Тригонометричні рівняння

Розробка уроку з алгебри і початків аналізу на тему : Тригонометричні рівняння. 

 

Мета уроку:

 

повторення й розширення відомостей учнів про тригонометричні рівняння й способи розв’язування;

розвиток умінь самостійно здобувати нові знання й використати вже отримані для розв’язку більш складних задач;

виховання навичок самоконтролю й взаємоконтролю, уміння узагальнювати й систематизувати вивчений матеріал.

 

Хід уроку

 

I. Організаційна робота на уроці:

 

Учитель повідомляє тему і мету уроку, попереджає, що більшу частину роботи вони виконають самостійно або працюючи в групах по 4-5 чоловік. Склад кожної групи довільний. Протягом двох уроків буде працювати група консультантів, у яку ввійдуть учні, які вірніше й швидше інших виконали тест за розв’язком найпростіших тригонометричних рівнянь.

 

Кожна група всі свої результати по самооцінюванню й взаємооцінюванню повинна занести в оцінний лист (Додаток 1). Це дасть можливість оцінити свою роботу на уроці. Наприкінці другого уроку буде запропонована перевірочна самостійна робота.

 

II. Актуалізація опорних знань:

 

а) повторення основних тригонометричних формул, формул коренів тригонометричних рівнянь (фронтально, “перехресне” опитування - питання задають самі учні один одному);

 

б) консультація по виконанню домашньої роботи (по необхідності).

 

III. Самостійна робота (тестування); (тест - Додаток 2).

 

а) виконання роботи (не більше 5 хвилин);

 

б) самоперевірка результатів тесту; оцінювання. Запис на дошці (критерії оцінки):

 

- “5” за 5 вірних відповідей;

 

- “4” за 4 вірних відповіді;

 

- “3” за 3 вірних відповіді;

 

- “2” за кількість вірних відповідей, менше 3.

 

Кількість набраних балів виставляється в оцінний лист.

 

в) визначення групи консультантів, робочих груп (за результатами тестування);

 

г) оформлення оцінних листів груп.

 

IV. Робота в групах:

 

Завдання 1: скласти опорну таблицю до теми “Розв’язування тригонометричних рівнянь”.

 

а) складання таблиці (один з варіантів - Додаток 3);

 

б) “захист” опорної таблиці. Вимоги до складання (запис на дошці):

 

- вірність всіх записів;

 

- лаконічність;

 

- об'ємність інформації;

 

- оформлення;

 

в) оцінювання групою участі кожного в даній роботі (оцінка виставляється в оцінний лист).

 

Завдання 2:

 

а) Розв’язок рівнянь (Додаток 4) (35 хв.). Кожній групі пропонується 5 рівнянь різної складності. Учитель консультує по необхідності групу консультантів, інші групи звертаються по допомогу до “свого” консультанта.

 

б) Перевірка розв’язків: учитель призначає по одному учню з кожної групи, що записує розв’язки одного з рівнянь на дошці. У цей же час група готується до “захисту” свого розв’язку рівняння. Вони повинні у швидкому темпі відповісти на питання:

 

- які тригонометричні формули використані при розв’язуванні?

 

- аналіз способу розв’язку.

 

- привести приклади інших способів.

 

Обговорення розв’язків іде по цих же запитаннях, інші групи пропонують свої способи розв’язувань (якщо вони є). У результаті кожній групі виставляється  оцінка, загальна для кожного члена групи (можуть прийматися й обговорюватися “особисті думки”).

 

V. Рефлексія:

 

- чи реалізувала група себе?

 

- оціни свою роботу на уроці (виставляється оцінка за всю роботу на уроці).

 

VI. Перевірочна самостійна робота (30 хв.) (Додаток 5).

 

VII. Підсумок уроку: виставляння оцінок з оцінних листів викладачем; завдання додому.

 

 

Додаток 1.

Оцінний лист

 

№ п/п	Прізвище ім’я	Тест	Опорна таблиця	Розв’язок рівнянь	Оцінка викладача	Підсумкова оцінка
1
2
3
4
5
6

 

                                                                                                          Додаток 2.

                                                                                     

 

Тест: розв’язати рівняння.

1. cos x – = 0

1) + 2πn, n є Z,    2) ± + 2πn, n є Z,

3) + 2πn, n є Z,    4) ± + 2πn, n є Z.

2. sin 2x = 0

1) πn, n є Z,     2) , n є Z,

3) 2πn, n є Z,    4) немає коренів.

3.2sinx + = 0

1) (-1)ⁿ⁺¹ + πn, n є Z,   2) (-1)ⁿ + πn, n є Z,

3) немає коренів,    4) ± + πn, n є Z.

4. cos 2x + 2 = 0

1) 2πn, n є Z,    2) πn, n є Z,

3) немає коренів,    4) ± + 2πn, n є Z.

5. tg2x + 1 = 0

1) – + , n є Z,   2) – + πn, n є Z,

3) + , n є Z,    4) – + πn, n є Z.

 

Додаток 3.

 

Розв’язок тригонометричних рівнянь.

Формули коренів тригонометричних рівнянь.

Загальні		Частичні
Рівняння	Формула коренів	Рівняння	Формула коренів
1. sinx = a, |a|≤1	x = (-1)narcsin a + πk, k є Z	1. sinx = 0	x = πk, k є Z
2. cosx = a, |a|≤1	x = ±arccos a + 2?k, k є Z	2. sinx = 1	x = + 2πk, k є Z
3. tg x = a	x = arctg a + πk, k є Z	3. sinx = –1	x = – + 2πk, k є Z
4. ctg x = a	x = arcctg a + πk,k є Z	4. cosx = 0	x = + πk, k є Z
		5. cosx = 1	x = 2πk, k є Z
		6. cosx = –1	x = π + 2πk, k є Z

 

 

Способи розв’язування деяких тригонометричних рівнянь.

1. Введення нової змінної:

π₁  2sin²x – 5sinx + 2 = 0. π₂  tg + 3ctg = 4.

   Нехай  sinx = t, |t|≤1,    Нехай  tg = z,

   Маємо:  2t² – 5t + 2 = 0.    Маємо:  z + = 4.

2. Розкладання на множники:

2sinx cos5x - cos5x = 0; cos5x (2sinx - 1) = 0.

Маємо:   cos5x = 0,

                2sinx - 1 = 0; ...

3. Однорідні тригонометричні рівняння:

I ступеня      II ступеня

a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0).   a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0.

Розділимо  на  cosx ≠ 0.1  1) якщо а  ≠  0, розділимо на cos²x ≠ 0,

Маємо:  a tgx + b = 0; …       маємо:  a tg²x + b tgx + c = 0.

2) якщо а = 0, те

    маємо:  b sinx cosx + c cos²x = 0;...

 

 

 

 

 

Додаток 4.

 

Розв’язати рівняння:

1). 2cos?x - 5sinx + 1 = 0.

2). cos⁴x – cos 2x = 1.

3). sin 2x – cos2x = 0.

4). 6cos?x + 4sinx cosx = 1.

5). sin?x + 2sinx cosx - 3cos?x = 0.

 

 

Додаток 5.

 

Розв’язати рівняння:

1). sin2x – cos2x = 0.

2). 3cos²x + 5sinx cosx = -1.

3). sinx + cosx = 1.

4). 5sinx + 4sinx cosx + 5cosx = -5.

5). Знайти  всі а, при кожному з яких  рівняння  sin²x + 5sinx cosx + аcos²x = 0  не має розв’язки.