Теорема Піфагора. План-конспект відкритого уроку

Відкритий урок геометрії у 8 класі

Тема уроку: Теорема Піфагора

Мета уроку:

1) Навчальна:  Підвести учнів до висновку теореми Піфагора шляхом вимірювальних робіт і логічних міркувань. Познайомити учнів із змістом та різними доведенням теореми Піфагора. Формувати вміння застосовувати теорему Піфагора до розв’язування задач.

2) Розвиваюча:   Створити умови для розширення загального кругозору учнів, використовуючи історичний і літературний матеріал. Розвивати логічне мислення, пізнавальний інтерес, навички аргументованої мови, акуратність при побудові рисунків.

3) Виховна:         Виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчання через вивчення життєдіяльності Піфагора.

Тип уроку: засвоєння нових знань та вмінь.

Обладнання: креслярські інструменти.

Наочні матеріали: Портрет Піфагора, малюнки для доведення теореми, завдання (самостійна робота, кросворд)

Методи і прийоми: пояснювально-ілюстративний метод, метод запитань і відповідей, наочний метод, словесний метод (бесіда, розповідь, діалог), постановка проблемних запитань, пошуковий метод, евристичний, диференційований підхід.

Форми організації діяльності учнів: колективна форма роботи (фронтальне опитування, усна робота - кросворд), індивідуальна робота (самостійна робота).

План уроку

1. Організаційний момент.
2. Перевірка домашнього завдання.
3. Актуалізація опорних знань.
4. Історична довідка про життя та теорему Піфагора.
5. Підготовча робота за готовими кресленнями.
6. Пояснення нового матеріалу.
7. Різні способи доведення теореми Піфагора.
8. Первинне закріплення матеріалу.
9. Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.
10. Весела хвилинка.
11. Постановка домашнього завдання.
12. Підведення підсумків уроку.

Очікувані результати:  засвоєння учнями теореми Піфагора; вироблені вміння розв’язувати найпростіші задачі з теми; викликаний інтерес до біографії Піфагора як легенди і джерела дискусії; навчання учнями робити власні висновки.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

Добрий день, діти! Я пропоную вам, перед тим як сідати, назвати не повторюючись, суттєве для геометрії слово – своєрідний пароль: (теорема, доведення, трикутник, медіана, …). Назвавши пароль, учень сідає.

Світ, що нас оточує, - це світ геометрії. Тому запрошую вас до його пізнання. І нехай сьогоднішній урок стане ще одним віконцем у дивовижний і цікавий математичний простір.

Я сподіваюсь на співпрацю, свідоме засвоєння матеріалу уроку.

Сьогодні на уроці я пропоную вивчити: теорему нареченої, теорему німфи, теорему метелика, теорему 100 биків, розглянути «втечу убогих» і «міст ослів».

У вас може виникнути запитання: чому так багато теорем на один урок? Цілком вірно: але ці назви стосуються всього однієї теореми.

Щоб дізнатися про неї, ви повинні розгадати кросворд і у виділеній частині прочитати закодоване слово.

ІІ. Актуалізація опорних знань

Кросворд

1. Як називається трикутник, який містить прямий кут?

2. Як називається відрізок, що виходить з вершини кута трикутника і ділить його навпіл?

3. Ім’ям якого вченого названо теорему: якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні?

4. Сторони прямокутного трикутника, які утворюють прямий кут.

5. Як називається сторона трикутника, що лежить проти прямого кута?

6. Як називаються трикутники, сторони яких відповідно пропорційні?

7. Як називаються трикутники, сторони яких відповідно рівні?

Відповіді. 1. Прямокутний. 2. Бісектриса. 3. Фалес. 4. Катети. 5. Гіпотенуза.

6. Подібні  7. Рівні

Закодоване слово: Піфагор.

Отже, ми сьогодні вивчимо теорему Піфагора.

Мабуть, ви вже чули ім’я Піфагора, чули про те, що існує така теорема. Давайте спробуємо сформулювати, чим ми будемо сьогодні на уроці займатися, тобто поставимо мету нашого уроку.

Урок ми побудуємо таким чином: спочатку познайомимося з самим Піфагором, дізнаємося, що це була за людина, потім разом доведемо саму теорему і спробуємо розв’язати декілька задач на її застосування.

ІІІ. Про життя Піфагора. Історична довідка про теорему Піфагора.

Теорема Піфагора – це, напевно, єдина теорема, яку пам’ятають усі учні. Ті, що добре вчилися, знають формулювання, доведення, а інші – назву. Напевно немає на землі людини, яка б не знала про Піфагора. Проте найбільше, що відомо зараз людству про цього шанованого грека, вкладається в одну фразу: «Піфагорові штани рівні як не поверни».

Давайте і ми згадаємо про нього.

Піфагор народився в 570 році до нашої ери на острові Самос. Це один з найвідоміших вчених, а також найбільш загадкова особистість, людина – символ, філософ і пророк.

Піфагору приписується багато чудових відкриттів і доведень.

У географії і астрономії – уявлення про те, що Земля – куля і що існують інші, схожі на неї світи. В музиці – залежність між довжиною струни арфи і звуком, який вона видає.

В геометрії - теорема про суму кутів трикутника, геометричні способи розв’язування квадратних рівнянь, побудова правильного п’ятикутника (зірка) циркулем і лінійкою, який став символом піфагорійців.

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Його вислови актуальні і в наш час. Вінчала геометрію теорема Піфагора, якій присвячений сьогоднішній урок.

Перед тим як безпосередньо перейти до цієї чудової теореми, виконаємо практичну роботу.

ІV. Практична робота.

Учні одного ряду будують прямокутний трикутник за відомими катетами і вимірюють отриману гіпотенузу, а результати представник ряду заносить до таблиці.

V. Пояснення нового матеріалу

1) А тепер піднесемо всі результати до квадрата, тобто знайдемо величини а², b² і с².

2) Додамо квадрати катетів (а² + b²) і порівняємо з квадратом гіпотенузи.

3) У всіх вийшло, що a² + b² = с² ?

Цю закономірність і виражає теорема Піфагора, якій присвячений наш урок. (Записуємо тему уроку)

Стародавні геометри не володіли алгебраїчним апаратом, тому теорему Піфагора формулювали так: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах».

По сучасному ця теорема звучить так:

«Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів».

(Записуємо теорему)

Отже, теорема Піфагора – це теорема, яка відображає зв’язок між катетами і гіпотенузою в прямокутному трикутнику.

Проте ми не можемо назвати будь-яке твердження теоремою лише за допомогою вимірювань і обчислень, не довівши його логічно.

Зараз ми доведемо цю теорему.

VІ. Доведення теореми Піфагора.

Дано: ∆АВС, С=90º.

Довести: AB²=АС² + BC²

Доведення

Проведемо висоту CD. Застосувавши теорему про метричні співвідношення для катетів АС і ВС, отримаємо:

АС² = AB  АD

BC²= AB  DВ

АС² + BC² = AB  АD + AB  DВ = AB  (АD + DВ) = AB  AB = AB²

Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють a і b, а довжина гіпотенузи с, то теорему Піфагора можна виразити такою рівністю

Цю теорему називають вічною. Їй понад 2 тисячі років. Відомо більше, ніж 370 різних доведень цієї теореми. Та вважають, що Піфагор дав перше повноцінне доведення. За кількістю доведень теорема Піфагора занесена до Книги рекордів Гінеса. Можете ознайомитись додатково (демонстрація наочного матеріалу).

VІІ. Первинне закріплення матеріалу.

Оскільки на уроці розпочинається робота із формування вмінь застосовувати теорему Піфагора, то слід одразу виробляти в учнів навички математичної культури, тобто застосуванню теореми Піфагора для деякого прямокутного трикутника мають передувати такі міркування:

Розглянемо трикутник..., у ньому кут...  прямий, отже, трикутник прямокутний із гіпотенузою... Тому за теоремою Піфагора... (робиться загальний запис теореми для даного прямокутного трикутника).

1. Дано: ∆АВС, С=90º, а=6 м, b=8м

Знайти: с.

Розв’язання :

∆АВС – прямокуний з гіпотенузою АВ.

За теоремою Піфагора  с² = а² + b²

с²=6²+8²  с²=36+64   с²=100 c=10

Відповідь: 10 м

2. Знайти: довжину гірлянди для оздоблення даху будинку до новорічних свят, якщо висота горища 6 м, а ширина будинку 16 м. (демонстрація фото)

Значення теореми Піфагора.

Теорема Піфагора - одна із найголовніших теорем геометрії.

Так за 1500 років до Піфагора землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута використовували такий спосіб: брали мотузку, ділили її вузликами на 12 рівних частин і кінці зв’язували. Потім мотузку натягували на кілки, щоб отримати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5. Такий трикутник називався єгипетським. Інформацію про прямокутний трикутник також знали люди, коли будували ще до Піфагора чудові храми в Єгипті, Вавилоні, Китаї, Мексиці. Ще раніше теорема була відома в Індії.

(демонстрація)

Так стародавні єгиптяни, вавилоняни та інші народи Стародавнього Сходу ще за 2000 років до нашої ери знали, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 – прямокутний.

Як бачимо, Піфагор не відкрив сформульовану в теоремі властивість прямокутного трикутника, а помітив, узагальнив і довів, перевів з практичної галузі в наукову.

Цікаво, що саме такі пропорції 3 : 4 : 5 археологи знаходять в розмірах тесаних плит піраміди Херфена в Єгипті.

Теорема Піфагора є тим золотим ключиком, який дозволяє відкрити двері до багатьох загадок і задач, дає можливість виконувати наукові розрахунки траєкторій польоту літаків і ракет, руху небесних тіл, розрахунки можливих відстаней до доступних і недоступних точок, визначати висоту будівель, знаходити площі фігур. Без теореми Піфагора геометрію уявити собі дуже важко.

Але, крім того, теорема Піфагора має велике практичне значення: вона застосовується в геометрії  і в житті буквально на кожному кроці.

Наприклад Піфагор придумав ємність, в яку не можна влити більше ніж визначена міра. Ця ємкість носить назву «Чаша Піфагора».

(демонстрація)

Жарт:

Один професор скористався теоремою Піфагора на практиці. Йому запропонували ліжко, що виявилось коротким для нього. Не розгубившись той, виміряв довжину і ширину ліжка – a і b, і побачив, що його власний зріст менший від . Тоді математик зручно вмостився на ліжку по діагоналі, остаточно впевнившись у великій практичній користі теореми Піфагора.

VІІІ. Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.

Самостійна робота: задачі за готовими малюнками.

ІХ. Рефлексія

Йшов мудрець, а назустріч йому 3 людини, які  везли під гарячим сонцем візки з камінням для будівництва. Мудрець зупинився і задав кожному запитання. У першого запитав «Що ти робив цілий день?» І той з усмішкою відповів, що цілий день возив каміння. У другого мудрець запитав «А що ти робив цілий день?» І той відповів «А я сумлінно виконував свою роботу». А третій посміхнувся, його обличчя засвітилося радістю і задоволенням «А я брав участь в будівництві храму».

Діти, давайте ми спробуємо з вами оцінити кожен свою роботу за урок.

-Хто возив каміння?

- Хто сумлінно працював?

- Хто будував храм?

Будь –ласка зробіть свої висновки.

Х. Постановка домашнього завдання.

До наступного уроку ви повинні вивчити теорему Піфагора, бо ми будемо вчитися застосовувати її до розв’язування складніших задач.

Опрацювати п.

Розв’язати задачі:

ІV рівень - Скласти задачі практичного змісту, для розв’язання яких необхідно використати теорему Піфагора. 

ХІ. Підведення підсумків уроку.

Яке відкриття ми сьогодні зробили? Хто зможе нагадати, як формулюється теорема Піфагора? Яку практичну користь дає нам теорема Піфагора?

Отже, сьогодні ви познайомилися з найвідомішою теоремою планіметрії – теоремою Піфагора. Тому люди пам'ятають Піфагора дві з половиною тисячі років.

Діти, попереду у вас ще багато різних теорем життєвих та геометричних. Можливо, з часом теорема Піфагора буде здаватися вам дуже простою. Але сьогодні ви стали розумнішими на цілу теорему – теорему Піфагора. Цікаву, могутню, вічну. Дякую всім за урок!

А закінчити урок я хочу словами:

Життя – театр, а всі ми в нім актори,

Ми знаємо багато різних див,

Та пам’ятати будем Піфагора,

Що теорему «золоту» створив.

Ось і закінчився наш урок.

Час невпинно й швидко летить.

Ви до знань зробили новий крок.

Хай у всьому завжди вам щастить!

Оцінювання відповідей учнів, коментоване оголошення оцінок за урок.