, наприклад, при побудові профілів зубів шестерень, в циклоїдальних маятниках, в оптиці і, таким чином, вивчення цих кривих важливо з прикладної точки зору. Не менш важливо і те, що, вивчаючи ці криві і їх властивості, вчені 17 ст. розробляли прийоми, які привели до створення диференціального й інтегрального числення, а завдання про Брахістохрона стала кроком до винаходу варіаційного обчислення. Циклоїда

Століття XVII - це вік циклоїди. Кращі вчені вивчали її дивовижні властивості. Яка траєкторія приведе тіло, що рухається під дією сили тяжіння, з однієї точки в іншу за найкоротший час? Це була одна з перших завдань тієї науки, яка зараз носить назву варіаційне числення. Мінімізувати (або максимізувати) можна різні речі - довжину шляху, швидкість, час. У задачі про Брахістохрона мінімізується саме час (що підкреслюється самою назвою: грец. Βράχιστος - найменший, χρόνος - час). Циклоїда

Перше, що спадає на думку, - це прямолінійна траєкторія. Давайте також розглянемо перевернуту циклоиду з точкою повернення у верхній із заданих точок. І, слідуючи за Галілео Галілеєм, - четвертинку кола, що з'єднує наші точки. Зробимо бобслейні траси з розглянутими профілями і простежимо, який з бобів приїде першим. Історія бобслею бере свій початок в Швейцарії. У 1924 році у французькому місті Шамоні проходять перші зимові Олімпійські ігри. На них вже проводяться змагання з бобслею для екіпажів двійок і четвірок.

Єдиний рік, коли на Олімпійських іграх екіпаж бобу складався з п'яти чоловік, був 1928. З тих пір в бобслеї завжди змагаються чоловічі екіпажі двійки і четвірки. У правилах бобслею багато цікавого. Звичайно ж, існує обмеження на вагу бобу і команди, але існують навіть обмеження на матеріали, які можна використовувати в ковзанах бобу (передня пара їх рухлива і пов'язана з кермом, задня закріплена жорстко). Наприклад, радій не може використовуватися при виготовленні ковзанів. Циклоїда

Дамо старт нашим четвірки. Який же боб першим приїде до фінішу? Боб зеленого кольору, Який виступає за команду Математичних етюдів і котився по циклоїдальних гірці, приходить першим! Чому ж Галілео Галілей розглядав четвертинку кола і вважав, що це найкраща в сенсі часу траєкторія спуску? Він вписував в неї ламані і зауважив, що при збільшенні числа ланок час спуску зменшується. Звідси Галілей природним чином перейшов до окружності, але зробив невірний висновок, що ця траєкторія найкраща серед усіх можливих. Як ми бачили, найкращою траєкторією є циклоїда. Теорія

Через дві дані точки можна провести єдину циклоиду з умовою, що у верхній точці знаходиться точка повернення циклоїди. І навіть коли циклоїді доводиться підніматися, щоб пройти через другу точку, вона все одно буде кривої найшвидшого спуску! Ще одна гарна завдання, пов'язане з циклоїдою, - завдання про таутохронность. У перекладі з грецької ταύτίς означає «той же самий», χρόνος, як ми вже знаємо - «час». Зробимо три однакові гірки з профілем у вигляді циклоїди, так, щоб кінці гірок збігалися і розташовувалися в вершині циклоїди. Поставимо три бобу на різні висоти і дамо відмашку.

Дивовижний факт - все боби приїдуть вниз одночасно! Взимку Ви можете побудувати у дворі гірку з льоду і перевірити це властивість наживо. Завдання про таутохронность полягає в знаходженні такої кривої, що, починаючи з будь-якого початкового положення, час спуску в задану точку буде однаковим. Християн Гюйгенс довів, що єдиною таутохронность є циклоїда. Звичайно ж, Гюйгенса не цікавив спуск по крижаних гірках. У той час вчені не мали такої розкоші займатися науками з любові до мистецтва. Теорія

Завдання, які вивчалися, виходили з життя і запитів техніки того часу. У XVII столітті відбуваються вже далекі морські плавання. Широту моряки вміли визначати вже досить точно, але дивно, що довготу не вміли визначати зовсім. І один із запропонованих способів вимірювання широти був заснований на наявності точних хронометрів. Першим, хто задумав робити маятниковий годинник, які були б точні, був Галілео Галілей. Однак в той момент, коли він починає їх реалізовувати, він уже старий, він сліпий, і за рік, що залишився свого життя вчений не встигає зробити годинник. Він заповідає це синові, проте той зволікає і починає займатися маятником теж лише перед смертю і не встигає реалізувати задум.