Урок алгебри в 8 класі "Теорема Вієта"

Урок №                                                                                  Дата……..

Тема. Зведене квадратне рівняння. Теорема Вієта.

Мета. Ввести поняття зведеного квадратного рівняння, розглянути зміст теореми Вієта та оберненої  до неї. Домогтися засвоєння учнями змісту теореми для зведе­ного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду; сформувати вміння відтворювати вивчені твердження, викорис­товувати їх для розв'язування завдань , розвивати здатність робити висновки. Формувати вміння застосовувати теорему при розв’язуванні квадратних рівнянь, знаходити суму та добуток коренів зведеного квадратного рівняння. Продовжувати розвивати навички розв’язування квадратних рівнянь.  Розвивати логічне мислення, самостійність та вміння узагальнювати вивчені факти, вміння працювати з додатковою літературою, гаджетами, вміння працювати в он-лайн середовищах.  Виховувати інтерес до математики, показати взаємозв’язок з вивченим матеріалом, з життям.

Виховувати охайність при веденні записів, при роботі з гаджетами, відповідальність, наполегливість. Виховувати вміння слухати та співпрацювати, враховувати думку інших.  Розвивати предметні, інформаційні, інформатичні, комунікативні та життєві компетентності.

Тип уроку. Урок засвоєння нових знань.

Обладнання: картки із завданнями для індивідуальної роботи, презентація , ПК

з  виходом в Інтернет, підручники.

Епіграф: „Рівняння – це золотий ключ, який

                                                                    відкриває всі математичні таємниці.»

С. Коваль

ХІД УРОКУ

I.​ Організаційний момент.(Учні об’єднані в домашні групи)

Створити  атмосферу взаєморозуміння та успіху. Вправа «Повір в себе» (У тебе обов’язково вийде; я навіть не сумніваюсь у позитивному результаті.)

 «Цей день в історії та сьогоденні. Поділіться своєю інформацією!»

В 21 столітті нас з головою накривають хвилі другого всесвітнього потопу. На цей раз - інформаційного...

 - За вікном похмуро, йде дощ, а на календарі – 20 березня. Поділіться, будь ласка, своєю інформацією про цей день в історії та сьогоденні. (учні на гаджетах в Інтернеті відомості про цей день в історії людства).

Інформація, пройшовши через осмислення,

стає знанням.

 - Я дуже сподіваюсь, що та інформація, яку ви почули на сьогоднішньому уроці, обов‘язково пройде через осмислення кожного з вас, і стане знанням, яким ви зможете скористатися у майбутньому.

Прийом «Ідеальне опитування»

 Учні самі оцінюють степінь своєї підготовки і повідомляють про це вчителя.

 - Хто сьогодні себе відчуває готовим до уроку на 10-12 балів? Хто на 7-9 балів? На 4-6 балів? На 1-3 бали?

II.​ Перевірка домашнього завдання.

1. Наявність письмового завдання перевіряють чергові або консультанти.

2. Зразки виконань письмового завдання записано на дошці (черговими або консультантами) або проектуються на екран.

Або тестова робота в он-лайн оболонці http://onlinetestpad.com/ua/testresult/

III.​ Актуалізація опорних знань.

1. Фронтальне опитування. Створення он-лайн кросворда в середовища тест-пад

1. Як  називають рівняння виду ах²+bx+c=0 …квадратним?
2. Як називають числа а, в, с? Коефіцієнти
3. Яке значення дискримінанта квадратного рівняння, що не має коренів на множині дійсних чисел ?  від’ємне
4. Від чого залежить кількість коренів  квадратного рівняння? Дискр.
5. Перщий коефіцієнт звеленого рівняння? Одиниця
6. Яке  значення дискримінанта квадратного рівняння, що має два різних  кореня? додатне
7. Які види квадратних рівнянь ви знаєте? Повні та неповні
8. Розв'язки квадратного рівняння називаються... коренями

 

 

Рівняння – це золотий ключ, який відкриває всі математичні таємниці.

С. Коваль

Учні подають інформаційну довідку про рівняння та квадратні рівняння.

Історична довідка. (Повідомлення учня).

Квадратні рівняння простіших видів вміли розв’язувати вавилонські математики ще 4 тис. років тому. Згодом розв’язали їх також у Китаї і Греції. Особливо багато уваги квадратним рівнянням приділив Мухаммед ал-Хорезмі (IX ст.) Він показав, як розв’язувати (при додатних а і b) рівняння таких видів:

x² + ax = b; x² + a = bx; ax + b = x².

Від’ємних коренів тоді не знаходили. Формули коренів квадратного рівняння вивів Франсуа Вієт (1540 – 1603). Однак він визнавав тільки додатні коріння. Італійські математики XVI ст. враховують крім додатних, і від’ємні корені. Лише в XVII ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Розв’язуванню квадратних рівнянь присвятив свої праці відомий український математик, професор Микола Чайковський (1887–1970). Він протягом тривалого часу працював у вищих навчальних закладах Львова, Одеси, Кам’янця-Подільського. М.Чайковський зробив вагомий внесок у створення української математичної термінології, а також брав активну участь у виданні українських підручників з математики.

Чим більше я треную свій мозок,

тим сильніше я стаю. Роберт Кіосакі

2. Усні вправи. (На екран проектуються квадратні рівняння. Відповіді учні подають за допомогою досок- карток).

а) Назвати коефіцієнти квадратних рівнянь:

9х² = 0; −4у +5у² − 5 = 0; 6с + 24с² = 0; −х² – 8х + 1 = 0.

б) Обчислити дискримінант:

2х² + 3х + 1 = 0; х² + 5х – 6 = 0;. х² – 6х + 9 = 0 х² – 6х + 18 = 0

3. Знайти та виправити помилки в розв’язанні рівняння.

Х²=4х+5=0, Х² +4х-5=0,  а=1, в=-4, с=5,  D= b²  - 4ac = - 36>0, x₁ =5, x₂ = - 1

IV. Мотивація, постановка задачі.

Чи повірите ви мені, якщо я скажу, що рівняння, які ви бачите на дошці , можна розв’язати усно? Не проводячи громіздких обчислень.
х² – 8х + 12 = 0, x²- 9x-20=0

Що спільного у рівнянь?

Хто нічого не помічає ,

Той нічого не вивчає

V.​ Сприйняття й усвідомлення поняття зведеного квадратного рівняння.

1. Учитель формулює означення зведеного квадратного рівняння та записує його у загальному вигляді. х² + px + q = 0

3. Створюється проблемна ситуація.

Учитель перевіряє, чи правильно записані на дошці корені рівнянь та ставить учням запитання: «Як я, не розв’язуючи рівняння, встановлюю правильність його розв’язання?»

Знайдіть суму та добуток коренів даних рівнянь

Виникає проблема, яку учні успішно розв’язують: встановлюється зв’язок між коренями рівняння та його коефіцієнтами.

«Мозкова атака». Учні дають відповіді на запитання вчителя:

1) Чи існує залежність між знаками коренів квадратного рівняння і знаком вільного члена?

2) Чи існує залежність між другим коефіцієнтом і коренями квадратного рівняння?

3) Сформулюйте в загальному вигляді залежність між коренями квадратного рівняння х² + px + q = 0 і його коефіцієнтами.

( x₁ + x₂ = - p; x₁x₂ = q)

Учитель повідомляє учням, що сформульовані залежності вперше виявив Франсуа Вієт. На його честь і названо теорему, з якою ми ознайомимся далі.

VІ.​ Теорема Вієта. Формулювання й доведення.

1. Формулюється теорема Вієта та обернена до неї.  Робота з підручником. (§ 22)

Учні читають теорему Вієта та розглядають таблицю.

Теорема. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток – вільному члену.

Теорема Вієта дає можливість, не розв’язуючи зведене рівняння, усно знайти його корені (якщо вони існують). Але для цього потрібно вміти розкладати число на множники.

2. Перетворення повного квадратного рівняння ах² + bx + c = 0 у зведене.

Кожне квадратне рівняння виду ах² + bx + c = 0 ( а ≠0) рівносильне зведеному квадратному рівнянню х² +х + = 0.

Якщо х₁ та х₂ – корені даного рівняння, то за теоремою Вієта

х₁ + х₂ =,  х₁ х₂ = .

Учні роблять висновок, що теорема Вієта справджується для будь-якого повного квадратного рівняння.

Продовжимо роботу після невеличкого повідомлення про Франсуа Вієта – знаменитого французького математика, якого ще називають «батьком алгебри» і про якого американський математик XX ст. Г. Сміт сказав: «Вієт... будучи у віці взявся за математику за покликанням. Незважаючи на це, він став найвидатнішим математиком кінця XVI століття».

Повідомлення про Франсуа Вієта

Франсуа Вієт (1540–1603) французький математик народився в 1540 р. у містечку Фонтене-ле-Конт (Франція). Його батьки були заможними людьми і завжди мріяли, щоб син став адвокатом. У 1559 році Франсуа закінчив школу і почав адвокатську діяльність. Вієт вів справи однієї дворянки і водночас навчав астрономії її дочки. Проводячи уроки, Франсуа захопився астрномією. Весь свій вільний час він віддає написанню великої праці з астрономії. А для цього він займався вивченням тригонометрії.

У 1571 році Вієт приїжджає до Парижа, щоб серйозно займатися математикою. Розповідають, що нерідко, розв’язуючи якусь цікаву задачу, Франсуа забував навіть про їжу і просиджував за робочим столом кілька днів підряд.

Франсуа Вієт створив, по суті, нову алгебру, ввівши в неї буквенну символіку. Після його відкриття стало можливим записувати правила у вигляді формул. До цього навіть розв’язування квадратних рівнянь, яке легко виконати за готовими формулами, записувалось у вигляді дуже довгих словесних описів і дій.

Ф. Вієт розробив ряд важливих питань теорії рівнянь 1–4 степенів.

Великою заслугою цього вченого було відкриття залежності між коренями і коефіцієнтами зведених рівнянь для довільного натурального степеня. Нам добре відоме це відкриття як теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння.

Вієт активно застосовував свої знання з алгебри і геометрії в різних галузях. Ще треба зауважити, що він дав перше в Європі аналітичне представлення числа π.

Помер Франсуа Вієт у віці 63 років у Парижі.

Його іменем на видимій стороні Місяця названо кратер.

У житті Вієта був цікавий факт. Під час війни Франції з Іспанією іспанці використовували для свого листування складний шифр, який французи ніяк не могли розгадати. Король Франції Генріх IV звернувся до Вієта з пропозицією роз-шифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи йому вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Армія Франції завдала ряд поразок армії Іспанії. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізна¬лися, хто розшифрував їхній тайнопис. Іспанські інквізитори, які відзначалися особ¬ливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звину¬ватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Ф. Вієта було засуджено до спалення. На щастя, Генріх IV не видав його інквізиції.

Гра - вправа “ Хвилина радості”

(Мовчки)  Сядьте зручніше, спершись спиною на спинку стільця і поклавши руки на коліна, заплющіть очі. Тричі зробіть повільно глибокий вдих і видих. У кожного в житті були хвилини, коли почуття радості зігрівало серце: прогулянки лісом, парком, полем або берегом моря, милування квітами чи веселкою в полі. Подібний спогад є і у Вас. Викличне його зараз у своїй уяві. Що Ви бачите перед собою, навколо? Що відчуваєте? Затримайте це тепле і світле відчуття радості в собі. Сховайте цей спогад у Вашій пам’яті ніби гарну казкову квіточку. А тепер повільно розплющуйте очі й пам’ятайте своє відчуття радості. Потягніться й погляньте навколо, затримуючи в собі тепле і світле відчуття. Якщо є бажання й час, можете поділитися своїм спогадом із товаришами.,

VІІ.Закріплення

1.          Прийом «Дружелюбний ланцюг»

                                           В самоті людина – слабка істота,

в єднанні з іншими – сильна.

Розв‘язок одного учня переривається в будь-якому місці і передається іншому жестом вчителя. І так декілька разів до завершення розв‘язку.

№№ 834у), 835, 840.

Перш ніж почнемо розв‘язувати, давайте згадаємо, що означає розв‘язати рівняння?

2. Робота в групах

 Розв’язати рівняння:

І група     а) х² – 6х + 8 = 0;  

б) х² – 2х – 24 = 0;

в) х² − х − 6 = 0.

ІІ група    

а) х² − 8х + 15 = 0;

б) х² + 3х − 10 =0;

в) х² + 7х + 10 = 0.

ІІІ група    

а) х2 – 10х + 9 = 0;

б) х2 – 6х – 27 = 0;

в) х2 + 7х +12 = 0.

Відповіді. І .   6; -4.      3; -2.           2;4        ОФ        АНТ          ДІ ІІ. 2; -5            . -2; -5.        5; 3        АНТ         ОФ           ДІ   ІІІ .  -4; -3.       1;. 9.           9; -3        АНТ         ОФ           ДІ   3. Інші способи розв’язання рівнянь. – Виділення квадрата двочлена. – Графічний.

VIIІ. Підсумок уроку.

1. Складіть зведене квадратне рівняння, в якому сума р і добуток q його коренів дорівнюють:

а) р = - 5; q = 4; б) р = 15; q = -6;

2. Розв’язати рівняння різними способами. 

Х² -2х- 8 =0

3. Сума коренів рівняння 5х² – 9х – 2 = 0 дорівнює:

а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

4.  Добуток коренів рівняння 5х² + 3x – 2 = 0 дорівнює:
а) -2; б) 2; в) 0,4; г) інша відповідь.

Рефлексія. Вправа «Скринька»

- Про що нове я дізнався?

 - З чим не справився?

 - Де в житті мені знадобляться знання з даної теми?

 - Яке завдання захотілось ще раз виконати?

-  На розвиток яких здібностей, якостей, рис характеру вплинув цей урок?

- Що корисного для навчання ви винесли з уроку?

- Нові імена.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити зміст та схеми доведення теореми Вієта та оберненої тео­реми. § 22,
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених теорем.

№ 836, № 838, №841. (* 853)

 „Розумний не той, хто багато знає, а той, чиї знання корисні.”

3. Творче завдання Прийом «Творчість працює на майбутнє»

творчу роботу у віршованій формі або розповіді. Синквейн