Тема: Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та їх              розв’язок. Графічний метод розв’язування систем. 

Мета заняття:

✓    сформувати поняття системи двох рівнянь із двома змінними, розв’язку системи рівнянь із двома змінними; 

✓    ознайомитися із графічним способом розв’язування систем лінійних рівнянь;

✓    вміти розв’язувати графічно системи лінійних рівнянь;

✓    навчитися перевіряти, чи є пара чисел розв’язком даної системи лінійних рівнянь;

✓    розуміти залежності кількості розв’язків системи лінійних рівнянь від відношення коефіцієнтів цих рівнянь.

Рекомендації до заняття: 

-         опрацювати теоретичний матеріал до уроку;

-         запам’ятати  поняття системи двох рівнянь із двома змінними; 

-         знати, що називається розв’язком системи рівнянь із двома змінними;

-         знати алгоритм розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними графічним способом; 

-         опрацювати розв’язки-зразки практичного матеріалу до уроку;

-         опрацювати самостійно практичні завдання до уроку;

-         перевірте свої теоретичні знання, відповівши на запитання до уроку; - перевірте свої знання за допомогою тесту самоконтролю до уроку.

Пригадайте:

1.   Які рівняння називають лінійними рівняннями із двома змінними?

2.   Що називають розв’язком рівняння із двома змінними?

3.   Чи завжди графіком лінійного рівняння із двома змінними є пряма?

4.   Як розміщені на координатній площині графіки у = b; х = а? 

Теоретичний матеріал для опрацювання.

1. Поняття системи двох лінійних рівняння із двома змінними. 

  Якщо необхідно знайти спільний розв`язок кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють систему рівнянь і записують систему рівнянь за допомогою фігурної дужки:

              ax by c₁ + =_{1          1}

a x b y c₂ + ₂ = ₂

 

2.   Розв’язок системи рівнянь із двома змінними. 

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних (х; у), яка перетворює кожне рівняння системи в правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв`язки або довести, що вони не існують.

3.   Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. 

Для розв’язання системи рівнянь використовують способи:

-         графічний;

-         спосіб підстановки (аналітичний); -спосіб додавання (аналітичний).

    На цьому занятті ми розглянемо графічний спосіб розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними.

    Для розв’язання системи рівнянь графічним способом користуються графіками цих рівнянь.

     Скористуємося алгоритмом розв’язання системи рівнянь графічним способом:

1)    побудувати графіки рівнянь системи в одній координатній площині;

2)    знайти координати всіх точок перетину графіків рівнянь; 3) отримані пари чисел і є шуканими розв’язками системи.

Зверніть увагу на те, що, графіком кожного рівняння системи лінійних рівнянь із двома змінними є пряма. Якщо прямі перетинаються, то система має один розв`язок; якщо прямі не перетинаються, то система не має розв`язків; якщо прямі збігаються, то система має безліч розв’язків. 

a1 a2

b       c = 1  1 b2 c2

 

      

Для знаходження існування кількості розв’язків системи рівнянь зручно не розв’язувати систему графічним способом, а скористатися  залежністю відношення коефіцієнтів цих рівнянь, а саме:

1)    якщо прямі перетинаються, то система має один розв`язок і  відношення коефіцієнтів цих рівнянь:        a b1     1    a b2    2

2)    якщо прямі не перетинаються, то система не має розв`язків і відношення коефіцієнтів цих рівнянь:

3)    якщо прямі збігаються, то система має безліч розв’язків і відношення коефіцієнтів цих рівнянь:

 

a1 a2

b      c = =1 1 b2 c2

 

     Розгляньте розв’язки-зразки практичного матеріалу до уроку і складіть конспект.

 

 

Практичний матеріал для розгляду і  складання конспекту.

Первинне закріплення знань.

Виконання усних вправ.

1. Які з пар чисел (-3; 2); (3; - 2); (3; 2) є розв’язком системи рівнянь

4 5x− =y 2

 ?

x+ =2y 7

Розв’язання

Підставимо координати точки в кожне рівняння системи

(-3; 2) – не є розв’язком

                       4 ( 3) 5 2 2 −     −      =−22 2

            

                    − +3 2 2 7   =1 7

Аналогічно знайдемо для інших точок:

(3; - 2) – не є розв’язком (3; 2) – є розв’язком

 

 

2. Скільки розв’язків має система рівнянь, графіки яких зображено на рисунках а) і б)?

                      а)                                                     б)

 

Відповідь: а) безліч;

б) одне.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконання письмових вправ (зразки оформлення).

1.     Розв`яжіть графічно систему рівнянь:

4 5x− =y 2

      

x+ =2y 7

х	-2	3
у	-2	2

х	1	3
у	3	2

  Виразимо змінну у через х з кожного рівняння і складемо таблиці значень     для          побудови    графіків      зазначених рівнянь       на      одній координатній площині:

4х – 5у = 2                                                     у =  0,8х – 0,4                                                                                                   

 

х + 2у = 7 у = - 0,5х + 3,5

Відповідь: точка (3; 2)

2.     Складіть систему двох лінійних рівнянь, яка має розв`язок (5; -1).

Розв’язання

Підставимо в систему значення змінних х і у,  візьмемо любі числа а, b і знайдемо c для кожного рівняння:

ax by c₁ + =_{1            1} a x b y c₂ + ₂ = ₂

      

               5a b c₁ − =_{1        1}5 2 3 7             −     =2х− =3у 7

 

                5a b c₂ − =_{2 2}5 1 8 −    = −3х+ =−8у  3

2х− =3у 7

                Відповідь:                             

                                                       х+ =−8у 3

3. Скільки розв’язків має система рівнянь:

         − + =2 5 10х ух− =−2у                    2,53х− =2у 12

а)   ;      б)                                                           ;           в)                                 

         − + =2 3х            у 66х−12у=−27−1,5х у+ =−6

Розв’язання

З`ясуємо залежність відношення коефіцієнтів цих рівнянь:

−2        5      10 −2       3      6

а)  = ,  має єдиний розв`язок;

 

1 −2 −2,5 6 −12 −27

б)  =                    , не має розв`язків;

 

в)  , має безліч розв`язків.

 

     4. При яких значеннях а система рівнянь не має розв’язків  

9 2 11х+ =у

                                 ?

9 2х+ =у а

Розв’язання

a1 b1                 c1 =  a2 b2 c2

    Ми знаємо, що система не має розв`язків,  якщо відношення коефіцієнтів цих рівнянь:

 

маємо:  с с1  2

Відповідь: а ≠ 11.

 

Практичні завдання для самостійного опрацювання

 

1.     Яка пара чисел (-2; 1),  (2; -1),  (6; 4), (8; - 4) є розв’язком системи рівнянь:

3              8х− =−у     14

4х у+ =28

 

2.     Розв`яжіть графічно систему рівнянь: х+ =2у 0

а)     5х у+ =−18

 

2 5 10х− =у б      4х у− =²

 

3.     При яких значеннях а і b пара чисел (-2; 3) є розв’язком системи рівнянь

                   ax− =−3y 13

 7x by+ =1   

 

4.     Чи має розв`язок система рівнянь: х у− = 4

1)          3х− =3у 6

х−1,5у=−4

2)          3у− =2х 8   

 

 

9 9 18х+ =у

3              х у+ =2 

 

 

5.     При яких значеннях а не має розв’язків система рівнянь

8 9х+ =у 7

8 9х+ =у а

Запитання до заняття

1.     У якому випадку говорять, що треба розв’язати систему рівнянь?

2.     Що називають розв’язком системи рівнянь із двома змінними?

3.     Що означає розв’язати систему рівняння із двома змінними?

4.     Сформулюйте алгоритм розв’язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними графічним способом.

5.     Скільки  розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь із двома змінними?

6.     Як розміщені прямі графіків рівнянь системи двох лінійних рівнянь із двома змінними, якщо: -система має один розв`язок; -система не має один розв`язків; -система має безліч  розв`язків?