Теоретичний матеріал "Основні типи числових множин"

Основні типи числових множин

Число – одне з найголовніших понять математики, яке утворилось в ході тривалого історичного розвитку. Змістова лінія курсу математики з основної школи з назвою «ЧИСЛА» є однією з семи змістових ліній освітньої галузі «Математика». Згідно з Державним стандартом базової та повної середньої освіти до складових змісту освіти відносять: натуральні, цілі, раціональні та дійсні числа. Звичайні та десяткові дроби, арифметичні дії над числами, наближені обчислення, відсотки, відсоткові розрахунки, пропорції.

Теоретичні основи змістової лінії, яку ми розглядаємо, поділяють на арифметичні та алгебраїчні.

Натуральними числами називають числа, які використовуються для підрахунку предметів або для лічби.

Найменше натуральне число – один. Найбільшого натурального числа не існує.

Послідовність всіх натуральних чисел називають натуральним рядом. У натуральному ряді кожне число більше за попереднє на одиницю. Кожне натуральне число легко записати у вигляді розрядних доданків. Такі числа, як 1,10,100,1000,10000… - це розрядні одиниці. За допомогою розрядних одиниць натуральні числа записують як розрядні доданки. Наприклад, число 506 739 у вигляді розрядних доданків записують так:

506 739 = 500 000 + 6 000 + 700 + 30 + 9

Найбільш вживані числа мають не більше 12 розрядів, а числа, що мають більше 12 розрядів, відносяться до групи великих чисел.

Якщо запис числа складається з одного знака, то це число називають одноцифровим, якщо з двох знаків – двоцифровим і так далі.

Наприклад:

1, 4, 5, 8, 9, 6 – одноцифрові;

13, 25, 75, 89, 17, 97 – двоцифрові;

321, 465, 978, 507, 359, 765 – трицифрові;

2341, 4567, 9678, 8095, 3461, 6489 – чотирицифрові і так далі.

Множину натуральних чисел позначають символом «N». Для правильного читання натуральних чисел, їх розбивають на групи, починаючи з правої сторони, по три цифри в кожній групі. Три перші цифри праворуч – клас одиниць, три наступні – клас тисяч, наступні – клас мільйонів, далі мільярдів і т.д. Кожну з цифр класу називають розрядом.

При порівнянні двох натуральних чисел менше є те, яке при лічбі наступає раніше, а більше ,відповідно, пізніше.

Якщо деякі числа з’єднуються знаками дій, то це називається числовим виразом, наприклад: 15+3•7

Запис, сполучений знаком рівності, називається числовою рівністю. У рівності є ліва і права частини.

Додавання і віднімання – це дії першого ступеня, а ділення і множення – другого ступеня. Якщо числовий вираз складається тільки з дій однієї міри, то їх виконують послідовно з ліва на право. Якщо ж числовий вираз складається з дій першого і другого ступеня, то спочатку виконують дії другого ступеня, а тоді дії першого ступеня. Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії в дужках, а тоді все інше.

Наприклад: 75: (50 - 25) • 3 = 9

1.                 50 – 25 = 25
2.                 75 : 25 • 3 = 9

Цілі числа – це числа, які ми використовуємо для підрахунку, включаючи нуль, а також всі протилежні числа. Позначають цілі числа літерою «Z». Усі цілі числа можна поділити на позитивні та негативні. Отже, позитивні цілі числа – це числа зі знаком плюс, а негативні, відповідно, зі знаком мінус. Наприклад, числа 9 - позитивне число, бо воно додатне, тобто зі знаком плюс і на координатній прямій  воно лежить праворуч від точки відліку, тобто від «0». Число -5 – негативне, бо воно зі знаком мінус і на координатній прямій знаходиться ліворуч від точки відліку. Число «0» розділяє позитивні і негативні цілі числа, але «0» не належить ні до позитивних ні до негативних. Іншими словами можна сказати так, що кожне число, яке є більше від нуля є позитивним числом, а число, яке менше від нуля – негативне число.

Для того щоб поділити цілі числа, потрібно поділити модуль одного на модуль іншого і перед отриманим результатом поставити знак «+», якщо це були числа з однаковими знаками, та знак «-», якщо одне з чисел від’ємне. 

Для того, щоб помножити два цілих числа потрібно спочатку перемножити їхні модулі, а тоді перед отриманим результатом знак «+», якщо це були однакові знаки, та знак «-», якщо знаки різні.

Цілі числа ніколи не будуть числами з десятковими числами і навпаки, десяткові числа ніколи не будуть цілими. Відрізнити цілі числа від ірраціональних досить легко, але відрізнити їх від раціональних чи натуральних складніше.

Раціональні числа – це дійсні числа, які можна переписати як частку двох цілих чисел, оскільки відомі і чисельник, і знаменник. Позначаються раціональні числа літерою «Q». Раціональні числа називають частками цілих чисел, тому що ці числа вже включають натуральні числа.

Розглядаючи дані числа важливо зрозуміти, чи всі корені є раціональними числами? Отже, деякі корені є раціональними числами, а деякі ірраціональними. Наприклад, квадратний корінь із чотирьох є раціональним числом, а вже квадратний корінь із 93 ірраціональний.

= 2 = - раціональне число.

= 9,64365… = - ірраціональне число.

Ірраціональним числом називається нескінченний десятковий періодичний дріб.

Можна сказати і по-іншому, що ірраціональними числами називають числа, які не є раціональними, тобто не є ні цілими, ні зображеними у вигляді дробу , де m – ціле число, а n – натуральне число.

Ірраціональні числа можна зустріти, добуваючи квадратні та кубічні корені.

Напевно найвідомішим та найбільш використовуваним ірраціональним числом є число π = 3,141592… .

Будь-яка арифметична операція з раціональними числами у результаті дає раціональне число. Але з ірраціональними числами все складніше, бо в результаті можна отримати як ірраціональне число, так і раціональне. 

Трансцендентне число (від лат. transcendere – переступати, перевершувати) – це дійсне число, яке не може бути коренем многочлена з раціональними коефіцієнтами, тобто, не дорівнює тотожно нулю.

Дійсні числа поділяються на ірраціональні числа та раціональні числа, які можна звести до цілих чисел, а ці до натуральних чисел.

Дійсні числа – це елементи числової системи, яка містить в собі раціональні числа і є підмножиною комплексних чисел.

Наочно поняття дійсного числа можна уявити за допомогою числової прямої. Якщо на прямій обрати напрям, початкову точку та одиницю довжини для вимірювання відрізків, то кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на цій прямій, і навпаки, кожна точка буде представляти єдине дійсне число.

Отже, натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні та дійсні числа є основними числовими множинами.