Тема уроку. Числові послідовності. Властивості числових послідов­ностей.

Мета уроку:     Проаналізувати типові помилки в к.р. з теми «Квадратна нерівність. Системи двох рівнянь з двома змінними». Засвоїти нові поняття: числова по­слідовність, п-й член числової послідовності, формула п-го члена; списку способів задання числової послідовності. Виробити вміння: відтворювати вивчені означення; зна­ходити члени послідовності із заданими номерами, якщо послідовності задані різними способами. Повторити озна­чення числової функції, а також супутні поняття.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Хід уроку

1. Організаційний етап
2. Аналіз контрольної роботи

Розбір типових помилок в к.р. Короткий візуальний звіт (що вдалося найкраще, де "спіткнулися"). Фокусуємось на 2-3 критичних моментах:

Зона "SOS" (Типові помилки)	Правильний алгоритм	Лайфхак для перевірки
Забули змінити знак нерівності	Множиш на -1, зміни знак нерівності	Підстав "контрольну точку" (напр. 0)
(х+2)=х2+4	Не забувай про 2ab в формулі скороченного множення	Має бути три доданки, а не два
Записали тільки х в системах	Система — це пара (х;у)	Малюй дужки для пар

 

Ш. Формування знань

В системах рівнянь порядок чисел в парі (х;у)  має важливе значення. Якщо ми їх переставимо-це вже буде інша точка на площині. У математиці порядок взагалі має магічну силу. Сьогодні ми починаємо вивчати структури, де місце кожного числа визначено законом. Це числові послідовності.

Які послідовності вам вже знайомі? (Учні повинні навести свої приклади)

1. Дні тижня: (Понеділок, вівторок, середа...). Тут перший член- понеділок, і ми не можемо їх переставити, не порушивши логіку календаря.
2. Алфавіт: (А, Б, В, Г...). Кожна літера має свій чіткий порядковий номер.
3. Місяці року: (Січень, лютий, березень...).
4. Кольори веселки: (Червоний, оранжевий, жовтий, зелений, блакитний, синій, фіолетовий). Класична незмінна послідовність спектра.
5. Ноти в музиці: (До, ре, мі, фа, соль, ля, сі).
6. Етапи розвитку метелика: (Яйце, личинка, лялечка, імаго ) Це приклад біологічної послідовності

 

План вивчення нового матеріалу

1. Означення числової послідовності. Поняття члена послідовності.

 

Об’єкти, які пронумеровано поспіль натуральними числами 1, 2, 3, ..., n, ..., утворюють послідовності. Об’єкти, які утворюють послідовність, називають членами послідовності. Кожний член послідовності має свій номер.

Якщо членами послідовності є числа, то таку послідовність називають числовою.

Приклади:

1, 2, 3, 4, 5, ... – послідовність натуральних чисел;

–1, –2, –3, –4, –5, ... – послідовність від’ємних цілих чисел;

2, 4, 6, 8, 10, ... – послідовність парних чисел;

Для позначення членів послідовності  використовують букви з індексами:

  (a_n)  a1, a2, a3, ..., an, ... .

Індекс указує порядковий номер члена послідовності.

 

Як ви думаєте, чи є числова послідовність функцією? Після обговорення дається наступне означення.

Числовою послідовністю називається функція, яка задана на множині всіх натуральних чисел або на множині перших п натуральних чисел.

 

2. Види числових послідовностей:

1.      залежно від кількості її членів:

 

 

 

 

 

 

Приклади: а) послідовність (а_п) натуральних чисел нескінченна;

б) послідовність (а_п) перших десяти натуральних чисел скінченна.

 

2.      залежно від тенденції її членів:

 

                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклади:

 (а_п): 1; 2; 3; ... — послідовність натуральних чисел є зростаючою

   (b_п): -1; -2; -3; ... — послідовність цілих від'ємних чисел є спадною

         (с_n):1;-2;4;-8;16…—  ні зростаюча ні спадна

 

3. Способи задання числових послідовностей:

1.      переліком її членів

Приклад: (b_n): 4; 16; 64; 256

2.      описом її членів

Приклад: послідовність непарних натуральних чисел, узятих в порядку зростання

(а_п): 1; 3; 5;7,..

3.      таблицею

Наприклад

n	1	2	3	4
ап	9	7	5	3

 

4.      формулою (п-го члена)

Приклад: b_n=n+3, тоді b₁=1+3=4; b₂=2+3=5; b₃=3+3=6;…

5.      рекурентною формулою ( яка виражає член послідовності через один або кілька     попередніх членів)

Приклад:  а_п = а_п-1 ∙ а_п-2, якщо а₁ = 1; а₂ = 2, тоді  а₃ = а₁ ∙ а₂ = 2; а₄ = а₂ ∙ а₃ = 2 ∙ 2 = 4; а₅ = а₃ ∙ а₄ = 4 ∙ 2 = 8.

 

⚠️ ТОП-5 ПАСТОК У ПОСЛІДОВНОСТЯХ (Пам'ятка для 9-класника)

 

Пастка	Як у неї не потрапити	Приклад
1. Плутанина  n  та  an	n— це номер (місце в черзі).  an — це значення (хто стоїть у черзі)	У послідовності парних чисел: на 3-му місці (n=3) стоїть число 6 (a3=6)
2. «Дробові» номери	Номер n  може бути тільки натуральним (1,2,3,..)	Не існує члена послідовності a1,5  або a-1. Це як півтора учня в класі.
3. Порядок має значення	Переставиш елементи — отримаєш іншу послідовність.	(1;2;3) та (2;1;3) — це різні послідовності, хоча числа однакові.
4. Рекурентна пастка	Щоб знайти а9  рекурентно, треба знати а8. Без "сусіда" — ніяк!	Якщо аn+1=an+2, ти не знайдеш a2, поки не дізнаєшся, чому дорівнює a1.
5. Формула n-го члена	Підставляй номер n  замість кожної літери n  у формулі	Якщо an=n2+n, то a5=52+5=30

 

 

Ⅳ. Формування вмінь (робота по підручнику)

Усні вправи 666

Письмові вправи 667, 671, 673, 676

V. Підсумки уроку

Контрольні запитання (або

1. Наведіть приклади числових послідовностей.
2. Наведіть приклад числової послідовності: 1) скінченної; 2) не­скінченної.
3. Наведіть приклад послідовності, заданої формулою п-го члена. Назвіть який-небудь член цієї послідовності.
4. Наведіть приклад послідовності, заданої рекурентною фор­мулою.

VI. Домашнє завдання

 §15, № 672, 674, 677