Теорема Вієта та її застосування

ТЕМА УРОКУ.  Теорема Вієта.

МЕТА УРОКУ: формувати навички та вміння застосовувати теорему Вієта і теорему, обернену до неї, до розв’язування квадратних рівнянь; вміти узагальнювати, проводити міркування за аналогією; розвивати комунікативні навички учні; виховувати бажання працювати; розвивати пізнавальні інтереси.

ТИП УРОКУ:   комбінований урок.

ІННОВАЦІЙНІ ТЕХНОЛОГІЇ: інтерактивні технології (індивідуальна робота, «асоціативний кущ»), інформаційно-комунікаційні технології (мультимедійна презентація до уроку), технологія розвитку критичного мислення (математичний диктант,  самостійна робота).

ОБЛАДНАННЯ: картки із завданнями, опорні схеми [Додаток А.4.], мультимедійна презентація [Додаток А.5.]

 

ДЕВІЗ:  Розумова праця на уроках математики – пробний камінь мислення.

В.А. Сухомлинський

ЕПІГРАФ:                                                                           Рівняння – це золотий ключ, 

                                                           який відкриває всі математичні таємниці.

С. Коваль

ХІД УРОКУ

І. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

1.     Наявність письмового домашнього завдання перевіряють чергові або консультанти.
2.     Індивідуальна робота.

Чотири учні розв’язують рівняння записані на картках за партами.

Розв’язати рівняння.

 а) х² – 8х + 15 = 0;

      б) х² – 2х – 35 = 0;

      в) х² – 7х +12 = 0;

 г) х² – 10х + 24 = 0.

Розв’язання.

 а) D = 64 – 60 = 4 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = 3, х2 = 5. Відповідь: 3;5.

 б) D = 4 + 140 = 144 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = -5, х2 = 7. Відповідь: -5;7.

в) D = 49 – 48 = 1 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = 3, х2 = 4. Відповідь: 3;4.

г) D = 100 – 96  = 4 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = 4, х2 = 6. Відповідь: -5;7.

3.     Розв’язати квадратне рівняння.

Чотири учні розв’язують рівняння записані на картках біля дошки.

Розв’язати рівняння.

 а) 5х² – 8х + 3 = 0;       б) х² + 2х – 3 = 0;

      в) 5х² + 8х +3 = 0;        г) х² – 2х - 3 = 0.

Розв’язання.

а) D = (-8)² – 4·5·3 = 64 – 60 = 4 = 2² > 0;

  

Відповідь:

б) D = 4 + 12  = 16 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = -3, х2 = 1.

Відповідь: -3;1.

в) D = 8² – 4·5·3 = 64 – 60 = 4 = 2² > 0;

  

Відповідь:

г) D = 4 + 12  = 16 > 0, тому корені існують.

 За теоремою Вієта: 

звідки х1 = -1, х2 = 3.

Відповідь: -1;3.

4.     Математичний диктант.

(Один учень працює біля дошки на зворотній стороні, а інші самостійно в зошитах. Здійснюється взаємоперевірка)

1.   (1 бал) Рівняння, що має вигляд, де х – змінна, а, b, с – довільні числа, при чому а ≠ 0, називають …               (квадратним)
2.   (1 бал) Вираз b² – 4aс називають … квадратного рівняння. (дискримінантом)
3.   (1 бал) Якщо в квадратному рівнянні перший коефіцієнт дорівнює одиниці, то його називають …                                                         (зведеним)
4.   (1 бал) Квадратне рівняння називають ще рівнянням другого … (степеня)
5.   (1 бал) Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння має один …                                                                       (корінь)
6.   (1 бал) Якщо хоча б один з коефіцієнтів b або с квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння називають …                                    (неповним)
7.   (1 бал) Для обчислення коренів квадратного рівняння існує … (формула)
8.   (1 бал) Якщо дискримінант є від’ємним числом, то рівняння не має … розв’язків                                                                            (дійсних)
9.   (1 бал) Число a в квадратному рівнянні називають першим … (коефіцієнтом)
10.             (1 бал) Квадратне рівняння має два різні корені, якщо дискримінант є … числом                                                                                      (додатним)
11.             (1 бал) Якщо значення виразу  b² – 4aс = 0, то рівняння має … розв’язки

(два однакові дійсні)

12.             (1 бал) Зведені квадратні рівняння розв’язуються за теоремою, оберненою до теореми …                                                                   (Вієта)

5.          Колективне розв’язування рівнянь за властивостями коефіцієнтів квадратного рівняння.

Якщо а + в + с = 0, то х₁ = 1,    якщо а – в + с = 0, то х₁ = -1, 

Розв’язати рівняння.

а) 17х² – 15х - 2 = 0;

б) 71 х² + 75х + 4 = 0.

Розв’язання.

 а) а + в + с = 17 – 15 – 2 = 0.

Тому  х₁ = 1, 

Відповідь:  1;

б) а – в + с = 71 – 75 + 4 = 0.

Тому  х₁ = -1, 

Відповідь:  -1;

ІІІ. Мотивація навчання.

 Теорема, обернена до теореми Вієта, дає можливість перевірити, чи є та чи інша пара чисел коренями квадратного рівняння. Користуючись оберненою теоремою, можна також складати зведене квадратне рівняння, якщо відомі його корені.

ІV. Сприймання й усвідомлення теореми, оберненої до теореми Вієта.

 Для того, щоб утворити твердження, обернене до даного, в ньому треба поміняти місцями умову та висновок. Щоб легше з’ясувати, що є умовою, а що висновком, твердження доцільно формулювати у вигляді «Якщо …, то…». Тоді те, що записано перед «то», є умовою, після «то» висновком.

 Теорема, обернена до теореми Вієта, читається так:

 Якщо дійсні числа х₁ та х₂  такі, що то ці числа х₁ та х₂  є коренями зведеного квадратного рівняння. (Пропонуємо сильнішим учням довести теорему вдома.)

V. Осмислення вивченого матеріалу.

1. Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа (колективно): і .

Розв’язання.

Шукане рівняння має вигляд: де

Отже, шукане рівняння:

Відповідь:

2. Самостійна робота.

1.                   (1 бал) Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа:  -2 і 7.
2.                   (1 бал) У рівнянні один із коренів дорівнює 5. Знайти k та другий корінь рівняння.
3.                   (2 бали) Корені х₁ та х₂ рівняння задовольняє умову Знайти значення m та корені рівняння.
4.                   (2 бали) Не розв’язуючи рівняння знайти: знайти
5.                   (2 бали) Знайти значення виразу: де х₁ та х₂ – корені рівняння:
6.                   (2 бали) Корені х₁ та х₂ рівняння задовольняє умову Знайти значення а.
7.                   (2 бали)  х₁ та х₂  - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти: 

Розв’язання.

1.                   Шукане рівняння має вигляд: де

Отже, шукане рівняння:

Відповідь:

2.                   За теоремою Вієта: 

За умовою  х1 = 5.

Тоді маємо:       

 Отже, k = 40.

Відповідь: 40.

3.                   За теоремою Вієта: 

Враховуючи умову: складемо та розв’яжемо систему рівнянь:    

звідки  7х1 = 49, х1 = 7.   Якщо х1 = 7, то 7 + х2 = 3,  х2 = 3 – 7 = - 4.

Тоді m = 7·(-4) = -28.  Відповідь: 7; -4; -28.

4.                   За теоремою Вієта: 

Тому

Відповідь: 18.

5.                   За теоремою Вієта: 

Тоді 

Відповідь: -214.

6.                   За теоремою Вієта: 

Враховуючи умову:  складемо систему рівнянь:

    

 звідки х1 = -1.   Якщо х1 = -1, то -1 + х2 = 2,  х2 = 2 + 1 = 3,

 а = -1·3 = -3.   Відповідь: -3.

7.                   За теоремою Вієта: 

Тоді маємо:      Відповідь:

VІ. Підсумок уроку.

    На уроці детальніше розглянули знаходження коренів зведеного квадратного рівняння; зробили висновок щодо розв’язування повних рівнянь; ознайомились з теоремою, оберненою до теореми Вієта, яка дає можливість, знаючи корені, скласти зведене квадратне рівняння; приділити увагу розв’язуванню рівнянь з параметрами. 

VІІ. Домашнє завдання.

Самостійна робота. 

1.   Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа: -7 і 3.
2.   Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа:
3.   Число 8 є коренем рівняння  Знайти значення p та другий корінь рівняння.
4.   Не розв’язуючи рівняння знайти: знайти
5.   х₁ та х₂  - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти: 
6.   х₁ та х₂  - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти: 

Розв’язання.

1.                   Шукане рівняння має вигляд: де

Отже, шукане рівняння:

Відповідь:

2.                   Шукане рівняння має вигляд: де

Отже, шукане рівняння:   Відповідь:

3.                   За теоремою Вієта: 

За умовою  х1 = 8.   Тому маємо: 8х2 = -32,   х2 = -4.

Отже, p = -(8 – 4) = -4.   Відповідь: -4;-4.

4.                   За теоремою Вієта: 

Тому     Відповідь: 80.

5.                   За теоремою Вієта: 

Тоді маємо:    Відповідь:  59.

6.                   За теоремою Вієта: 

Тоді маємо:  

Відповідь:  432.

 

 

 

Додаток №1

 

Самостійна робота. 

1. Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа: -7 і 3.
2. Скласти зведене квадратне рівняння, коренями якого є числа:
3. Число 8 є коренем рівняння  Знайти значення p та другий корінь рівняння.
4. Не розв’язуючи рівняння знайти: знайти
5. х₁ та х₂  - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти: 
6. х₁ та х₂  - корені рівняння Не розв’язуючи рівняння, знайти: