Урок "Аксіоми, означення, теореми"

Про матеріал

Походження термінів аксіма, олзначення, теорема їх використання. Теореми тисячоліття, визначні теореми.

Перегляд файлу

Тема Аксіоми. Теореми. Означення.

І Актуалізація опорних знань.

Яку науку ми вивчаємо?
Що це за наука?
Якими твердженнями ми користуємось? Наведіть приклади.
З якими ви вже були знайомі, а з якими зустрілись в цьому році

ІІ Мотивація навчання

Отже на ряду з означеннями геометрія використовує ще аксіоми та теореми. Про них ми і поговоримо сьогодні.

ІІІ Засвоєння нових знань

Найпростіші геометричні відомості і поняття були відомі ще в Давньому Єгипті. У цей період геометричні твердження формулювалися у вигляді правил, які даються без доказів.

З VII століття до н. е. по I століття н. е. геометрія як наука бурхливо розвивалася в Стародавній Греції. У цей період відбувалося не тільки накопичення різних геометричних відомостей, а й відпрацьовувалася методика доказів геометричних тверджень, а також робилися перші спроби сформулювати основні первинні положення (аксіоми) геометрії, з яких чисто логічними міркуваннями виводиться безліч різних геометричних тверджень. Рівень розвитку геометрії в Стародавній Греції відображений у творі Евкліда «Начала».

У цій книзі вперше була зроблена спроба дати систематичну побудову планіметрії на базі основних невизначених геометричних понять і аксіом (постулатів).

«Начала» Евкліда справили величезний вплив на розвиток математики. Ця книга протягом більш ніж 2-х тисяч років була не тільки підручником з геометрії, але і служила відправним пунктом для дуже багатьох математичних досліджень, в результаті яких виникли нові самостійні розділи математики.

До III ст. до н. е. геометрія стає дедуктивною наукою, тобто наукою, в якій більшість фактів встановлюється шляхом виведення (дедукції), доведень. В ті часи давньогрецький учений Евклід написав книгу «Начала» У книзі Евклід проводить аксіоматичний погляд на геометрію. Точка зору Евкліда була такою: для довільної теореми можна простежити, які раніше доведені теореми були використані для її доведення. Для цих раніше доведених теорем у свою чергу можна виділити ще простіші факти, з яких вони виводяться, і так далі. Зрештою, можна отримати набір деяких фактів, що дають змогу довести всі теореми геометрії. Ці факти настільки прості, що не виникає питання необхідності їхнього доведення. Їх і назвали аксіомами. Весь набір аксіом (система) називають аксіоматикою.

Отже, аксіоми — це початкові факти геометрії, які приймаються без доведень і дають змогу доводити з

них всі подальші факти цієї науки. Твердження, доведені з аксіом, називають теоремами.

Аксіома в тлумачному словнику української мови

Вихідне положення в науці, яке приймається без доказів і лежить в основі доказу правдивості інших положень
Незаперечна істина, цілком очевидне твердження.

Вперше термін «аксіома» зустрічається в працях Арістотеля ( 384-322 роки до н. е.)

Аксіома німецькою – ахіот; французькою – ахіоте, латинською –ахіота. В перекладі незаперечне, загальноприйнятне. В російській та українській мові відоме з початку XVIII с ( 1717р) Багато дослідників вважають що термін прийшов з латинської. Хоча є й такі що вказують на західноєвропейське походження ( з німецької чи французької мов).

Вважають, що термін «аксіома» походить від грецького іменника значення якого « цінність, гідність», «твердження».

Гельмгольц Г. О происхождении и значении геометрических аксиом Давні математики Піфагор, Евклід були греками. Тому багато математичних термінів грецького походження. Так першим значенням слова «аксіома» було « те, що гідне почестей». Потім стародавні математики стали так називати твердження які не потребують доведення.

Про походження значення аксіом писав ще німецький вчений Герман Гольмгольц в своїй праці « Значення геометричних аксіом», яка вийшла і1895 році

Отримання нових геометричних фактів шляхом міркувань (доведень) почалося від давньогрецького вченого Фалеса (VI ст. до н. е.). Йому приписують встановлення властивостей рівнобедреного трикутника, доведення рівності вертикальних кутів, доведення того, що вписаний кут, який спирається на діаметр, — прямий (має 90°), та інше.

Повідомлення учнів

Проблеми тисячоліття— це сім математичних проблем, які охарактеризовано як «важливі класичні задачі, розв'язання яких не знайдено впродовж багатьох років» . За розв'язання кожної з цих проблем інститутом Клея запропоновано приз у розмірі 1 000 000 доларів США. Анонсуючи приз, інститут Клея провів паралель із списком проблем Гільберта, які було визначено 1900 року.

Наприкінці XX століття математики намагалися сформулювати подібні стратегічні завдання на наступне, XXI століття. Так, у травні 2000 року експерти Математичного інституту Клея (Кембридж, Массачусетс, США), відібрали сім найважливіших проблем сучасної математики. Кількість проблем у переліку (сім) було обрано виходячи з того, що засновник інституту, бостонський мільйонером Клей, виділив на премії сім мільйонів доларів - по мільйону за вирішення кожної проблеми.

1900 року на Міжнародному математичному конгресі в Парижі Давид Гільберт оголосив 23 математичні проблеми, які, на його думку, слід було б розв'язати в ХХ столітті. На сьогодні 21 проблему з цього списку вже розв'язано, і тільки частина восьмої проблеми — гіпотеза Рімана — ввійшла до переліку Проблем тисячоліття.

Гіпотеза Пуанкаре Стверджує, що всякий «тривимірний об'єкт», що володіє деякими властивостями тривимірної сфери (наприклад, кожну петлю всередині нього повинно бути можливо стягнути), зобов'язаний бути сферою з точністю до деформації. Сформульована в 1904 році математиком Анрі Пуанкаре , підтверджена в 2002 році Григорієм Перельманом , ставши першою з вирішених задач тисячоліття

Гіпотеза Рімана

Знаменита дзета-функція Римана має найширші застосування в теорії чисел. Серед її властивостей цікавим є те,що існують явні формули для значень функції у парних цілих точках,але про значення у непарних цілих точках відомо мало: передбачається, що вони є ірраціональними і навіть трансцендентними, але поки доведена лише ірраціональність числа 3. Є також результати, що показують, що серед деякої безлічі значень дзета-функції у наступних непарних точках є хоча б одне ірраціональне.

Як функція дійсної змінної, дзета-функція була введена у 1737 році швейцарським математиком і механіком Леонардом Ейлером, який вказав також її розклад у добуток. Потім ця функція розглядалася Діріхле і, особливо успішно, Чебишо́вим при вивченні закону розподілу простих чисел. Проте найбільш глибокі властивості функції дзета-функції були виявлені пізніше, після роботи Бернгарда Рімана у 1876 р. Ріман опублікував декілька виняткових робіт, присвячених цій функції.

У них він поширив дзета-функцію на область комплексних чисел, знайшов її аналітичне продовження, досліджував кількість простих чисел, менших від заданого числа, дав точну формулу для знаходження цього числа за участю функції й висловив свою гіпотезу про нулі дзета-функції, над доказом або спростуванням якої безрезультатно б'ються кращі розуми людства вже майже 150 років.

Гіпотеза Годжа

Гіпотеза описує класи когомологій на комплексних проективних многовидах, реалізовані алгебраїчними підмноговидами. Тобто цикли Годжа є комбінаціями об'єктів, що мають геометричну інтерпретацію, — алгебраїчних циклів.

У двадцятому столітті математики винайшли потужні методи дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб з'ясувати, до якої міри ми можемо наблизити форму даного об'єкта до простішої, склеюючи разом прості тіла зростаючої розмірності. Цей метод виявився ефективним при описі різноманітних об'єктів, що зустрічаються в математиці. При цьому були не ясні геометричні обґрунтування методу: в деяких випадках було необхідно додавати частини, що не мали ніякого геометричного тлумачення.

Рівняння Нав'є — Стокса

Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса, названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса, описуть течію в'язкої рідини або газу. Ці рівняння виникають при застосуванні Другого закону Ньютона до руху рідини. Там діють масові сили, гідростатичний тиск, тертя, а також сили стиску й розтягування.

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих :три компоненти швидкості, густина й тиск, а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Отже, знаходження загального розв'язання системи Нав'є́ - Стокса для просторового або плоского потоку ускладнюється тим, що воно нелінійне й сильно залежить від початкових і граничних умов.

Дотепер його розв’язки знайдені лише для деяких окремих випадків. Наприклад,капнувши краплю на поверхню води, можна спостерігати сплеск, який існує кінцевий час, так само як і кільцевий вихор ядерного вибуху. Гіпотеза про це висунута французьким математиком Жаном Лере в 1933 р. Він припустив, що в рідині турбулентність (хаос) утворюється завдяки утворенню точок або вихрової нитки, на якій деякий компонент швидкості стає нескінченним.

При малій амплітуді хвиль звукові коливання також стають рішенням. Нелінійні члени рівняння можна відкинути, тому що вони не впливають на рішення. Рішенням є гармонійні функції синуса або косинуса, тобто звукові коливання, які ми чуємо.

Одним із застосувань системи рівнянь Нав'є - Стокса являється опис течій у мантії Землі ("проблема динамо").

Варіації рівняння Нав'є - Стокса використовуються для опису руху повітряних мас атмосфери, зокрема , при формуванні прогнозу погоди. Для опису реальних течій у різних технічних пристроях прийнятну точність чисельного рішення можна одержати тільки при такій розрахунковій сітці, чарунки якої менше самого дрібного вихру. Це вимагає дуже великих витрат розрахункового часу на сучасних комп'ютерах. Тому були створені різні моделі турбулентності, що спрощують розрахунок реальних потоків.

Теорія Янга-Мілса

Задача походить із галузі фізики елементарних частинок. Потрібно довести, що для будь-якої простої компактної каліброваної групи G квантова теорія Янга — Мілса для простору R4 існує й має ненульовий дефект маси.

Це твердження відповідає експериментальним даним і чисельному моделюванню, однак довести його дотепер не вдалося.

На основі теорій Янга - Міллса в 1960-1970-х роках були створені дві наріжні теорії Стандартної моделі у фізиці елементарних частинок: квантова хромодинаміка (теорія сильних взаємодій) і теорія електрослабкої взаємодії.

Проблема Кука

Вперше питання про рівність класів P і HP було поставлено незалежно Куком і Левіним у 1971 р. На сьогоднішній день більшість математиків вважають, що ці класи не рівні. Згідно з опитуванням, проведеним у 2002 р. серед 100 вчених, 61 людина вважає, що відповідь — «не рівні», 9 — «рівні», 22 не змогли відповісти і 8 вважають, що гіпотеза не виводиться з поточної системи аксіом і, таким чином, не може бути доведена або спростована.

Припустимо, що ви, знаходячись у великій компанії, хочете переконатися, що там же перебуває ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить у кутку, то достатньо буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, пересвідчитися в істинності інформації. Інакше - ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що рішення якої-небудь задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності рішення.

Стівен Кук сформулював проблему: якщо позитивну відповідь на якесь питання можна швидко перевірити , то чи правда, що відповідь на це ж питання можна швидко знайти?

Ця проблема є однією з невирішених завдань з області логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, яку використовують при передачі і збереженні даних.

Гіпотеза Берча і Свіннертона-Даєра

Гіпотеза пов'язана з рівняннями еліптичних кривих(Додаток4) і множиною їхніх раціональних розв'язків. Прикладом подібного рівняння є вираз x2 + y2 = z2. Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для більш складних рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.

Найдавнішим дійшли до нашого часу джерелом, в якому згадуються еліптичні криві, є «Арифметика» давньогрецького математика Діофанта. У цій роботі ставиться завдання знайти раціональні та нетривіальні рішення рівняння, що має вид еліптичної кривої (яку Діофант, звичайно ж, так не називав): y (6 - y) = x ^ 3 - x. Це завдання вирішується шляхом заміни змінних y = 3y - 1 (по суті, проведенням дотичної до кривої). Але далі у вивченні еліптичних кривих він просуватися не став.

У XIX столітті еліптичні криві знаходять застосування в теорії еліптичних функцій, які, у свою чергу, тісно пов'язані з еліптичними інтегралами.

Сьогодні еліптичні криві застосовуються в деяких алгоритмах теорії чисел факторизації і тестування простоти чисел. У теорії чисел вони були, зокрема, використані Ендрю Уайлсом (спільно з Річардом Тейлором) в доказі великої теореми Ферма.

Повідомлення учнів «Відомі задачі»

Розвиток корабельної артилерії в 16 столітті поставив перед моряками завдання – як скласти до трюму корабля найбільшу кількість гарматних ядер. Одного разу відомий англійський мандрівник сер Волтер Релі звернувся з таким проханням до знайомого математика Томаса Герріота. Сер Релі тоді навряд чи міг знати, що його питання стане однією з найвідоміших задач в математиці, над якою ламатимуть голови найкращі вчені, аж до Ісаака Ньютона.

Товариш Геріотта, астроном Йоган Кеплер, припустив, що найщільніший спосіб упаковки куль і без математики застосовується. Це інтуїтивно найзручніший спосіб, коли нижній шар ядер просто складають поруч одне з одним, а наступні — у поглиблення на стиках куль нижнього шару. Але математично довести правильність цього припущення не виходило.

Українська вчена Марина В’язовська отримала міжнародну «Премію Салема 2016» з математики, яку щороку присуджують молодому вченому за видатні результати досліджень в сфері наукових інтересів Рафаеля Салема, насамперед у теорії рядів Фур'є.

Як зазначається, «Премія Салема» для математиків є аналогом Нобелівської премії.

Комісія присудила премію В’язовській за її відкриття – щодо найщільнішого пакування куль у 8- та 24-вимірних просторах із використанням методів модульних форм.

Пробле́ма чотирьо́х фарб— математична задача, запропонована Френсісом Гасрі в 1852 році. .Її суть полягає у тому,щоб з'ясувати, чи можна будь-яку розташовану на сфері карту розфарбувати чотирма фарбами так, щоб будь-які дві області, що мають загальну ділянку кордону, були розфарбовані в різні кольори.

К. Аппель і В. Хакен довели в 1976 р., що так можна розфарбувати будь-яку карту. Це була перша велика математична теорема, для доказу якої був застосований комп'ютер. Але опис алгоритму першого доказу зайняв 710 сторінок, тому згодом було запропоновано компактніші алгоритми.

Велика теорема Ферма Всі знають із шкільного курсу математики про теорему Піфагора. В 1637р. французький математик П'єр Ферма на полях перекладеної на латину давньогрецької " Арифметики " Діофанта сформулював таку гіпотезу: при n > 2 ( an + bn не дорівнює cn ) . На тих же полях книги П.Ферма написав, що він знає доказ своєї теореми , але поля книги занадто вузькі для його викладу .

Ейлер в 1770 році довів теорему для випадку n=3, Діріхле та Лежандр в 1825 — для n=5, Габрієль Ламе — для n=7. Ернст Куммер довів, що теорема справедлива для всіх простих n, менших за 100, за можливим винятком чисел 37, 59, 67.

Нездоровий інтерес до теореми Ферма був викликаний великою грошовою премією Вольфскеля( 100 000 німецьких марок) за її доведення, але через інфляцію після Першої світової війни, премія значно знизилася(30 000 німецьких марок).

Доведення теореми було завершене у вересні 1994 року Ендрю Вайлсом. 129-сторінкове доведення було надруковане у журналі «Annals of Mathematics» у 1995 році, втім у ньому було знайдено значну прогалину, й остаточне доведення теореми було здійснене у 1995 р. Ендрю Вайлсом . Але залишилася загадка, не розгадана досі . Справа в тому, що Е. Уайлс довів теорему Ферма , використовуючи досягнення надсучасної математики - теорію еліптичних кривих . Цієї теорії не було в 17 столітті, коли жив і творив П. Ферма , тоді існували тільки елементарна і зачатки вищої математики. Проте Ферма писав, що він знає доказ своєї теореми.